TRINOMIO DI II °: fattorizzazione o completamento del quadrato? a x 2 + b x + c D > 0 Trovo le radici x1 e x2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2) Trovo le radici x1 ≡ x2 dell’equazione associata: a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + c = a (x – x1)2 D = 0 D < 0 Completo il quadrato, cioè riscrivo il trinomio come somma di un quadrato perfetto (tipo a 2 + 2 a b +b 2) e di un termine positivo. Lavoriamo con un esempio per semplificare i passaggi (il metodo servirà nel calcolo integrale) x 2 + 4 x + 5 --> D = 16 – 20 = - 4 < 0!  completo il quadrato Riscrivo i primi due termini x2 + 4 x (corrispondono ad a2 + 2 a b) Il ruolo di a è giocato da x, devo individuare quanto vale b. Prendo il coefficiente del termine in x (nel nostro caso 4) e lo divido per 2 (operazioe inversa del doppio è la metà): 4/2 = 2  b=2!! Nel quadrato del binimio il terzo termine è b 2, sapendo che b=2  b2 = 22 = 4 Aggiuno e tolgo ai prinmi due termini questo numero trovato, cioè 4 ed ottengo x2 + 4 x + 4 – 4 Completo scrivendo l’ultimo termine del trinomio (5)  x2 + 4 x + 4 – 4 + 5; i primi tre termini sono lo sviluppo del quadrato, sommo tra loro gli altri due  (x + 2) 2+ 1 Paola Suria Arnaldi

Completiamo ancora il quadrato con un esempio x2 + 3 x + 12 D = 9 – 48 = - 39 < 0! Scrivo i primi due termini x2 + 3x Divido il 3 per 2 e ottengo 3/2 Aggiungo e tolgo (3/2) 2 = 9 / 4 Completo x2 + 3x + 9/4 – 9/4 + 12 (sommo gli ultimi due addendi, facendo il m.c.m.: 4) (x2 + 3x +9/4) + ( -9 + 12*4) / 4 = x2 + 3x + 9/4 + 39/4 = (x+ 3/2) 2 + 39/4 Ma dove servirà la fattorizzazione del trinomio oppure il metodo del completamento del quadrato? Per esempio nel calcolo integrale con integrali di questo tipo: Paola Suria Arnaldi

DIVISIONE TRA POLINOMI Supponiamo di avere il rapporto tra due polinomi Pm(x) e Pn(x), dove m e n sono i gradi dei due polinomi ed m ≥ n. Il rapporto può essere riscritto come somma tra una parte intera, di grado m-n, e una nuova frazione avente per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore un polinomio di grado minore di n. Prendiamo un esempio numerico. La frazione 7/3, con numeratore maggiore di denominatore, può essere riscritta come somma di un numero intero più una frazione propria. Infatti: 7| 3 6 2 1 Se divido 7 per 3 in colonna ottengo 2 di quoto e resto 1!! Paola Suria Arnaldi

Impariamo a dividere i polinomi con un esempio Infatti x3 + 0 x2 + 2x + 5 | x – 2 - x3 + 2 x 2 x 2 + 2x + 6 // 2 x2 + 2x + 5 - 2 x 2 + 4x // + 6x + 5 - 6x + 12 // + 17 quindi il quoto è x 2 + 2x + 6, il resto 17 Dove servirà? Sostanzialmente nel calcolo integrale Paola Suria Arnaldi

Però..... Se la divisione è facile... subito 1: Distribuisco! 2: 3: Paola Suria Arnaldi

Manipoliamo ancora polinomi: fratti semplici Andiamo avanti... passiamo dalla somma di frazioni semplici ad una frazione sola Osserviamo gli esempio 2 e 3: i due risultati finali hanno lo stesso denominatore, ma il primo è somma di due frazioni, fratti, semplici, l’altro di tre frazioni semplici . L’ultimo esempio, invece, ha un denominatore finale diverso, pur essendo due fratti iniziali uguali ai precedenti. Paola Suria Arnaldi

Ancora fratti semplici Partendo dalla frazione a primo membro, possiamo pensare che a generarla siano stati due fratti semplici, il primo con denominatore (x-1) e il secondo con (x+1). Poiché la frazione di origine ha un numeratore di grado minore del denominatore e i fratti semplici hanno un denominatore di I grado, a numeratore non ci possono che essere delle costanti A e B, da determinare. Torniamo indietro!! Passiamo da una sola frazione, non semplice, ... alla somma di tante frazioni semplici, ad essa equivalenti Per trovare A e B, proviamo ad andare avanti, cioè a manipolare il secondo membro: facciamo il m.c.m. Metodo identità funzionale Paola Suria Arnaldi

Fratti semplici: metodo identità funzionale Se i due membri sono identici, qualunque valore attribuiamo alla x al primo o al secondo membro, dobbiamo ottenere lo stesso risultato. Scegliamo due valori (ci sono due incognite A e B) belli, che semplifichino i calcoli: x = 1 e x = -1 Otteniamo la scrittura della frazione come somma di due fratti semplici Paola Suria Arnaldi

Ancora fratti semplici Lavoriamo ancora su un altro esempio: data la frazione seguente, cerchiamo di riscriverla come somma di fratti semplici (ricordiamoci che abbiamo una sola possibilità, cioè esiste un solo modo di scomposizione. Analizziamo il denominatore: si presenta come prodotto di due fattori (x), con molteplicità semplice (1), e (x-1)2, con molteplicità doppia (2). Non sappiamo se le frazioni generatrici sono due o tre. Ci mettiamo nel caso più completo, al limite troveremo B=0. Andiamo avanti, cioè facciamo il m.c.m. e dovremo trovare tre variabili: A, B e C, attribuendo tre valori diversi alla x: due sono belli (x=0 e x=1), il terzo lo scegliamo a piacere Paola Suria Arnaldi

Ancora fratti semplici: terzo esempio Paola Suria Arnaldi