Alla scoperta di una regolarità… … e poi generalizziamo!

Quanti quadrati ci sono in questa scacchiera? Guardando una scacchiera potrai trovarci quadrati piccoli e quadrati più grandi. Quanti quadrati riesci a contare? Non importa il colore!

Esprimi a parole tue la strategia che hai adottato e poi indica la soluzione trovata. N.B. Può essere un esercizio da dare ai ragazzi e da far svolgere a gruppi. Un suggerimento utile per i ragazzi potrebbe essere quello di costruire una tabella: lunghezza del lato del quadrato (l ) numero di quadrati con quel lato (n)

Ci sono più strategie, cioè più strade! Ma la soluzione è una!

La mia strada: esigenza di semplificare! Un quadrato 1 n=2 Un quadrato 2x2 + 4 quadrati 1x1 = 5 n=3 Un quadrato 3x3 + 4 quadrati 2x2 + 9 quadrati 1x1 = 14

4 quadrati 3x3 + 9 quadrati 2x2 + N=4 Un quadrato 4x4 + 4 quadrati 3x3 + 9 quadrati 2x2 + 16 quadrati 1x1 = 30

Un animazione che aiuta… È possibile creare delle animazioni, cioè immagini gif con il programma gratuito UnFREEz.exe (facile da utilizzare)

Avete scoperto la regola che c’è dietro? È la somma dei quadrati! Quindi generalizziamo… nel caso di un quadrato nxn dovrò svolgere questa somma

Ritorniamo al caso 8x8 Dall’esigenza di semplificare… la scoperta di una regola che mi aiuta nel calcolo. Questo esempio aiuta nel far capire la convenienza delle formule!

Ma la matematica si ferma qui??? La matematica non si ferma qui, perché ancora non abbiamo dimostrato che sia vero per n! Finora sono solo ipotesi! Il cuore si ferma qui??? Il cuore dell’uomo non si ferma! Non gli basta aver ipotizzato la soluzione! Il cuore desidera la certezza!

Un problema di certezza! Come facciamo ad essere certi che aumentando di uno la suddivisione dei lati del quadrato, cioè suddividendo i lati in n+1 parti uguali, aumentiamo la somma precedente di (n+1)x(n+1) possibilità?

Un problema di tagli

Con un taglio divido sempre il quadrato in due parti, in questo caso, esse sono uguali perché ho fatto il taglio congiungendo i punti medi dei lati opposti il primo taglio secondo taglio Ora dobbiamo fare un secondo taglio, ma ci sono due modi: Se il taglio non interseca il primo taglio aumento di 1 il numero di parti Se il taglio interseca il primo taglio aumento di 2 il numero di parti

Avendo scoperto questa proprietà sui tagli, possiamo dimostrare che se le suddivisioni del lato sono n+1, facendo i primi n tagli tra loro paralleli (e quindi non intersecandoli) ottengo n+1 parti. Adesso, facendo i tagli in modo perpendicolare ai precedenti, ad ogni taglio aumentiamo le parti di n+1: infatti con il primo taglio trasversale otteniamo 2(n+1) parti Con il secondo taglio trasversale abbiamo 3(n+1) … All’ennesimo taglio avremo (n+1)x(n+1)

In questo modo abbiamo dimostrato che ogni volta che aumento di uno il numero di tagli (n+1), la formula finale che conteggia il numero di quadrati che ci sono nella figura aumenta sempre del suo quadrato ( ).

Ma il cuore dell’uomo e quindi il matematico si ferma qui??? Il cuore dell’uomo continua a porsi domande, perché il cuore è esigenza di verità, di totalità! Il cuore continua a porsi domande del tipo: “ma è sempre così?” oppure “e se invece …?”

E se invece non ho un quadrato? Se ho un rombo? Nel costruire la scacchiera ho diviso il lato del quadrato in n parti uguali e poi ho congiunto i punti sui lati, generati dalla suddivisione, in modo che i segmenti fossero paralleli ai lati. Si intuisce che la questione è la stessa se ho un rombo, se ho un rettangolo, se ho un parallelogramma

Ma ci basta???

E se invece non ho un quadrato? Se ho un triangolo cosa succede Nel costruire la scacchiera ho diviso il lato del quadrato in n parti uguali e poi ho congiunto i punti sui lati, generati dalla suddivisione, in modo che i segmenti fossero paralleli ai lati.

e cerchiamo la regolarità… Costruiamo… e cerchiamo la regolarità…

N=1 N=2 N=3 N=4 Tot = 1 Tot = 1+4 =5 Tot = 1+4 +9= 14 Tot = 1+4 +9+ 16= 30 Numero di quadrati nella figura Tot = 1 Tot = 1+4 =5 Tot = 1+3 +9= 13 Tot = 1+3 +7+ 16= 27 Numero di triangoli nella figura

Non vale la “regola” di prima! E quindi??? Ci fermiamo?????

Qual è la vostra strategia? Il numero di triangoli di lato 1 con la punta verso l'alto è la sommatoria dei primi n numeri (n=4). Una volta contati i triangoli di lato 1 con la punta verso l'alto contiamo quelli di lato uno con la punta verso il basso e si può notare che questi sono la sommatoria dei primi n-1 numeri (n=4). Poi conto i triangoli di lato 2 con la punta verso l’alto e ottengo la sommatoria dei primi n numeri (con n=3) e conto quelli con la punta verso il basso e ne conto solo 1. C’è una formula per contarli tutti?

E se invece di… contare tutti i quadrati della figura conto solo quelli sul bordo? Come li posso contare?

Più strategie… un’unica soluzione! Chiamo n il valore del lato del quadrato bianco Prima strategia Seconda strategia

Più strategie… un’unica soluzione! Chiamo n il valore del lato del quadrato bianco Terza strategia Quarta strategia

Se avete notato… Le quattro strategie sono tutte algebricamente equivalenti!

Al lavoro Gli esempi fatti fino ad ora non sono prettamente didattici. Come conseguite l'obiettivo che i ragazzi imparino a generalizzare? Che esercizi proponete nelle vostre lezioni?