Corso di Matematica Discreta I Anno Gabriella Muratore

Programma Insiemi e Funzioni Equivalenze ed ordinamenti Numeri interi Calcolo Combinatorio Introduzione ai Grafi

Introduzione Connettivi logici E (AND) congiunzione O (OR) disgiunzione NON (NOT) negazione Connettivo condizionale Se ….. Allora…. P D ( connettivo implicazione) Se è vera P e se è vera P D allora è vera D La proposizione P D è falsa solo se P è vera e D è falsa P ipotesi - D tesi

Notazione N = Insieme dei numeri interi naturali 1,2,3,…  (con o senza zero, 0) (N+, N0. = Insieme dei numeri interi relativi (compreso lo zero) …-3,-2,-1,0,1,2,3 …. Z+, Z-. Q = Insieme dei numeri razionali  …3/4, 2/3 …  R o  = Insieme dei numeri reali. C= Insieme dei numeri complessi E’ N Z  Q  R  C

Introduzione Dimostrazione per assurdo: P (ipotesi)D (tesi) Assumere vera l’iposi e falsa la tesi. Se il ragionamento logico deduttivo ci porta ad una contraddizione abbiamo dimostrato che P (ipotesi)D (tesi). Doppia Implicazione (se e solamente se) P  D equiv (PD ) E (D  P) P è condizione necessaria e sufficiente perché accada D. PD : P è sufficiente perché accada D e D  P : P è condizione necessaria perché accada D P  D è vera se e solamente se P e D sono entrambe vere o entrambe false

Introduzione Quantificatori (esiste) quantificatore esistenziale (per tutti- per ogni) quantificatore universale Connettori / oppure : tale che x / P(x) significa “esiste almeno un x tale che il predicato P è vero”  x P(x) significa “ per tutti gli x il predicato P è vero” Esempi:  x / x2 1 (è vera) mentre  x x2 1 (è falsa)  x x2 0 (è vera) mentre  x / x2< 0 (è falsa)

Introduzione Importanza dell’ ordine dei quantificatori. Esempio Supponiamo che L(x,y) significhi: la persona x è in grado di svolgere il lavoro y y  x / L(x,y) significa: “qualunque sia il lavoro, esiste una persona in grado di svolgerlo“  x  y / L(x,y) significa: “ esiste una persona che è in grado di svolgere qualunque lavoro“

Introduzione Negazione e quantificatori non (  x P(x))   x / ( non P(x)) non ( x / P(x))   x ( non P(x)) Uguaglianza x=y L’uguaglianza è una relazione (predicato tra due variabili) che esprime il fatto che x e y sono intercambiabili a tutti gli effetti.

Introduzione Uguaglianza Se R è un qualunque predicato in una variabile allora è vero che: x  y / x=y  (R(x)  R(y) ) Proprietà dell’Uguaglianza x x=x (proprietà riflessiva) x  y x = y  y = x (proprietà simmetrica) x  y z (x=y) e (y=z)  x=z (proprietà transitiva)

Insiemi Assumiamo il concetto di insieme come “nozione primitiva”. Es. Insieme degli alunni di questa classe; insieme dei numeri interi; insieme delle rette del piano; ecc. Sinonimi: aggregato, classe, famiglia, …

Insiemi L’espressione x T si legge: “ x appartiene all’insieme T” o “ x è un elemento di T” Scriveremo invece x T per negare l’espressione precedente cioè per affermare che x non appartiene a (o non è un elemento di) T. L’intuizione ci suggerisce di considerare uguali due insiemi che abbiano gli stessi elementi. In simboli: ( x x A  x B )  A=B

Insiemi Il significato che abbiamo dato al segno di uguaglianza ci assicura che due insiemi aventi gli stessi elementi devono avere il medesimo ruolo in tutte le enunciazioni che fanno parte della nostra teoria. Per indicare un insieme basterà (quando è possibile) elencarne gli elementi; converremo di elencarli entro parentesi graffe. Ad esempio 2,5,6 indica l’insieme i cui elementi sono appunto i numeri 2,5 e 6. La notazione a indica l’insieme costituito dal solo elemento a ; mentre con il simbolo  indicheremo uno speciale insieme, detto insieme vuoto, che non contiene alcun elemento.

Insiemi Relazione di Inclusione Se ogni elemento di un insieme A è un elemento dell’insieme B, cioè:  x: xA  x B, allora diciamo che A è contenuto in B, oppure A è una parte o un sottoinsieme di B, e scriviamo A B. Notiamo che la relazione A B è verificata nel caso in cui A=B. Per esprimere il fatto che A B ma è AB, cioè esistono elementi di B che non sono elementi di A, si scrive A B. Si dice in questo caso A B che A è sottoinsieme proprio di B, ovvero A è propriamente contenuto in B

Costruzioni Insiemistiche Procedimenti che, partendo da insiemi assegnati, ci forniscono nuovi insiemi. Supponiamo che T sia un insieme e che P(x) sia una proprietà che ha senso per gli elementi di T. Scriviamo allora x: (xT) e P(x)  per indicare il sottoinsieme di T formato dagli elementi per cui P(x) è vera. Es. x: (xR) e (sin x=0)  rappresenta l’insieme dei multipli interi di .

Operazioni insiemistiche Unione L’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A,B. Esso viene indicato con A B. In simboli A B = x: (xA) o (xB) . def Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A B=C= 1,2,3,4,5,6,7,8,9 B A

Operazioni insiemistiche Intersezione L’intersezione di due insiemi A e B è l’insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Esso si indica con il simbolo A  B. In simboli A  B = x: (xA) e (xB) . def Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A  B=C= 3,5 B Può accadere che i due insiemi siano disgiunti (cioè non abbiano alcun elemento in comune. Allora si scrive A  B= A B A

Operazioni insiemistiche Differenza La differenza di B da A, che si indica con A\B oppure con A-B, è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. In simboli A-B= x: (xA) e (xB). def A B Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A - B=C= 1,7,9

Operazioni insiemistiche Differenza simmetrica La differenza simmetrica A e B, che si indica col simbolo AB, è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono a uno solo degli insiemi A e B, cioè dagli elementi di A che non appartengono a B e dagli elementi di B che non appartengono ad A. In simboli A  B=(A-B)  (B-A) A B def Es. A= 1,3,5,7,9 B= 2,3,4,5,6,8 A  B=C= 1,2,4,6,7,8,9

Insieme delle parti Dato un insieme T, ammettiamo di poter considerare un insieme i cui elementi sono tutte le parti o sottoinsiemi di T; questo insieme sarà detto Insieme delle parti di T e si indicherà con il simbolo P(T). Ad esempio, se è T=a,b,c si ha P(T)= , a, b, c, a,b, a,c, b,c, a,b,c. Le operazioni  e , nell’insieme P(T), hanno proprietà formali molto interessanti.

Proprietà formali di  e  A  A = A Proprietà di Idempotenza A  A = A AB = BA Proprietà Commutativa AB = BA 3. (AB) C= Proprietà Associativa (A  B)  C= =A  (B  C) =A  (B  C) 4. A  (B  C)= Proprietà Distributiva A  (B  C)= =(A  B)  (A  C) =(A  B) (A  C) 5. A(A  B)=A Proprietà di Assorbimento A(AB)=A

Operazioni insiemistiche Complementare Se A P(T), chiamiamo complementare di A rispetto a T l’insieme di tutti gli elementi di T che non appartengono ad A. In simboli A= T-A. Valgono le seguenti proprietà. 6. (A) =A 7. (A  B)= A  B 8. (A  B) =A  B def

Algebra di Boole Si dice Algebra di Boole la struttura che si ottiene assegnando in un insieme (nel nostro caso P(T)) tre operazioni: , ,  (unione, intersezione e complemento) aventi le proprietà 1-8 precedentemente definite. Notiamo che le proprietà 1-8 valgono anche per la logica delle proposizioni, pur di sostituire il simbolo  con il connettivo logico “o”, il simbolo  con il connettivo logico “e”, il simbolo  con il connettivo logico “non” ed Infine il simbolo = con il connettivo logico di doppia implicazione 

Famiglie Infinite di Insiemi Le operazioni di unione ed intersezione si possono estendere al caso di famiglie infinite di insiemi. Sia F una famiglia qualunque di insiemi. Si indica con l’insieme costituito dagli elementi che appartengono a qualcuno degli insiemi XF. Questo insieme viene detto insieme unione della famiglia F. In simboli: = x: ( X / X F e x  X). Similmente si indica con l’insieme costituito dagli elementi che appartengono a ciascuno degli insiemi XF. Questo insieme viene detto insieme intersezione della famiglia F. In simboli: = x: ( X / X F  x  X).

Considerazioni Sia T un insieme e sia P(x) un predicato che abbia senso in T. Possiamo interpretare P(x) come un’equazione posta in T. L’insieme P=x: (xT) e P(x)  è evidentemente l’insieme delle soluzioni di P(x) in T. Sia ora Q(x) un secondo predicato e sia Q=x: (xT) e Q(x). Se per ogni xT è vero P(x)  Q(x) allora si ha PQ. Se invece, per ogni xT è vero P(x) Q(x) si ha P=Q. Es. Sia T=R (retta reale).Supponiamo che P(x) significhi =2x e che Q(x) significhi x2+1=4 x2. Allora per ogni x  R è vero P(x)  Q(x). Si ha quindi PQ. E’ poi Q=  ; -  ma poiché - non verifica P(x) si ha P=  

Insieme prodotto Assumiamo come nozione primitiva la nozione di coppia ordinata. Per aiutare l’intuizione possiamo pensare a due caselle (la prima e la seconda casella) e di inserire in esse,rispettivamente, due elementi, non necessariamente distinti, x e y. Per indicare la coppia così ottenuta useremo la notazione (x,y). E’ importante notare come la coppia (x,y) sia cosa ben diversa dall’ insieme x,y costituito dagli elementi x e y. Infatti si ha x,y = y,x (per gli insiemi non ha rilevanza l’ordine con cui sono elencati gli elementi), mentre per le coppie si ha: (x,y)=(x,y)  x= x e y= y.

Insieme prodotto Insieme Prodotto. Def. Siano dati due insiemi A e B. Diremo insieme prodotto di A per B, e lo indicheremo con A B, l’insieme di tutte le coppie ordinate (x,y) con x A e y B. In simboli:A B = (x,y) / x A e y B. Notiamo che non abbiamo richiesto ai due insiemi A e B di essere diversi. Un ben noto esempio di prodotto è  , dove  indica la retta reale. La geometria analitica ci insegna a rappresentare il piano mediante l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali, cioè mediante  . def  x y (x,y) Perciò l’insieme  , che comunemente viene scritto come 2, viene detto anche piano (numerico). O

Insieme prodotto Dati, in un certo ordine, tre insiemi A, B, C, si chiama loro prodotto, e si indica con A B C, l’insieme di tutte le terne ordinate (x,y,z) con x A, y B, zC. La definizione si estende in modo ovvio al caso di un numero finito qualsiasi di spazi, A1, A2,… An. Ad esempio si indica con n l’insieme di tutte le n-uple ordinate (x1, x2… xn) di numeri reali. Il prodotto di più insiemi può essere introdotto, peraltro, utilizzando solo la nozione di prodotto di due insiemi. E’ facile vedere infatti che A B C si può introdurre indifferentemente come (A B) C oppure come A (B C).

Relazioni Con il termine relazione indichiamo un predicato in 2 variabili. Sia ora R(x,y) una relazione che abbia senso nella teoria degli insiemi. Possiamo allora considerare l’insieme (x,y): (x,y) A B e R(x,y) , cioè il sottoinsieme di A B costituito da tutte le coppie per cui la relazione è verificata. Esso viene detto grafico della relazione. Dato un sottoinsieme G di A B risulta individuata immediatamente una relazione di cui essa è il grafico: (x,y) G. Nella teoria degli insiemi, spesso, il termine “relazione” viene usato nel significato di grafico. Anche noi utilizzeremo spesso lo stesso simbolo per indicare una relazione ed il suo grafico: scriveremo perciò indifferentemente R(x,y) oppure (x,y) R.

Relazioni Esempi. In N N=N2 si consideri la relazione R(m,n) che significa m è divisore di n. Il grafico di questa relazione è: In R2 si consideri la relazione x2+y21. Il suo grafico è rappresentato dal cerchio con centro nell’origine degli assi e raggio 1. n m 1 2 3 4

Funzioni (o applicazioni) Definizione di Funzione (o applicazione) Una relazione f definita in A B si dice applicazione o funzione di A in B se per ogni x A esiste uno ed un solo y B tale che (x,y) f . f x y A B Possiamo interpretare intuitivamente la nozione introdotta pensando che f “porti” i punti di A in punti di B. L’insieme A viene chiamato dominio di f, l’insieme B codominio di f

Funzioni (o applicazioni) I termini “funzione” e “applicazione” sono equivalenti: tuttavia il termine “funzione” è più tradizionale e lo si impiega di preferenza quando dominio o codominio sono insiemi di numeri reali o complessi. L’espressione f: AB scritta anche come AB mette in evidenza il dominio e il codominio di f. Per ogni x A l’unico elemento y B tale che (x,y) f si indica con f(x) e si dice valore assunto dalla funzione f in x. f x B y y=f(x) A

Funzioni (o applicazioni) Partendo dall’espressione di f(x), la notazione completa che rappresenta l’applicazione f è la seguente: xf (x): A B . In questa espressione la lettera x è “muta” e può essere sostituita con un’altra lettera qualsiasi. Spesso, però, questa notazione (che è evidentemente ingombrante) può venire più o meno abbreviata, se non vi sono equivoci. Spesso la funzione si indica semplicemente con un’ espressione f(x), dove appunto è sottointeso che la lettera x ha il ruolo di “variabile indipendente”. Ad esempio si potrà parlare della funzione x2+1 in luogo di x x2+1 :   .

Funzioni (o applicazioni) In certi casi si usa indicare il valore di un’applicazione scrivendo la variabile indipendente come indice: fx anziché f(x). Ad esempio se il dominio dell’applicazione è l’insieme N degli interi naturali, l’applicazione viene detta successione; i valori di una successione a (ma più frequentemente si parla dei termini della successione) sono indicati con la notazione: a0, a1,… an,… Le nozioni di funzione di variabile reale e di successione, che nei testi matematici più recenti sono comprese nella nozione generale di applicazione, venivano un tempo considerate come diverse: ciò spiega la difformità di notazione, che è rimasta.

Funzioni (o applicazioni) Esempi Dato un qualunque insieme A, l‘ applicazione xx : A A si dice applicazione Identica di A e si indica con IA. b) Dato l’insieme A ed un suo sottoinsieme B, l’applicazione xx : B A si dice applicazione di Inclusione di B in A. c) Siano A e B insiemi qualunque; l’applicazione (x,y)x : A B A si dice proiezione canonica su A. Similmente l’applicazione (x,y)y : A B B si dice proiezione canonica su B.

Funzioni (o applicazioni) Data un’applicazione f:AB e dato un sottoinsieme X di A si dice immagine di X il sottoinsieme di B costituito dagli elementi che provengono da qualche elemento di X. Questo sottoinsieme viene indicato con f(X). Pertanto: f(X)=y: y B e ( x X / f(x)=y. Si potrà anche scrivere, più brevemente: f(X)=  f(x): x X . L’insieme f(A) si dirà immagine dell’applicazione f. Applicazione Costante Un applicazione f: AB si dice costante se la sua Immagine consta di un unico elemento (cioè  x1 A,  x2 A si ha f(x1)= f(x2). def

Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Surgettiva Un’ applicazione f:AB si dice Surgettiva se è f(A)=B cioè se l’immagine di f coincide con B. Se f:AB è surgettiva si usa dire che f è un’applicazione di A su B. Esempi L’applicazione identica in un qualunque insieme; le proiezioni canoniche del prodotto

Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Iniettiva Un’ applicazione f:AB si dice Iniettiva se porta punti distinti in punti distinti. In altre parole: f è iniettiva ( x1 A,  x2 A : f(x1)= f(x2)  x1= x2) Esempi L’applicazione identica in un qualunque insieme, l’applicazione di inclusione di un sottoinsieme in un insieme def

Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Biiettiva Un’ applicazione f:AB si dice Biiettiva se è sia iniettiva sia surgettiva. Esempi. L’applicazione identica in un insieme qualsiasi è biiettiva L’applicazione xax+b: R R  è biiettiva se è a 0. Quando invece a =0 abbiamo un’applicazione costante che non è iniettiva né surgettiva.

Funzioni (o applicazioni) Molte volte non è necessario specificare il dominio ed il codominio di un’ applicazione, essendo sufficiente conoscere un’espressione che la definisce. Certe volte, però, la precisazione del dominio e del codominio è essenziale: per esempio, ovviamente, quando ci si chiede se un’applicazione è iniettiva e/o surgettiva. Ad esempio (indicando con R+ l’insieme dei numeri reali non negativi, ) l’applicazione xx2: R R non è iniettiva né surgettiva, l’applicazione xx2: R  R+ è surgettiva ma non iniettiva, l’applicazione xx2: R+  R è iniettiva ma non surgettiva ed infine l’applicazione xx2: R+  R+  è sia iniettiva sia surgettiva cioè è una biiezione.

Funzioni (o applicazioni) Spesso è comodo rappresentare gli insiemi come immagini di opportune applicazioni. Ad esempio l’insieme degli interi naturali pari si potrà indicare con P= 2n : nN cioè P=g(N) dove g: NN n 2n. Sia ora F una famiglia di insiemi, J un insieme e supponiamo che esista un’applicazione j Xj : J  F surgettiva. Allora si possono impiegare le seguenti notazioni per indicare l’insieme unione e l’insieme intersezione di F: oppure ; oppure

Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Composta Date due applicazioni f:AB e g:B’C con B  B’ si dice Applicazione composta di f e g l’applicazione g f così definita: g f= x g(f (x)) : A  C. Nel simbolo g f (equivalentemente g(f (x)) si scrive a destra l’applicazione che viene eseguita per prima. def f B g C  x g(f(x))  f(x)  A

Funzioni (o applicazioni) Esempio: L’applicazione x : R R si può considerare come composta con l’applicazione xx2+1 : R R+ e l’applicazione y: R+ R. Se è f:AB si ha f IA=f e IB f=f dove IA e IB sono le applicazioni identiche di A e di B rispettivamente.

Funzioni (o applicazioni) La composizione di applicazioni gode della proprietà associativa: se f e g sono componibili e se g e h sono componibili si ha h (g f )= (h g) f . Basta infatti notare che si ha (h (g f ))(x)=(h(g( f (x)))=((h g) f) (x) Se f è un’applicazione di un insieme A in sé si possono considerare le iterate di f, cioè le applicazioni f f , f f f, ecc. Si possono anche indicare con i simboli f2, f3, ecc.

Funzioni (o applicazioni) Definizione di Applicazione Inversa Data un’applicazione f:AB si chiama inversa della f un’ applicazione g:BA tale che g f = IA e f g= IB. Non sempre un’applicazione è invertibile cioè esiste la sua inversa Per esempio l’applicazione costante non è ovviamente invertibile. Daremo adesso una caratterizzazione delle applicazioni invertibili.

Funzioni (o applicazioni) Teorema Sia f un’applicazione f:AB . Allora f è invertibile se e solamente se f è biiettiva. Dim. Supponiamo che f ammetta inversa, g. Dimostriamo che f è surgettiva. Infatti  y B si ha f(g(y))=y. Dunque esiste un elemento di A, x=g(y) tale che f(x)=y. Dimostriamo che f è iniettiva. Sia quindi f(x1)= f(x2)=y. Allora è x1= g(f(x1))= g(y) e x2= g(f(x2))= g(y). Dunque x1= x2. Supponiamo adesso che f sia biiettiva. Essendo f surgettiva  y B esiste qualche x tale che f(x)=y. Ma essendo f anche iniettiva questo x è unico. Quindi è ben individuata un’applicazione g:BA che fa corrispondere a y l’unico

Funzioni (o applicazioni) elemento x A tale che f(x)=y. Dunque per ogni y B è f(g(y))=y cioè f g= IB. Inoltre per ogni x A è anche g(f(x))=x cioè g f = IA. cvd. Teorema L’applicazione inversa di un’applicazione f:AB, se esiste, è unica. Dim. Supponiamo dunque che g e g siano applicazioni BA tali che g f = IA e f g= IB. e g  f = IA e f g = IB..

Funzioni (o applicazioni) Per la proprietà associativa della composizione si ha: (g  f) g = g  ( f g). Ma è g  f = IA e f g= IB.  IA  g = g  IB. cioè g = g .cvd L’applicazione inversa di f si indica con il simbolo f-1. E’ evidente che (f -1)-1=f. Dunque se f è invertibile lo è anche la sua inversa. Dati due insiemi A e B, se esiste un’applicazione AB invertibile, diciamo che A e B ( senza più necessità di considerarli in ordine) si possono mettere in corrispondenza biunivoca.

Funzioni (o applicazioni) Definizione della restrizione di un’applicazione Data un’applicazione f:AB e dato un sottoinsieme C di A, si dice restrizione di f a C e si indica con f |C l’applicazione x f (x) : C  B. In altre parole, indicando con j l’applicazione di Inclusione, C  A, si ha f |C = f  j def

Funzioni (o applicazioni) Data un’applicazione f:AB, abbiamo già definito l’immagine f(X) di un sottoinsieme X di A. L’applicazione X  f(X) è un’applicazione P(A) P(B) che, benché impropriamente, verrà indicata con il medesimo simbolo f. Ovviamente è f()= . Analogamente si potrà introdurre un’applicazione f-1: P(B)  P(A) ponendo, per ogni YB: f-1(Y)= x: xA e f (x)  Y. L’insieme f-1(Y) si dirà immagine inversa di Y. Osserviamo che questa applicazione, denotata (anch’essa impropriamente f-1) esiste anche quando f non è invertibile. E’ evidente poi che, quando Y f(A) =  è f-1(Y) = . def

Funzioni (o applicazioni) Teorema Se f è un’applicazione f:AB e X e Y sono sottoinsiemi di A, si ha: f(XY)=f(X)  f(Y) f(XY) f(X)  f(Y) Dim. 1. Ricordiamo che f(X)=y: y B e ( x X / f(x)=y). Allora f(XY)= y: y B e ( x X Y / f(x)=y)= y: y B e ( x X / f(x)=y)  y: y B e ( x Y / f(x)=y)= =f(X)  f(Y). cvd

Funzioni (o applicazioni) 2.  w  f(XY)  z  XY / f(z)=w. z  X f(z)=w  f(X) z  Y f(z)=w  f(Y). Quindi w  f(X) f(Y) cioè f(XY)  f(X) f(Y) . Cvd. Teorema (Esercizio) Sia f un’applicazione f:AB e siano X e Y sottoinsiemi di B. Si ha: f -1(X  Y)= f -1(X )  f –1(Y ) f -1(X  Y)= f -1(X )  f –1(Y ) f -1(X)= (f -1(X)) dove X indica il complementare di X in B e, analogamente, (f -1(X)) indica il complementare di f -1(X) in A

Funzioni (o applicazioni) Dim: 1. f -1(X  Y)=  a: aA / f (a)  X  Y= = a: aA / (f (a)  X) o (f (a)  Y)= = a: aA / (f (a)  X)    a: aA / (f (a)  Y) = = f -1(X)  f -1(Y). Cvd. 2. f -1(X  Y)=  a: aA / f (a)  X  Y= =  a: aA / (f (a)  X) e (f (a)  Y)= = a: aA / (f (a)  X)   a: aA / (f (a)  Y) = = f -1(X )  f –1(Y ). Cvd

Funzioni (o applicazioni) 3. f -1(X)=a: aA / f (a)  X= a: aA / f (a)  X= = a: aA e a  f -1(X)=a: aA e a  (f -1(X))  = = (f -1(X))  . Cvd.

Cardinalità di un insieme Preso un nN consideriamo l’insieme degli interi che precedono n, cioè l’insieme In=0,1,2,…n-1. Gli insiemi In si prestano bene come insiemi campione. Definizione. Si dice che un insieme X è finito se esiste un nN tale che X si possa mettere in corrispondenza biunivoca con In; in questo caso si dice che X ha numero cardinale n e si scrive c(X)=n. Se non esiste alcun n per cui questo è possibile, si dice che X è infinito.

Cardinalità di un insieme La nozione di corrispondenza biunivoca sta alla base della nozione di numero: contare significa stabilire una corrispondenza biunivoca tra un insieme di oggetti ed un insieme “campione”. Risulta molto naturale la seguente Definizione Dati due insiemi, si dice che essi hanno lo stesso numero cardinale se essi possono essere posti in corrispondenza biunivoca. Per indicare che due insiemi X e Y hanno lo stesso numero cardinale scriveremo c(X)=c(Y). Questa relazione gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Principi di Somma, Prodotto e Quoziente Il problema fondamentale che vogliamo affrontare è il seguente: dati certi insiemi finiti (anzi: dati semplicemente i loro numeri cardinali) calcolare il numero cardinale di insiemi che si ottengono da essi mediante le operazioni insiemistiche fondamentali. Principio della Somma Se X e Y sono insiemi finiti disgiunti si ha c(XY)= c(X) + c(Y)

Principi di Somma, Prodotto e Quoziente Principio del Prodotto. Se X e Y sono insiemi finiti, si ha: c(X Y)= c(X) *c(Y) Principio del Quoziente. Nell’insieme X, sia R una relazione di equivalenza tale che tutte le classi di equivalenza abbiano il medesimo numero cardinale r. Allora si ha c(X)=r*c(X/ R). Notiamo che i termini insieme prodotto ed insieme quoziente prendono nome proprio da questi principi.