Integrali Indefiniti Risolvono il problema di trovare tutte le funz. la cui derivata è uguale ad una funz. assegnata. Queste funz. sono dette primitive della funz. assegnata. Def.: Si dice che la funz. F(x) è una primitiva della funz. f(x) nell’intervallo [a;b], se F(x) è derivabile in ogni punto dell’intervallo e risulta: F’(x) = f(x).

Integrali Indefiniti Se F(x) è una pr. di f(x) anche F(x) + c è pr. di f(x). Se la funz. f(x) ammette una pr. allora ne ammette infinite, e tutte differiscono per una costante. F’(x) = G’(x) allora G(x) = F(x) + k .

Integrali Indefiniti Def.: la totalità delle pr. di una data funz. f(x) si chiama integrale indefinto della funz. data e si indica con: e si legge … f(x) è la funz. integranda f(x)dx è l’espressione integranda x è la variab. di integrazione dx è un simbolo per indicare una qtà infinitesima Dalla def. si ha: = F(x) + c con c R

Integrali Indefiniti La derivata dell’integr. di una funz. è la funz. stessa: Infatti: Quindi l’integr. è l’operaz. inversa della derivaz. La tab. delle derivate fondamentali, scritta al contrario, diventa quella degli integrali fondamentali.

Integrali Indefiniti Posto y = si ha y = F(x) + c. Rappresentando in un sist. di assi cart.ortog. la curva di eq. y = F(x); tutte le altre curve sono ottenute dalla y = F(x) mediante una traslaz. di vettore (0;c). Ottenendo in questo modo una famiglia di curve.

Integrali Indefiniti Calcolare l’integr. significa trovare infinite funz. che differiscono solo per una cost. Teor.: Ogni funz. continua in un intervallo ammette sempre una pr. L’operazione di derivaz. non può applicarsi a tutte le funz. cont. L’operazione di integraz. può applicarsi a tutte le funz. cont. La continuità assicura l’integrabilità ma non la derivabilità.

Integrali Indefiniti Costante moltiplicativa e somma algebrica: L’int. ind. è un operatore lineare:

Integrali Indefiniti

Integrali Indefiniti Metodo della scomposizione: scomporre la funz. integranda nella somma di due o più funz. che si sappiano integrare.

Integrali Indefiniti Metodo della sostituzione: introdurre una variab. ausiliaria al posto della variab. di integraz. Si deve poi ricalcolare anche il dx.

Integrali Indefiniti Metodo della integrazioni per parti Il differenziale di una funz. il prodotto della sua derivata per il differenziale della variab. indip.: dy=f’(x) dx

Integrali Indefiniti Metodo della integrazioni per parti Fattore finito: f(x) Differenziale del f. f.: f’(x) Fattore differenziale: g’(x) Integrale del f. d.: g(x) Si consiglia di scegliere come fatt. differ. l’espressione facilmente integrabile e come f. f. l’espressione che che si semplifica attraverso la derivazione.

Integrali Indefiniti Metodo della integrazioni per parti Fattore finito: f(x) = x Differenziale del f. f.: f’(x) = 1 sen x Fattore differenziale: g’(x) = Integrale del f.d.: g (x) =

Integrali Definiti n intervalli =; di ampiezza Δx=(b-a)/n; a=x0,x1= Δx+x0 … Xk=k Δx+x0 … xn=nΔx+x0=b; formando così n Ik in questi la f(x) avrà un min mk e un max Mk

Integrali Definiti Sia sn la somma dei prodotti del minimo per l’ampiezza: sn= Δx Analogamente per la somma dei prodotti dei valori max. Le 2 somme sono dette: somme integrali inferiori (sn) e superiori (Sn). Le somme sono due successioni di numeri:

Integrali Definiti L’integrale definito è un numero. Teorema: Se f(x) è una funz cont in [a;b] allora le due success. sono convergenti e si ha: Definizione: Data una f(x) cont in [a;b] si chiama integrale definito relativo all’interv [a;b], con a<b, il limite per n →∞ delle due succ. In simboli L’integrale definito è un numero.

Integrali Definiti Interpretazione geometrica dell’integrale definito. L’esigenza del calcolo integrale nasce dal problema di calcolare l’area di figure limitate da spezzate e da curve. In un secondo momento viene poi esteso al calcolo della lunghezza di una curva e del volume di solidi. Per es. per calcolare la lungh di una circonferenza si inscrive e/o circoscrive dei poligoni regolari di n lati; aumentando il num dei lati si può intuire che l’area è data dal limite della misura del poligono per n che tende all’infinito. Calcoliamo l’area di figure piane dai contorni curvilinei, e definiamo trapezoide l’insieme dei punti compresi tra la curva e l’asse delle x.

Integrali Definiti Indicando con T l’area del trapezoide e con sn e Sn l’area del plurirettangolo inscritto e di quello circoscritto al trapezoide si ha: sn <T< Sn. Si può definire l’area di un trapezoide come il lim comune alle 2 success. In simboli:

Integrali Definiti Proprietà.

Integrali Definiti Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Def.: Sia f(x) cont in [a;b], si definisce media integrale o valor medio di f(x) in [a;b] il numero: Teor.della media: Sia f(x) cont in [a;b], esiste allora un punto c interno all’intervallo t.c.:

Integrali Definiti f(x) cont. allora ammette un Max e un min, allora Per la proprietà di monotonia dell’integrale definito Per la proprietà delle funz costanti Essendo b-a>0 Essendo cont la f(x) assume tutti i valori compresi tra il Max e il min, esiste allora un punto c t.c.

Integrali Definiti Interpretazione geometrica del teor della media. Preso un punto c interno all’intervallo di definizione della f(x) l’area del trapezoide individuato dalla f(x) è Equivalente al rettangolo di base (b-a) e altezza f(c).

Integrali Definiti Def.: Sia f(x) un funz cont nell’interv [a;b] e sia x un Punto appartenente a tale interv. Si chiama funzione Integrale di f in [a;b] la funzione: L’integrale è un numero reale e ad ogni x è associato un e un solo num reale. Se f(x) non negativa allora F(x) rappresenta l’area del trapezoide.

Integrali Definiti Teor. di Torricelli-Barrow: Se la funz integranda f(x) è cont in [a;b] allora la funz integrale è derivabile in [a;b] e la derivata della funz integrale coincide con la funz integranda, cioè: F’(x) =f(x). Questo teor è di fondamentale importanza perché assicura che se f(x) è cont in [a;b] allora la funz integrale F(x) è derivabile in [a;b] e, dato che la sua derivata è la funz integranda f(x), F(x) è una primitiva di f(x). Quindi l’ins di tutte le primitive di una funz cont in [a;b] è dato da Questo teor permette di calcolare l’integr definito senza calcolare il lim delle successioni.

Integrali Definiti Formula di Leibniz-Newton - Teorema: Sia f(x) una funz cont in [a;b] e G(x) una sua primitiva. Allora: Posto (1) ovvero la funz integrale associata alla funz assegnata,F(x) e G(x) sono 2 primitive di f(x) e quindi differiscono per una costante (2). Se x=a si ha che l’integrale è = 0 e quindi G(a)=c da cui (3). Se x=b si ha (4). In definitiva (5).

Integrali Definiti Operativamente per calcolare l’integrale definito di una funz cont in [a;b]: Si determina una primitiva della f(x) calcolando l’integrale indefinito, scegliendo la primitiva con c = 0. Si calcola la differenza dei valori che la primitiva assume rispettivamente in x=b e in x=a.

Integrali Definiti Applicazioni del calcolo integrale:Area di una superficie piana

Integrali Definiti Applicazioni del calcolo integrale:Area di una superficie piana

Integrali Definiti Applicazioni del calcolo integrale: volume di un solido di rotazione

Integrali Definiti Applicazioni del calcolo integrale: lunghezza di un arco di curva piana

Integrali Impropri Che l’integrale definito sia uguale a G(b)-G(a) vale anche in questi casi: f(x) è discontinua in un numero finito di punti di [a;b]. Si dice che la f(x) è generalmente continua in [a;b]. b) Uno degli estremi dell’intervallo o entrambi sono infiniti. Anche in questo caso si dice che f(x) è general. cont. se lo è in ogni intervallo contenuto in [a;b] In questi casi l’integrale della f(x) è detto integrale improprio (o generalizzato) della f(x) in [a;b]

Integrali Impropri In un intervallo limitato: 1) f(x) funz cont in tutti i punti di [a;b), escluso b 2) f(x) funz cont in tutti i punti di (a;b], escluso a 3) f(x) funz cont in tutti i punti di (a;b), ma non in a e b 4) f(x) funz cont in [a;c) U (c;b], escluso un punto c

Integrali Impropri In un intervallo illimitato: 1) f(x) funz cont in tutti i punti di [a;+∞) 2) f(x) funz cont in tutti i punti di (-∞;b], 3) f(x) funz cont in tutti i punti di (-∞;+∞)

Criteri di integrabilità In alcuni casi non è possibile o non è facile calcolare la primitiva di una f(x) e quindi non è possibile determinare se la f(x) è integrabile. Esistono alcuni teor che permettono di riconoscere l’integrabilità di un f(x) in senso improprio senza dover calcolare la primitiva. Sono i teor che enunciano i criteri di confronto.

Criteri di integrabilità

Criteri di integrabilità