Differenziale di una funzione

Consideriamo una funzione continua e derivabile in un intervallo [a,b] Fissato un valore della variabile indipendente x consideriamo un suo incremento e valutiamo il conseguente incremento della funzione x y f(x + Dx) f(x) x Tale incremento e’ quindi:

y x x Tale incremento si può scomporre in due parti: (segnate in verde e in rosso rispettivamente) x y x

x Quando Dx diminuisce anche dy e h diminuiscono. Dalla figura ci si rende conto che dy tende a zero con la stessa rapidità di Dx mentre h tende a zero più rapidamente di Dx (è un infinitesimo del second’ordine). Infatti: x Il termine tende a zero più rapidamente di

Quindi la quantità Dy si può scrivere nella forma: x

x Al tendere di Dx a zero è lecito trascurare l’addendo La quantità dy si può scrivere nella forma:

Quindi dy, che è la parte lineare dell’incremento, è un infinitesimo dello stesso ordine di Dx. dy si chiama differenziale della funzione nel punto x. Definizione: il differenziale di una funzione è la parte lineare del suo incremento. Detto in altre parole: l’incremento di una funzione si può decomporre nella somma di due parti: l’una è lineare nell’incremento della variabile, e ha lo stesso ordine di infinitesimo dell’incremento della variabile, l’altra è non lineare e ha ordine di infinitesimo superiore all’incremento della variabile (la parte che viene trascurata).

Il differenziale di una funzione è quindi dato dal prodotto della derivata della funzione per l’incremento della variabile. In particolare se la funzione è la variabile indipendente stessa, poiché la derivata di x è 1 si ha dx = 1 Dx Pertanto la relazione si può scrivere Quindi la derivata, si può scrivere come il rapporto tra il differenziale della funzione e il differenziale della variabile indipendente.

L’importanza del differenziale sta nel fatto che nella fisica e nella tecnica, spesso per calcolare le “piccole” variazioni di una funzione in corrispondenza a “piccole” variazioni della variabile conviene limitarsi al calcolo della parte lineare dell’incremento della funzione. Ad esempio nella equazione di stato di un gas perfetto: se varia il volume varia anche la pressione. La relazione esatta tra le due variazioni è: Ma se ci limitiamo a piccole variazioni del volume, possiamo limitarci a calcolare la parte lineare dell’incremento, ovvero il differenziale, ottenendo la relazione approssimata: che differisce di poco da quella esatta. Questa relazione, sebbene approssimata, è più semplice da calcolare in quanto basta moltiplicare la derivata della funzione per l’incremento della variabile.

Esempio: F(x) = x2 42= 16 4 Vogliamo calcolare   42= 16 0,3871 4     Vogliamo calcolare Calcolando dy si ottiene un valore approssimato, tanto migliore quanto più Dx è piccolo. Nel nostro caso Dx = 0,3781

L’approssimazione è conseguenza del fatto che invece di calcolare la variazione della funzione ci si limita a calcolare la parte lineare di tale variazione. Esercizio: Di quanto varia il campo gravitazionale al variare della distanza dalla terra? In conclusione nella fisica il differenziale costituisce uno strumento molto semplice (basta fare una derivata) per valutare in modo approssimato le piccole variazioni che una funzione subisce in conseguenza di piccole variazioni date alla variabile.