Qualche esempio di tableaux pp. 29-30

Esercizio n. 2 Si parte dalla formula (x(U(x) M(x))  U(s))  M(s)

La si nega (cioè: si scrive la formula per intero tra due parentesi e davanti si pone la negazione): ¬((x(U(x) M(x))  U(s))  M(s))

È in fnn (forma normale negativa)? NO, perché contiene il simbolo dell’implicazione e Il simbolo di negazione non compare sempre “attaccato” ad un simbolo di predicato.

ALLORA Dobbiamo applicare le regole di riscrittura (di p. 25, cui è utile aggiungere, per snellire i conti, anche quella relativa alla negazione dell’implicazione – che riportiamo qua per prima)

Regole di riscrittura 1) ¬(CD) ~~> (C  ¬D) 3) ¬¬C ~~> C 4) ¬(C  D) ~~> (¬C  ¬D) 5) ¬(C  D) ~~> (¬C  ¬D) 6) ¬xC ~~> x ¬C 7) ¬xC ~~>  x ¬C

La nostra formula è del tipo ¬(CD), dove “C” è x(U(x) M(x))  U(s) “D” è M(s)

Dunque applichiamo la regola 1) Ottenendo: C  ¬D. cioè (x(U(x) M(x))  U(s))  ¬M(s).

Ora applichiamo la regola 2) DENTRO la formula precedente: (x(U(x) M(x))  U(s))  ¬M(s) a U(x) M(x) E otteniamo ¬ C  D Cioè (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s).

(x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s) è in fnn Dunque ora si può partire a costruire l’albero di refutazione (=il tableau) applicando le regole di espansione di p. 28

Regole di espansione

In quale ordine applicare le regole? Quello in cui sono state presentate: Congiunzione, disgiunzione, quantificatore esistenziale, quantificatore universale

ATTENZIONE Quando si applicano le regole di riscrittura sé può (anzi, si deve) guardare dentro le parentesi (per scoprire qual è il connettivo principale e applicare le regola opportuna). INVECE, quando si applicano le regole di espansione E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO GUARDARE DENTRO LE PARENTESI per applicare le regole ai connettivi principali che vi stanno dentro.

Esempi x(P(x)  Qx) è una formula del tipo: xB. Cioè occorre applicare ad essa la regole di espansione per il quantificatore universale e NON quella per la disgiunzione (che non siamo autorizzati a ‘vedere’ in quanto è chiusa tra parentesi) x(Px)  Q(x) è una formula del tipo:  xB. Cioè occorre applicare ad essa la regole di espansione per il quantificatore esistenziale e NON quella per la congiunzione (che non siamo autorizzati a ‘vedere’ in quanto è chiusa tra parentesi)

Che cosa significano le singole regole di espansione? Nella riga più in alto viene espressa la situazione del tableau al momento in cui andiamo ad operare. La formula contenente il connettivo o il quantificatore su cui si vuole operare è isolata tramite una virgola dal resto dell’espressione, che viene simboleggiato con Γ.

Esempio Per esempio, se troviamo scritto Γ, P  Q Significa che noi adesso stiamo per lavorare sulla formula P  Q, che ci compare eventualmente assieme ad altre formule Γ, separata da esse da una virgola.

Nella seconda riga, in basso, è segnato il funzionamento della regola, cioè quello che noi andremo effettivamente a scrivere applicando quella regola.

In particolare Se abbiamo: Γ, P Q __________ Γ, P , Q

significherà che, se vogliamo lavorare su una congiunzione, Semplicemente alla riga successiva scriveremo tutto il resto dell’espressione (cioè Γ) e poi i due congiunti separati da una virgola.

disgiunzione Se abbiamo Γ, P  Q --------------- Γ, P |Γ, Q

significa che, se vogliamo lavorare su una disgiunzione, alla riga successiva opereremo una biforcazione della nostra diramazione e su un ramo scriveremo tutto il resto dell’espressione (senza la disgiunzione,cioè Γ) con uno dei disgiunti (P, separato da una virgola); sull’altro ramo scriveremo di nuovo tutto il resto dell’espressione (senza la disgiunzione,cioè Γ) e poi l’altro disgiunto (Q, separato da una virgola).

Quantificatore esistenziale Γ, xB ---------- Γ, B(c/x)

significa che, se vogliamo lavorare su un quantificatore esistenziale, alla riga successiva trascriveremo il resto dell’espressione (cioè Γ) e poi, separata da una virgola, l’esemplificazione del quantificatore, cioè non si scrive x, ma solo quanto viene dopo, sostituendo in esso la x con un simbolo di costante NUOVO

Per esempio Γ, x(P(x)  Q(x)) Diventa Γ, P(c)  Q(c) Purché c non sia mai stata usata prima

Quantificatore universale Γ, xB ---------- Γ, xB ,B(t/x)

significa che, se vogliamo lavorare su un quantificatore universale, alla riga successiva trascriveremo tutta l’espressione (cioè sia Γ sia xB) e poi, separata da una virgola, IN AGGIUNTA, l’esemplificazione del quantificatore, cioè non si scrive (un’altra volta!) x, ma solo quanto viene dopo, sostituendo in esso la x con un simbolo di costante possibilmente VECCHIO.

Per esempio Γ, x(P(x)  Q(x)) diventa Γ, x(P(x)  Q(x)), P(a)  Q(a) Dove ‘a’ è una costante già presente nella dimostrazione (possibilmente, per ragioni di economicità, cioè per rendere più breve la dimostrazione).

Torniamo alla formula che stavamo considerando Cioè a (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s)

Applichiamo la regola per la congiunzione una prima volta Su (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s) ottenendo: x (¬U(x)  M(x))  U(s) , ¬M(s)

Una precisazione sulle parentesi Quando siamo passati da (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s) a x (¬U(x)  M(x))  U(s) , ¬M(s) abbiamo tolto le parentesi qui segnate in verde, perché esse servivano solo a chiarire che l’espressione che contenevano formava un tutto unico (che si aggiungeva a ¬M(s) ) ed era una congiunzione di x (¬U(x)  M(x)) e U(s). Quando ¬M(s) compare preceduto da una virgola, non c’è più bisogno di precisare che è separato da ciò che sta prima di esso, che è un’unica formula (cioè x (¬U(x)  M(x))  U(s) ) per suo conto.

E una seconda Su x (¬U(x)  M(x))  U(s), ¬M(s) Ottenendo

Applichiamo la regola per il quantificatore universale E otteniamo: x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s)  M(s).

Applichiamo la regola per la disgiunzione in x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s)  M(s). e otteniamo la biforcazione: x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s) e x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), M(s)

In x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s) notiamo la contraddizione in rosso e, dunque, chiudiamo il ramo. x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), M(s)

ATTENZIONE C’è contraddizione solo quando si hanno due formule di cui una sia atomica e l’altra la sua negazione SEPARATE DA UNA VIRGOLA.

Per esempio C’è contraddizione se ho le due contraddittorie: P(x), ¬ P(x) Non c’è contraddizione se ho: P(x), ¬ P(x)  Q(x) perché ¬ P(x) appare dentro una congiunzione, non è tra due virgole.

Osserviamo Che entrambi i nodi finali dell’albero “chiudono”, cioè terminano con una contraddizione e, dunque, dichiariamo insoddisfacibile l’enunciato: (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s) che costituiva la fnn di

¬(x(U(x) M(x))  U(s))  M(s)) Se questo è insoddisfacibile, allora risulta essere logicamente valido l’enunciato di partenza: x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s)

Nuovo esempio di tableau 3) Si parte da (x(P(x)Q(x)) (xP(x)  xQ(x))

Lo si nega Ottenendo: ¬((x(P(x)Q(x))) (xP(x)  xQ(x))).

È in fnn (forma normale negativa)? NO, perché contiene il simbolo dell’implicazione e Il simbolo di negazione non compare sempre “attaccato” ad un simbolo di predicato.

ALLORA Dobbiamo applicare le regole di riscrittura

La nostra formula È del tipo ¬(CD), dove “C” è x(P(x)Q(x)) e “D” è xP(x)  xQ(x)

Dunque applichiamo la regola 1) e otteniamo: C  ¬D cioè x(P(x)Q(x))  ¬ (xP(x)  xQ(x))

Applichiamo la regola 5) x(P(x)Q(x))  ¬ (xP(x)  xQ(x)) sul secondo membro della formula (evidenziato in blu), Ottenendo x(P(x)Q(x))  (¬xP(x)  ¬xQ(x)).

Applichiamo la regola 6) x(P(x)Q(x))  (¬xP(x)  ¬xQ(x)). alle sottoformule evidenziate in blu ottenendo: x(P(x)Q(x))  (x¬P(x)  x¬Q(x)).

x(P(x)Q(x))  (x¬P(x)  x¬Q(x)) è in fnn Dunque ora si può partire a costruire l’albero di refutazione (=il tableau) applicando le regole di espansione di p. 28

applichiamo la regola per la congiunzione Su x(P(x)Q(x))  (x¬P(x)  x¬Q(x)) e otteniamo x(P(x)Q(x)), x¬P(x)  x¬Q(x)

Poi applichiamo la regola per la disgiunzione x¬P(x)  x¬Q(x) Ottenendo la biforcazione: 1) x(P(x)Q(x)), x¬P(x) 2) x(P(x)Q(x)), x¬Q(x)

Cominciamo ad occuparci del ramo che contiene la 1)

applichiamo ad essa la regola per l’esistenziale Da x(P(x)Q(x)), x¬P(x) otteniamo x(P(x)Q(x)), ¬P(a).

Applichiamo ora la regola per il quantificatore universale Da x(P(x)Q(x)), ¬P(a). Otteniamo x(P(x)Q(x)), P(a) Q(a) , ¬P(a) .

Applichiamo ora la regola per la congiunzione Su P(a) Q(a) In x(P(x)Q(x)), P(a) Q(a) , ¬P(a) . Ottenendo x(P(x)Q(x)), P(a) , Q(a) , ¬P(a)

Questo nodo Contiene una contraddizione (P(a) e ¬P(a)). Dunque chiude

Passiamo ad occuparci del ramo che contiene la 2)

applichiamo ad essa la regola per l’esistenziale Da x(P(x)Q(x)), x¬Q(x) otteniamo x(P(x)Q(x)), ¬Q(a).

Applichiamo ora la regola per il quantificatore universale Da x(P(x)Q(x)), ¬Q(a). Otteniamo x(P(x)Q(x)), P(a) Q(a) , ¬Q(a) .

Applichiamo ora la regola per la congiunzione Su P(a) Q(a) In x(P(x)Q(x)), P(a) Q(a) , ¬Q(a) . Ottenendo x(P(x)Q(x)), P(a) , Q(a) , ¬Q(a).

Anche questo nodo Contiene una contraddizione (P(a) e ¬P(a)). Dunque chiude

Osserviamo Che entrambi i nodi finali dell’albero “chiudono”, cioè terminano con una contraddizione e, dunque, dichiariamo insoddisfacibile l’enunciato: x(P(x)Q(x))  (x¬P(x)  x¬Q(x)) che costituiva la fnn di:

¬((x(P(x)Q(x))) (xP(x)  xQ(x))). Se questo è insoddisfacibile, allora Risulta logicamente valido l’enunciato: (x(P(x)Q(x))) (xP(x)  xQ(x)).

Esempio 4 Si parte dalla formula x(yP(y) P(x)).

La si nega ottenendo: ¬(x(yP(y) P(x))) Che si può semplicemente scrivere come ¬x(yP(y) P(x)) Perché non esiste un’altra possibilità di lettura.

È in fnn (forma normale negativa)? NO, perché contiene il simbolo dell’implicazione e Il simbolo di negazione non compare sempre “attaccato” ad un simbolo di predicato.

La nostra formula È del tipo ¬xC, Dove C è yP(y) P(x))

Applichiamo dunque la regola di riscrittura 7) DA ¬x(yP(y) P(x)) OTTENIAMO x¬(yP(y) P(x))

Applichiamo la regola di riscrittura 1 Alla sottoformula ¬(yP(y) P(x)) In x¬(yP(y) P(x)) , dove C sarà yP(y) e D sarà P(x) ottenendo:

x(C  ¬D) cioè x(yP(y)  ¬P(x))

Questa è in fnn Dunque ora si può partire a costruire l’albero di refutazione applicando le regole di espansione

Applichiamo la regola di espansione del quantificatore universale x(yP(y)  ¬P(x)) Ottenendo x(yP(y)  ¬P(x)), yP(y)  ¬P(c).

Applichiamo la regola di espansione della congiunzione in x(yP(y)  ¬P(x)), yP(y)  ¬P(c). ottenendo: x(yP(y)  ¬P(x)), yP(y), ¬P(c).

Ora applichiamo la regola di espansione del quantificatore esistenziale In x(yP(y)  ¬P(x)), yP(y), ¬P(c). Ottenendo x(yP(y)  ¬P(x)), P(a), ¬P(c).

Riapplichiamo la regola di espansione del quantificatore universale in x(yP(y)  ¬P(x)), P(a), ¬P(c). Ottenendo x(yP(y)  ¬P(x)), yP(y)  ¬P(a), P(a), ¬P(c). [la prima volta avevamo esemplificato il quantificatore universale con la costante “c”; ora l’abbiamo esemplificato con la costante “a” che era stata introdotta nel frattempo]

Applichiamo la regola della congiunzione In x(yP(y)  ¬P(x)), yP(y)  ¬P(a), P(a), ¬P(c) Ottenendo x(yP(y)  ¬P(x)), yP(y) , ¬P(a), P(a), ¬P(c) Qui abbiamo la contraddizione P(a) e ¬ P(a), Dunque il nodo chiude.

Dunque dichiariamo insoddisfacibile l’enunciato: x(yP(y)  ¬P(x)) che costituiva la fnn di ¬x(yP(y) P(x))

Se questo è insoddisfacibile, allora risulta logicamente valido l’enunciato iniziale: x(yP(y) P(x))