Matematica della Distanza Fabio Bagagiolo Università degli Studi di Trento Liceo Scientifico “G. Galilei” – Belluno Febbraio 2007

MATEMATICA “Disciplina che si avvale di metodi deduttivi per lo studio di insiemi dotati di strutture e per l’applicazione dei suoi risultati alle scienze.”

DISTANZA “Intervallo di spazio che intercorre tra due cose, luoghi o persone”. (mat.) - di due punti, “lunghezza del segmento che ha per estremi i due punti”. Vedremo che non ci occuperemo solo di punti e di segmenti che li uniscono.

MATEMATICA DELLA DISTANZA Potremmo dire che matematica della distanza significa “disciplina che si avvale dei metodi deduttivi per lo studio di insiemi dotati della struttura distanza, cioè studio degli spazi che intercorrono tra gli elementi dell’insieme”. Daremo un breve cenno alla definizione astratta di insiemi dotati della struttura di distanza, gli spazi metrici.

Indice Distanza di due punti nel piano: come si calcola; Altri tipi di “distanze”; Generalizzazione del concetto di distanza: proprietà che esso deve soddisfare; Argomenti correlati: topologia, curve di lunghezza minima, geometrie non euclidee, approssimazione.

DISTANZA DI DUE PUNTI NEL PIANO

Distanza euclidea nel piano (teorema di Pitagora)

Euclide di Alessandria 325 a. C. circa – 265 a. C. circa

Pitagora di Samo 569 a. C. circa – 475 a. C. circa

Distanza euclidea nello spazio 3D La distanza di due punti P e Q, di coordinate rispettivamente è

Q P

La distanza (euclidea) di due punti è: la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei punti

ALTRI TIPI DI DISTANZE

Tassista a Manhattan

Il Tassista a Manhattan B A

Il Tassista a Manhattan B ??? A

Il Tassista a Manhattan B Distanza (A,B): Tre blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Ogni blocco 2 dollari. Totale: 12 dollari A

Il Tassista a Manhattan B Distanza (A,B): Tre blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Ogni blocco 2 dollari. Totale: 12 dollari A

Cosa significa nel piano Cartesiano? Distanza del tassista

Distanza euclidea e distanza del tassista 2 B=(7,1) 1 5 7 (distanza euclidea) (distanza del tassista)

Il Tassista in Promozione E se il tassista di Manhattan è in vena di sconti? e fa la seguente promozione: Paghi solo il pezzo di blocchi, verticale o orizzontale, più lungo che mi fai percorre. Esempio: se si percorrono tre blocchi in orizzontale e due in verticale, si paga solo il tragitto pari ai blocchi in orizzontale

Il Tassista a Manhattan, scontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali A

Il Tassista a Manhattan, scontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Paghi solo i tre blocchi orizzontali. 2 dollari a blocco: Totale: 6 dollari (invece che 10) A

Nel piano Cartesiano Distanza del tassista scontato (distanza infinito)

Distanza euclidea, distanza del tassista e distanza infinito 2 B=(7,1) 1 5 7 (distanza euclidea) (distanza del tassista) (distanza infinito)

SUL CONCETTO DI DISTANZA

Abbiamo visto tre possibili distanze tra i punti del piano e le loro rispettive formule analitiche

Distanza eucildea

Distanza del tassista

Distanza infinito

Alcune domande Quante distanze possiamo definire tra i punti del piano? Qualunque formula analitica che coinvolge le coordinate dei punti definisce una distanza tra di essi? Per esempio

Alcune domande Ma cosa intendiamo per “distanza” tra i punti? Quali proprietà deve soddisfare una formula analitica per poter rappresentare un “buon concetto” di distanza? Siamo in grado di identificare le proprietà essenziali che il nostro concetto intuitivo di distanza deve soddisfare?

Alcune domande E se individuiamo queste proprietà essenziali, siamo in grado di formalizzarle in modo astratto, e quindi poterle applicare a situazioni ben diverse tra loro? PROVIAMOCI !

Riprendiamo l’esempio fatto poco fa. E’ un “buon concetto” di distanza? Calcoliamo Ci può andare bene? Certo che no!

Se la distanza è, in qualche modo, legata a lunghezze di strade percorse, non possiamo accettare che la distanza tra due punti possa essere un valore negativo.

Tassista a Manhattan superscontato Supponiamo ore che il solito tassista a Manhattan faccia una promozione maggiore rispetto a quella precedente (si paga solo il tragitto, orizzontale o verticale, più lungo) Supponiamo che dica: si paga solo il tragitto più corto dei due (verticale o orizzontale).

Il Tassista a Manhattan, superscontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali A

Il Tassista a Manhattan, superscontato B Due blocchi verticali + Tre blocchi orizzontali Paghi solo i due blocchi verticali 2 dollari a blocco, totale 4 dollari (anziché 6 o 10) A

Ma conviene al tassista di Manhattan fare questo tipo di sconto? Forse, qualche volta no! Infatti, consideriamo la seguente situazione:

Il Tassista a Manhattan, superscontato B Tre blocchi orizzontali + Zero blocchi verticali Totale: corsa a costo zero!

Il tassista superscontato nel piano cartesiano In coordinate cartesiane equivale alla seguente formula, per calcolare la distanza:

Ma, per esempio succede che: Quindi, i due punti diversi (1,3) e (100,3) avrebbero distanza nulla! Questo non ci va bene! Due punti diversi non possono avere distanza nulla tra loro!

Definitezza positiva Riassumendo quanto detto finora: condizione necessaria affinché una formula analitica sia una distanza è che essa sia definita positiva, e cioè che: Assuma solo valori maggiori o uguali a zero; 2) Il valore zero venga raggiunto solamente quando si calcola la distanza di un punto da se stesso.

Altro esempio Consideriamo la formula Questa è definita positiva, ma ha un altro difetto. Infatti Questa distanza dipende dall’ordine con cui ho elencato i due punti! Non è simmetrica!

Simmetria Condizione necessaria affinché una formula analitica sia una distanza è che essa sia simmetrica, cioè la distanza di A da B sia la stessa distanza di B da A. Ovvero d(A,B)=d(B,A). La distanza non deve dipendere dall’ordine in cui elenco i due punti.

Ancora un’altra considerazione Abbiamo visto che, in un qualche modo, la distanza è legata alla lunghezza della strada che devo percorrere per passare da un punto all’altro. Questo all’interno delle strade che mi sono consentite (il segmento per la distanza euclidea, la spezzata per la distanza del tassista ecc..)

Ancora un’altra considerazione E’ intuitivo che, se devo andare dal punto A al punto B, ma decido di passare prima anche dal punto C, la lunghezza della strada percorsa allora aumenta, a meno che il punto C non si trovi proprio sulla strada tra A e B, nel qual caso la lunghezza resta invariata.

Disuguaglianza triangolare B B C C A A

Disuguaglianza triangolare Condizione necessaria affinché una formula analitica sia una distanza è che essa soddisfi alla disuguaglianza triangolare

Abbiamo finito Le proprietà che una formula analitica deve avere affinché essa sia una distanza sono esattamente le seguenti: Essere definita positiva; Essere simmetrica; Soddisfare alla disuguaglianza triangolare.

Un’astrazione Dato un insieme qualunque X, una distanza su X è una funzione (una legge, una regola…) che ad ogni coppia di elementi di X, (P,Q), associa un numero reale che denotiamo con d(P,Q), e chiamiamo distanza di P da Q, e tale funzione deve soddisfare a

Definitezza positiva d(P,Q)≥0 per ogni coppia (P,Q) di elementi di X; d(P,Q)=0 se e soltanto se P=Q.

Simmetria d(P,Q)=d(Q,P) per ogni coppia (P,Q) di elementi di X.

Disuguaglianza triangolare d(P,Q)≤d(P,Z)+d(Z,Q) per ogni P,Q,Z elementi di X.

Una definizione astratta Uno spazio metrico è un insieme sul quale è definita una distanza. Il piano cartesiano con la distanza euclidea è uno spazio metrico; Il piano cartesiano con la distanza del tassista è uno spazio metrico; Il piano cartesiano con la distanza infinito è uno spazio metrico.

Un esercizio per casa Provare le tre affermazioni precedenti e cioè che il piano cartesiano con le tre distanze (euclidea, del tassista, infinito) è uno spazio metrico. Basta provare che la distanza euclidea, la distanza del tassista e quella infinito sono una distanza. Basta provare che esse godono delle tre proprietà: definitezza positiva, simmetria, disuguaglianza triangolare. P.S. Alcune dimostrazioni non sono proprio semplicissime…

Un po’ di storia Il concetto astratto di spazio metrico, già latente nella matematica precedente, è stato comunque formalizzato all’inizio del XX secolo dal matematico tedesco (di origini polacche) Felix Hausdorff.

FELIX HAUSDORFF 1868 - 1942

Ancora un po’ di storia Il considerare strutture matematiche astratte, cioè insiemi dotati di proprietà particolari (per esempio gli spazi metrici, insiemi dotati della funzione distanza) è un metodo che ha caratterizzato tutta la matematica del ‘900 (e lo sta facendo anche per quella del 2000). Si tratta di identificare proprietà essenziali degli oggetti matematici con i quali si è sempre avuto a che fare (numeri, quattro operazioni, punti rette e piani, funzioni …) e considerare insiemi dotati solamente di quelle proprietà.

Ancora un po’ di storia In questo modo la mente del matematico che studia la problematica in questione, è concentrata solamente su quelle proprietà e non è distratta da altre proprietà (o da pregiudizi) legate all’oggetto iniziale che ha stimolato lo studio (numeri, quattro operazioni, punti rette e piani, funzioni …). Ad esempio, per studiare le proprietà della distanza (che sappiamo essere tre), considero un spazio metrico, che ha come unica proprietà quella di avere definito una distanza su di esso. Se invece continuassi a pensare all’esempio del piano, potrei essere sviato da altre caratteristiche del piano, che non dipendono dalla distanza (per esempio le rette e le figure geometriche del piano, il sistema di coordinate cartesiane, ecc …) L’aver studiato gli spazi metrici in “astratto” permette poi di applicare i risultati ottenuti alle più svariate situazioni, non appena esse rientrano nella categoria “spazi metrici”, indipendentemente da chi siano gli elementi dell’insieme e da quale sia la distanza in questione.

Ancora un po’ di storia Esempi di queste strutture astratte introdotte dai matematici nel ‘900, sono (oltre agli spazi metrici): Gruppi, anelli, campi (algebra); Spazi vettoriali (algebra, geometria, analisi matematica); Spazi funzionali (analisi matematica). Una delle prime e delle più prolifiche è quella di Spazio Topologico.

TOPOLOGIA

In realtà Hausdorff era più interessato ad un altro concetto, quello di spazio topologico, di cui gli spazi metrici sono degli esempi importanti. Vediamo di dire qualcosa sugli spazi topologici.

La vicinanza Una volta che abbiamo una distanza su di un insieme, e cioè abbiamo uno spazio metrico, possiamo domandarci se due elementi sono vicini. Ma cosa vuol dire essere vicini? Due elementi sono vicini se la loro distanza è piccola. Bisognerebbe però dire cosa vuol dire piccola. Questo è ovviamente soggettivo e dipende dalle circostanze.

La vicinanza Quello che possiamo fare è definire quello che sta intorno ad un punto assegnato.

La vicinanza Quello che possiamo fare è definire quello che sta intorno ad un punto assegnato. Per fare questo, preso un punto P dello spazio metrico X, definiamo la palla di centro P e raggio 1. E cioè gli elementi che distano da P meno di 1. Sono quindi elementi che stanno intorno a P.

La vicinanza In generale, la palla di centro P e raggio r>0 è

La vicinanza Quindi, l’elemento Q è vicino al punto P se è contenuto in una palla centrata in P e di raggio opportunamente piccolo.

Tre esempi La palla di centro l’origine e raggio 1 per la distanza euclidea nel piano: y 1 x -1 1 -1

Tre esempi La palla di centro l’origine e raggio 1 per la distanza del tassista nel piano (esercizio) y 1 -1 1 x -1

Tre esempi La palla di centro l’origine e raggio 1 per la distanza infinito nel piano (esercizio) y 1 -1 1 x -1

Stesso criterio di vicinanza nel piano In realtà, le tre distanze nel piano che abbiamo analizzato, pur essendo tra loro diverse, definiscono lo stesso criterio di vicinanza per i punti del piano.

Stesso criterio di vicinanza nel piano Infatti, un punto P è vicino all’origine per la distanza euclidea se è contenuto in una palla (per la distanza euclidea) di centro l’origine e raggio r piccolo. Ma questa contiene una palla per la distanza del tassista centrata nell’origine e di raggio r, che a sua volta contiene una palla per la distanza infinito, di centro l’origine e un raggio r’<r. Quest’ultima contiene a sua volta una palla (per la distanza euclidea) di centro l’origine e raggio r’

Palle annidiate

Stesso criterio di vicinanza nel piano Quindi, se essere vicini all’origine significa avere una distanza da essa, per esempio, inferiore a 1, allora, qualunque sia la distanza considerata (euclidea, del tassista, infinito) troviamo un raggio r<1 tale che se P dista dall’origine, per tale distanza, meno di r, allora, per le altre due distanze, dista dall’origine meno di 1. Quindi P è vicino all’origine per tutte tre le distanze.

Stesso criterio di vicinanza nel piano 1 P 1/2

Stesso criterio di vicinanza nel piano 1

Stesso criterio di vicinanza nel piano 1 P

Spazio topologico Uno “spazio topologico” è un insieme sul quale è definito un “criterio di vicinanza” , ovvero per ogni suo elemento è definito ciò che ci sta intorno (anche indipendentemente da una distanza, ovvero uno spazio topologico non è necessariamente uno spazio metrico). Cioè, per ogni elemento abbiamo un criterio per dire se altri elementi sono più o meno vicini ad esso. Uno spazio metrico è uno spazio topologico e il criterio di vicinanza è dato dalle “palle”.

Il concetto di limite I “criteri di vicinanza” (ovvero gli spazi topologici) sono legati anche ai concetti di “limite” e di “continuità”. In uno spazio topologico, una successione di elementi P1,P2,P3,P4,P5…,Pn,… converge ad un elemento P se: Pur di prendere n grande opportunamente, Pn è “vicino” a P quanto vogliamo.

Limite nel piano Poiché le tre distanze nel piano cartesiano viste prima definiscono il medesimo criterio di vicinanza, abbiamo che esse definiscono anche le medesime convergenze nel piano, ovvero definiscono la medesima “topologia”. Infatti P1,P2,P3,P4…,Pn,… converge a P, per una delle tre distanze, se, pur di prendere n opportunamente grande Pn è contenuto in una palla centrata in P e di raggio piccolo a piacere.

Limite nel piano Pn P1 P2 P3 P4 P5 P6 P

Il piano ha dimensione finita Il fatto che, nel piano, le distanze, sebbene diverse, definiscano comunque il medesimo criterio di vicinanza, ovvero la medesima topologia, dipende dal fatto che il piano ha dimensione finita (due). Vedremo poi un esempio in dimensione infinita, in cui distanze diverse definiscono criteri di vicinanza (e di convergenza) diversi.

Un esercizio Quale distanza “naturale” (euclidea) possiamo considerare sulla retta dei numeri reali (dimensione 1), affinché essa sia uno spazio metrico? Quali sono le palle per tale distanza? Riconosciamo l’usuale definizione di limite (epsilon-delta), tramite il criterio di vicinanza come spazio metrico?

Curve di lunghezza minima e geometrie non euclidee

Curve di lunghezza minima Abbiamo visto che la distanza tra punti nel piano è legata alla lunghezza di curve (tragitti) che collegano i due punti. Ad esempio la distanza euclidea o del tassista è la lunghezza minima che è necessario percorrere per andare da un punto all’altro, lungo le “strade che sono ammesse”. Ammessa qualunque strada, per la distanza euclidea Ammesse le spezzate, per la distanza del tassista.

Distanza euclidea nel piano Curva di minima lunghezza

Distanza del tassista B Curve di lunghezza minima, tra tutte le spezzate A

Subito un’osservazione La curva di lunghezza minima non è necessariamente unica. E’ unica nel caso della distanza euclidea. Non è unica nel caso della distanza del tassista.

Curve di lunghezza minima Ci interessano i casi in cui la curva di lunghezza minima è unica (come per il piano con la distanza euclidea). Chi sono le curve di lunghezza minima nel piano euclideo? SONO LE RETTE (o i segmenti di retta). Quindi, la curva di lunghezza minima è legata all’idea di “andare diritto”, cioè in linea retta.

Curve di lunghezza minima Se in uno spazio metrico X, qualunque siano i punti P e Q, esiste un’unica curva di lunghezza minima che li congiunge, allora tale curva corrisponde al concetto di linea retta per lo spazio metrico X. L’ignaro “abitante” dello spazio metrico X, che non vede nulla al di fuori di esso, quando si muove lungo tale curva “pensa” di muoversi in linea retta. Anche se, vista da un altro ambiente, tale curva è tutt’altro che diritta.

Curve di lunghezza minima Il nostro omino “vede” solo la linea rossa e tutte le altre curve nello spazio X (quelle gialle, viola, verdi…). L’unica di lunghezza minima è la rossa. Muovendosi lungo di essa egli è convinto di andare in linea retta. Noi, però, “dall’alto”, vediamo che la linea rossa non è diritta!

Dalla vita reale Quando noi camminiamo in linea retta (ad esempio lungo le rotaie della ferrovia), andiamo per davvero in linea retta?

Dalla vita reale NO! Non stiamo andando “veramente” in linea retta. Stiamo percorrendo la curva di minima lunghezza che collega due punti sulla superficie terrestre.

Dalla vita reale Noi, in generale, non abbiamo la percezione della rotondità della terra. Per noi la terra è piatta. E’ un piano. Noi siamo come abitanti della superficie terrestre che vedono solo la superficie stessa che sta loro intorno. Siamo come l’omino del disegno precedente, abitante dello spazio metrico X. La nostra terza dimensione (l’altezza) è talmente piccola rispetto al raggio terrestre che noi possiamo essere assimilati ad abitanti 2-dimensionali della superficie terrestre.

Dalla vita reale Quando pensiamo di andare il linea retta, in realtà percorriamo un tragitto curvo sulla superficie terrestre. E non ce ne accorgiamo. Perché? Perché non vediamo altro che il tragitto che stiamo percorrendo ed eventuali altri tragitti possibili, però di lunghezza maggiore.

Dalla vita reale Ma se facciamo la stessa cosa su di un pallone, disegnando con un pennarello un qualunque tragitto sulla superficie di esso, vediamo bene che nessuno di tali segni potrà essere un segmento di retta!

Dalla vita reale La stessa cosa succede sulla superficie terrestre (che possiamo approssimare con la superficie di una sfera). Quindi cos’è la distanza di due punti sulla superficie terrestre? Se per distanza intendiamo la strada di minima lunghezza che possiamo percorre per andare da un punto all’altro, questa non è certo la distanza euclidea tra quei due punti nello spazio 3-dimensionale

Un esempio 2-dimensionale Distanza sulla superficie terrestre P Q Distanza euclidea

Dalla vita reale Se misuriamo la distanza di due punti su di un campo di calcio, non misuriamo la loro distanza euclidea, ma la loro distanza sulla superficie terrestre. Ma in quel caso, data la brevità del tragitto rispetto al diametro terrestre, la differenza tra le due distanze è talmente piccola che, di fatto, calcoliamo la stessa distanza in ambedue i casi. Ma cosa succede se dobbiamo misurare la distanza tra Roma e New York?. La lunghezza del tragitto non è più trascurabile rispetto al raggio terrestre.

Roma - New York

Geometria sulla sfera Quali sono le curve di minima lunghezza che collegano due punti sulla superficie della sfera? Si dimostra che esse sono l’arco di “equatore” che collega i due punti. Per “equatore” si intende una qualunque circonferenza ottenuta intersecando la sfera con un piano passante per il centro di essa. Un equatore è cioè una circonferenza sulla sfera, di raggio massimo (pari a quello della sfera). Queste curve si chiamano “geodetiche”.

Geodetiche

Geodetiche sulla Terra Assimilando la terra ad una sfera, i meridiani sono tutti geodetiche, mentre tra i paralleli solo l’Equatore (quello vero, quello geografico) è una geodetica.

Volo Roma New York Ne segue che, pur essendo Roma e New York più o meno alla stessa latitudine, le rotte aeree non seguono certo il parallelo che collega le due città, ma seguono la geodetica, che passa più a nord, ma che è più corta.

Riemann I concetti di geodetica e di curva di lunghezza minima sono stati studiati (e scoperti?) da Bernhard Riemann, matematico tedesco dell’800.

Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826 - 1866

Un’osservazione Se le geodetiche, cioè gli “equatori”, sono le “rette” della superficie sferica, esistono rette parallele? Nel piano, due rette sono parallele se non si intersecano, cioè se non hanno alcun punto in comune. Ci sono rette sulla superficie sferica (cioè equatori) che non hanno alcun punto in comune? NO! Hanno sempre due punti in comune

Il quinto Postulato di Euclide Il famoso quinto postulato di Euclide, dice che: Data una retta r e dato un punto P fuori di essa, esiste una ed una sola retta s passante per P e parallela a r. r s P

Il quinto postulato di Euclide Sulla superficie sferica, il quinto postulato non è vero. Data una retta (un equatore) ed un punto fuori di essa, non esiste alcuna altra retta (equatore) che passa per il punto e che sia parallela alla retta data (cioè che abbia intersezione vuota con essa). La geometria sulla sfera non è una geometria euclidea! Sulle grandi distanze, anche nella nostra vita reale sulla Terra, dobbiamo tenerne conto.

Un po’ di storia Euclide formulò cinque postulati che stanno alla base della geometria (che da lui in poi si chiama euclidea) e che è la geometria “classica”. Per due punti passa una ed una sola, tutti gli angoli retti sono uguali, attorno ad ogni punto si può tracciare un cerchio di raggio a piacere, un segmento di retta può essere prolungato indefinitamente in linea retta… Un postulato (o assioma) è una proposizione che si assume per vera, senza doverla dimostrare. Per secoli però si è pensato che il quinto postulato (quello delle parallele) si potesse provare a partire dai primi quattro.

Un po’ di storia La geometria sulla sfera, soddisfa ai primi quattro postulati, ma non al quinto. Questo prova che il postulato delle parallele non è conseguenza dei primi quattro. Si possono quindi pensare “geometrie” in cui valgono solo i primi quattro postulati e non il quinto.

Negazione del quinto postulato Negare il quinto postulato significa assumere una delle seguenti ipotesi: Per un punto esterno ad una retta non passa alcuna retta parallela alla retta data (es. geometria sulla sfera); Per un punto esterno ad una retta passa più di una retta parallela alla retta data (normalmenate infinite). Anche questa seconda ipotesi dà luogo ad interessanti geometrie non euclidee.

APPROSSIMAZIONE

Diamo qui un esempio di distanza definita su un insieme i cui elementi (pur essendo oggetti matematici) non sono dei semplici “punti geometrici”.

Necessità di approssimare: misurazioni imprecise Non sempre è possibile misurare un evento naturale, un fenomeno fisico, un esperimento in laboratorio, in modo preciso. I nostri dati rilevati con la nostra indagine sono spesso parziali.

Necessità di approssimare: troppi parametri in gioco I modelli matematici che descrivono i fenomeni fisici e naturali sono quasi sempre anch’essi parziali, ovvero non possono tenere conto di tutti i parametri (spesso numerosissimi) che entrano in gioco nel fenomeno studiato.

Necessità di approssimare: equazioni difficili da studiare Le equazioni che compaiono nei modelli matematici che descrivono i fenomeni fisici e naturali sono inoltre spesso semplificate, per poterle studiare e risolvere meglio. Caso tipico: semplificazione di equazioni non lineari in equazioni lineari.

Necessità di approssimare: i computers più di tanto non fanno Per poter implementare un modello matematico in un computer e fare così dei calcoli che possano rappresentare, per esempio, l’evoluzione futura del fenomeno che si sta studiando, è necessario fare ulteriori semplificazioni. Questo perché i computers, anche i più potenti, riescono a fare i calcoli con un numero finito di dati, mentre spesso le equazioni del modello matematico comportano un numero infinito di dati.

Un esempio Supponiamo di dover registrare un segnale sonoro, per poi, per esempio, implementarne i dati in un computer, pulirlo da eventuali “rumori” (disturbi), comprimerlo, studiarne le caratteristiche principali, ecc... Ovviamente è solo un esempio, che non vuol rappresentare nessuna situazione pratica. Al posto del segnale sonoro può esserci l’evoluzione della temperatura in una barra di metallo, l’andamento di un titolo in borsa, la deformazione di una barra elastica posta sotto sforzo, ecc….

Un esempio Un segnale sonoro è tipicamente rappresentato da una sinusoide, ma vari disturbi possono esserci nella produzioni di esso, nella trasmissione, nella ricezione. Supponiamo che esso sia rappresentato dal seguente grafico

Un esempio Ampiezza del segnale in funzione del tempo, nell’intervallo temporale [0,T] A A(t’) T t’ t L’ampiezza è quindi una funzione del tempo e questo ne è il suo grafico

Un esempio Noi però non siamo in grado di misurare e memorizzare l’ampiezza del segnale per ognuno degli (infiniti) istanti dell’intervallo [0,T] (per esempio T=1 minuto). Ma possiamo misurare e memorizzare il dato ampiezza solo per un numero finito di istanti: per esempio 0, t1, t2, t3, t4, t5, T. Con questi soli dati a disposizione, cioè le 7 coppie (0,A(0)), (t1,A(t1)), (t2,A(t2)),… (T,A(T)), possiamo pensare di “approssimare” il segnale vero tramite una cosiddetta “interpolata lineare”

Un esempio A t4 T t1 t2 t3 t5 t

Un esempio L’idea è che, più dati riesco a misurare e a memorizzare, cioè più sono i “nodi temporali” t1, t2, t3…., costruendo poi l’interpolata lineare, meglio approssimo il segnale vero in arrivo.

Un esempio A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Un esempio A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Un esempio A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Un esempio A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Un esempio Nessuno ha dubbi sul fatto che, delle tre interpolate lineari, la terza sia quella che meglio approssima il segnale vero.

Alcune domande Quindi, la terza interpolata lineare meglio approssima il segnale. Ma cosa vuol dire “meglio approssima il segnale”? Vuol dire “è più vicina al segnale” Ma cosa vuol dire “è più vicina al segnale”? Vuol dire che la sua distanza dal segnale è la più piccola, dei tre casi. Già, ma di quale distanza stiamo parlando? Non abbiamo mai definito una distanza tra funzioni (o tra grafici di funzioni).

Distanza tra funzioni Cos’è che diventa più piccolo nel passare dalla prima interpolata, alla seconda e alla terza? Rivediamo la sequenza

Interpolata 1 A t4 T t1 t2 t3 t5 t

Interpolata 2 A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Interpolata 3 A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Distanza tra funzioni Prima ipotesi: diventa più piccola la distanza massima tra i due grafici, presa punto per punto.

Interpolata 1 A t4 T t1 t2 t3 t5 t

Interpolata 2 A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Interpolata 3 A s3 s1 s2 t4 s5 T t1 t2 t3 s4 t5 t

Distanza tra funzioni Seconda ipotesi: diventa più piccola la porzione di piano compresa tra i due grafici, cioè l’area compresa tra i due grafici.

Interpolata 1

Interpolata 2

Interpolata 3

Distanza tra funzioni A partire da ciascuna di queste ipotesi, si può definire una distanza (e anche più d’una) tra grafici di funzioni (ovvero tra funzioni). E ciascuna di queste distanze, rende conto del fatto che la nostra interpolata si avvicina sempre di più al segnale dato. Ovviamente, stiamo parlando di “vere distanze”, cioè le tre proprietà (definitezza positiva, simmetria e disuguaglianza triangolare) sono soddisfatte). Vediamo come tali distanza si possono formulare analiticamente.

Definizioni astratte di distanza tra funzioni Per fissare le idee, consideriamo X, l’insieme di tutte le funzioni definite sull’intervallo [0,1] e che assumono valore nell’insieme dei numeri reali. g 1 x f

Definizioni astratte di distanze tra funzioni Massima distanza tra i grafici: distanza elle-infinito In un qualche senso corrisponde alla distanza infinito nel piano (invece che il massimo della differenza delle coordinate, c’è il massimo della differenza dei valori assunti dalle funzioni).

Definizioni astratte di distanza tra funzioni Area tra i grafici, primo caso: distanza elle-uno In un qualche senso corrisponde alla distanza del tassista nel piano (al posto della somma c’è l’integrale)

Definizioni astratte di distanza tra funzioni Area tra i grafici, secondo caso:distanza elle-2 In un qualche senso corrisponde alla distanza euclidea nel piano (al posto della somma c’è l’integrale)

Perché elle-infinito, elle-1, elle-2? La lettera L nel nome delle distanze, è dovuta al fatto che tali distanze (anche quella elle-infinito, anche se non sembra) sono legate alla teoria dell’integrazione, che, all’inizio del ‘900, è stata definitivamente ed esaurientemente formalizzata dal matematico francese Henri Lebesgue.

Henri Léon Lebesgue 1875 - 1941

Sulle topologie associate alle distanze tra funzioni Per quanto già detto, le nostre interpolate si avvicinano al segnale vero sia per la distanza elle-infinito, che per quella elle-1, che per quella elle-2. Ma è un caso particolare. A differenza delle distanze nel piano, queste non danno luogo alla stessa topologia, ovvero agli stessi criteri di vicinanza, ovvero alle stesse convergenze.

Un esempio 1 f1 1/2 1 x g=0

Un esempio 1 f2 1 1/4 1/2 x g=0

Un esempio 1 f3 1 1/8 1/4 x g=0

Un esempio 1 f4 1 1/8 x 1/16 g=0

Un esempio Vediamo come (e se), secondo le distanze elle-infinito e elle-1, le funzioni f1, f2, f3, f4 si avvicinano alla funzione nulla g.

Un esempio Distanza elle-infinito: Per la distanza elle-infinito non si avvicinano alla funzione nulla: restano sempre ad una distanza pari a 1.

Un esempio Distanza elle-1: Le funzioni si avvicinano sempre di più alla funzione nulla, perché la distanza rimpicciolisce. Iterando il procedimento, considerando f5, f6, f7…., la distanza tende a diventare zero. Altri esempi si possono creare in cui c’è convergenza rispetto a elle-2 ma non a elle-infinto, oppure rispetto a elle-1 ma non a elle-2.

Dimensione infinita Nel piano le distanze determinano la medesima topologia, ovvero il medesimo criterio di vicinanza. Nell’insieme X delle funzioni sull’intervallo [0,1], come appena visto, questo non accade. Ci può essere convergenza per una distanza ma non per le altre. Il piano ha dimensione 2. Per descrivere pienamente la posizione di un punto nel piano bastano due informazioni: ascissa e ordinata. L’insieme X delle funzioni ha dimensione infinita. Per descrivere pienamente una funzione occorrono infinite informazioni: tutti i valori che essa assume su ciascuno degli infiniti punti dell’intervallo [0,1].

Dimensione infinita Le distanze, pur essendo diverse, definiscono lo stesso criterio di vicinanza solamente in dimensione finita. In dimensione infinita le distanze non definiscono lo stesso criterio di vicinanza. Le tre distanze definite sull’insieme X delle funzioni, sono tutte e tre utili in opportune situazioni di studio (e tante altre se ne possono definire). Il fatto che definiscano diverse topologie, alle volte è proprio ciò che serve, perché permette di usare differenti criteri di convergenza (ovvero di approssimazione), utili, ad esempio, per il calcolo numerico (implementazione nel computer). Ma è importante anche da un punto di vista teorico.

CONCLUSIONE Partendo dalla distanza euclidea di due punti nel piano e da altri tipi di distanze nel piano, abbiamo cercato di individuare quali debbano essere le proprietà caratteristiche di “una distanza”. Abbiamo introdotto strutture astratte quali gli spazi metrici e gli spazi topologici. Abbiamo studiato il concetto di distanza sulla superficie sferica (Terra) tramite le curve di minima lunghezza; abbiamo introdotto le geodetiche e sfiorato le geometrie non euclidee. Abbiamo introdotto varie definizioni di distanza tra funzioni e tra grafici, utili, ad esempio, per studiare il problema dell’approssimazione.

Conclusione: ricerche attuali La teoria degli spazi metrici (ben oltre ciò che qui abbiamo detto) è largamente usata nella ricerca matematica attuale. Un attuale campo di ricerca, molto vivo anche in Italia, è lo studio di particolari spazi metrici astratti (ad es. gruppo di Heisenberg, o più in generale spazi di Carnot-Caratheodory). Ricadute e applicazioni di tali studi si hanno, ad esempio, in Geometria Differenziale, nella Teoria Matematica del Controllo e in Robotica.