LE CONICHE                                       

Le coniche come intersezione fra un piano ed un cono matematico                                                                    CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE

RICHIAMI SULLA RETTA Equazione generale della retta ax + by + c = 0 In forma esplicita y = mx+q dove m è il coefficiente angolare asse x y = 0 asse y x = 0 retta parallela all’asse x y = k retta parallela all’asse y x = k retta passante per l’origine ax + by = 0

La Circonferenza r La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato CENTRO. C La sua equazione è

Le coordinate del centro e la lunghezza del raggio sono date da: C( α, β) dove α = -a/2 e β= -b/2 le coordinate del centro sono sempre calcolabili, il valore invece del raggio dipende dal fatto che il radicando sia positivo. Nel caso in cui sia nullo, si ha una circonferenza ridotta ad un punto e raggio zero. Se il radicando è negativo, si tratta teoricamente di una circonferenza non reale

Circonferenza e retta Retta secante Retta tangente Retta esterna

Circonferenza e retta Per trovare, nel piano cartesiano, le coordinate degli eventuali punti di intersezione di una circonferenza con una retta, si risolve un sistema di secondo grado con le equazioni assegnate

retta secante se >0 retta tangente se =0 retta esterna se <0

L’Ellisse Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti  fissi  F1 e F2 (detti fuochi). P F2 F1

PF1 + PF2 = costante Se F1 e F2 sono i fuochi dell’ellisse per ogni punto P dell’ellisse si ha che: P PF1 + PF2 = costante F1 F2

Consideriamo un’ellisse con centro nell’origine e fuochi sull’asse delle ascisse. A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-b) B2(0,b) I punti A1, A2, B1, B2 sono detti “vertici” dell’ellisse. B2 A1 A2 F1 F2 A1A2 è l’ “asse maggiore” B1 F1(-c,0) F2(c,0) B1B2 è l’ “asse minore” dove: F1F2 è l’ “asse focale”

L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ascisse è: con a > b misure dei semiassi y b x a

sull’asse delle ordinate si avrà un’ellisse simile a quella in figura. B2 Se i fuochi sono sull’asse delle ordinate si avrà un’ellisse simile a quella in figura. F2 A1 A2 F1 Evidentemente, l’asse maggiore è il segmento B1B2 B1

L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ordinate è: con b > a misure dei semiassi

Viene chiamata eccentricità “e” di un’ellisse il rapporto tra la semidistanza focale “c” e la lunghezza del semiasse maggiore: 0 ≤ e ≤ 1

LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti fa un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE Se a >0 la parabola volge la concavità verso l’alto Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso

V è IL VERTICE DELLA PARABOLA Nb.in alternativa per ricavare la y del vertice basta sostituire la x nella equazione della parabola

Per tracciare con sufficiente precisione il grafico di una parabola è necessario determinarne: Concavità Vertice Intersezioni con gli assi cartesiani

IPERBOLE Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti  fissiF1 eF2 detti fuochi.

Equazione: Lunghezze degli assi: 2a asse trasverso 2b asse non trasverso Coordinate dei vertici: ( -a, 0 ) , ( a, 0 ) Coordinate dei fuochi: ( -c, 0 ) , ( c, 0 )

FINE PRESENTAZIONE G. Barbaro