Le geometrie non euclidee di Paolo Bernacchioni

Euclide (325 ? - 265 a. C.) Del matematico di Alessandria ci sono pervenuti “Gli elementi”, opera formata da 13 libri. I primi quattro trattano le proposizioni fondamentali della geometria piana.

Si utilizza il metodo deduttivo (Aristotele). L’importanza degli “Elementi” non è tanto nei risultati e nelle relazioni geometriche in essi contenute, quanto nel metodo da essi proposto. Partendo da poche proposizioni assunte come vere (postulati e assiomi), se ne dimostrano altre (teoremi o proposizioni). Si utilizza il metodo deduttivo (Aristotele). Edizione del 1498 degli “Elementi” di Euclide

Euclide, “Elementi” Libro I Contiene: 23 termini (le nostre definizioni) 5 postulati (“nozioni specifiche” in Aristotele) 8 assiomi (“nozioni comuni” in Aristotele) 48 proposizioni (teoremi)

Tutto cambia nel XIX secolo Premessa importante La geometria di Euclide è relativa ad oggetti che è possibile disegnare con riga e compasso, oggetti che hanno quindi una loro realtà intrinseca. Tutto cambia nel XIX secolo

David Hilbert (1862 - 1943) Nel 1899 pubblica “Fondamenti della geometria” che rovescia l’impostazione euclidea. Sono i postulati a definire implicitamente gli oggetti di una teoria matematica.

Euclide: i termini Sono definizioni di “oggetti” geometrici. Questi oggetti sono considerati entità reali. I punto è ciò che non ha parti II linea è lunghezza priva di larghezza III estremi di una linea sono punti IV linea retta quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti

V superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza VI Estremi di una superficie sono linee VII Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa Notiamo che sono descrizioni di enti esistenti, a volte senza specificare bene i termini VIII - XII riguardano gli angoli XIII – XIV figure geometriche enti limitati XV - XVIII riguardano il cerchio

XX-XXII si definiscono i triangoli e i quadrilateri XXIII riguarda le rette parallele “parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti” Che significa “illimitatamente”?

Euclide: le nozioni comuni (assiomi) Sono proposizioni vere in assoluto, anche al di fuori del contesto geometrico. I cose uguali a una stessa sono uguali tra loro II Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali III Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti sono uguali IV I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro ………… VII Cose che coincidono tra loro sono uguali …………

I primi 4 postulati Sono proposizioni relative alla geometria su cui tutti concordano (verità evidenti). 1. Da ogni punto si può condurre una retta ad ogni altro punto. 2. Una retta si può prolungare per diritto. 3. Con ogni centro e distanza si può disegnare un cerchio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Il quinto postulato 5. Se una retta, incontrando altre due rette, forma gli angoli interni dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate all’infinito si incontrano da quella parte in cui gli angoli sono minori di due retti.

Ancora sul quinto postulato Cerchiamo di capire …. Se a + b < 2 retti r allora r incontra s b a s

Cosa dire del quinto postulato? E’ intuitivo? E’ verificabile operativamente? Inoltre ...

Il fatto che le prime 28 proposizioni degli Elementi siano indipendenti dal V postulato fa pensare che Euclide cercasse di ritardare il più possibile la sua introduzione La Proposizione 17 dimostra l’inverso del V postulato “In un triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due angoli retti”. E’ assurdo dimostrare l’inverso di un postulato

Nella proposizione (teorema) 29, Euclide utilizza per la prima volta il V postulato Se r parallela ad s tagliate da una trasversale si dimostra che: a=a’, a=a’’ e a + b = 2 retti a’ r b a’’ a s

Dal 5° postulato derivano importanti proprietà geometriche Proposizione 32 la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti a + b + g = 2 retti g a b

Sorgono spontanee delle domande il 5° postulato è importante? può essere riformulato più semplicemente? è davvero un postulato o può essere dimostrato?

Proclo Diodoco (410 - 485) Proclo dimostra che il 5° postulato è equivalente alla seguente proposizione: Per un punto fuori di una retta si può condurre una sola parallela alla retta data.

La retta s esiste La retta s è unica P s r La retta s esiste La retta s è unica

Molti matematici tentarono di dimostrare il 5° postulato ... senza alcun successo!

Il gesuita Saccheri fu il primo ad impostare correttamente il problema Gerolamo Saccheri (1667 - 1733) Il gesuita Saccheri fu il primo ad impostare correttamente il problema

ma invano! Saccheri ragionò per assurdo, negando il 5° postulato Costruì una geometria in cui da un punto esterno ad una retta si possono condurre infinite parallele alla retta data. Si aspettava di cadere in qualche contraddizione ... ma invano!

Saccheri formulò e dimostrò molti teoremi diversi da quelli della geometria euclidea... ma non seppe essere coerente fino in fondo! Senza nessuna necessità, ad un certo punto affermò di aver trovato una contraddizione.

Tutto cambia a partire dalla prima metà del XIX secolo

Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793 - 1856) Nel 1835 - 1838 pubblica (in russo) “Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele” Nel 1840 (in tedesco) “Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele”

Lobacevskij ammette i primi quattro postulati di Euclide … ma nega il quinto, per quanto riguarda l’unicità della parallela.

La retta s parallela ad r esiste s non è l’unica parallela ad r Teoria di Lobacevskij s P s’ r La retta s parallela ad r esiste s non è l’unica parallela ad r

Geometria di Lobacevskij - Bolyai Procedendo con metodo deduttivo, Lobacevskij deriva una geometria del tutto logica e priva di contraddizioni, oggi detta Geometria di Lobacevskij - Bolyai

Janos Bolyai (1802 - 1860) Matematico ungherese, nel 1832 pubblica, in appendice ad un trattato del padre Wolfgang, uno scritto in cui arriva a conclusioni analoghe a quelle di Lobacevskij

Karl Friedrich Gauss ma ... Il padre Wolfgang, orgoglioso, sottopone il lavoro del figlio al più grande matematico dell’epoca Karl Friedrich Gauss ma ...

Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Gauss afferma che era da tempo arrivato alle stesse conclusioni ... ma non le aveva pubblicate perché nessuno le avrebbe accettate. Bolyai ci rimane molto male ...

Alcuni teoremi della geometria di Lobacevskij - Bolyai Detta anche Geometria iperbolica per un punto passano infinite parallele la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti non ci sono quadrilateri con 4 retti in triangoli disuguali le somme degli angoli interni sono disuguali

La geometria euclidea è un caso limite di quella iperbolica! a + b + g = 2 retti - d g d si dice difetto a b Il difetto tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori ... La geometria euclidea è un caso limite di quella iperbolica!

Bernhard Riemann (1826 - 1866) Nel 1854 tesi per libera docenza a Gottingen: “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”

Riemann ne nega l’esistenza. La parallela ad r non esiste Lobacevskij e Bolyai negano l’unicità della parallela ... Riemann ne nega l’esistenza. P r La parallela ad r non esiste

Una conseguenza della geometria di Riemann Detta anche Geometria ellittica la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti

La geometria euclidea è un caso limite anche di quella ellittica! a + b + g = 2 retti + e g e si dice eccesso a b L’eccesso tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori ... La geometria euclidea è un caso limite anche di quella ellittica!

Sorgono spontanee delle domande Dato che esistono tre geometrie (iperbolica, ellittica ed euclidea) ... qual è la geometria vera? si può rispondere a questa domanda? ha senso la prima domanda?

Modelli di geometrie un foglio di carta Tutti noi abbiamo un chiaro modello dell’ambiente in cui si realizza la geometria euclidea ... un foglio di carta

Modelli di geometria iperbolica

Un esempio di modello di geometria iperbolica Superfici a curvatura negativa Pseudosfera

Eugenio Beltrami (1835 - 1900) Matematico italiano, nel 1868 propose il modello di geometria iperbolica basato sulla pseudosfera.

Felix Klein (1849 - 1925) Matematico tedesco, propose un altro modello di geometria iperbolica

Il modello di Klein per la geometria iperbolica L’ambiente è un cerchio C privato della circonferenza di contorno C P t I punti sono quelli interni a C s B A Le rette sono le corde (estremi esclusi) r

Rette parallele nel modello di Klein Data le retta r ed il punto P esterno C Esistono infinite parallele ad r per P P t s Le rette s e t sono “di confine” r

Distanza tra punti nel modello di Klein C Consideriamo i punti A, B su r Qual è la loro distanza? A B r La nozione usuale non va bene.

La distanza di Klein è un po’ complicata... B r H K

ma efficace per piccole distanze... Se B  A C A r H B B B B B B K

e grandi distanze! C r Se B  K La retta ha lunghezza infinita! A H K

Un modello di geometria ellittica: la sfera Q P P Q Definiamo punto una coppia di punti diametralmente opposti

Le rette nella geometria sferica Definiamo retta ogni circonferenza massima

Relazioni tra punti e rette nella geometria sferica Segmento PQ Q P Per due punti passa una sola retta

Relazioni tra rette nella geometria sferica Due rette si incontrano sempre in un punto Non esistono rette parallele

Nella geometria sferica non vale il 5° postulato Q Q Da un punto esterno ad una retta non si possono tracciare parallele

I triangoli nella geometria sferica b a = b = retto a + b + g > 2 retti

Possiamo ora rispondere alla domanda “Qual è la vera geometria?” In conclusione Possiamo ora rispondere alla domanda “Qual è la vera geometria?” La risposta è nelle parole scritte nel 1887 dal matematico e filosofo francese Henri Poincaré

Henri Poincaré (1854 - 1912) “Il problema se sia vera l’una o l’altra delle tre geometrie è senza senso. Altrettanto varrebbe domandarsi se il sistema metrico è vero e false le misure antiche. Una geometria non può essere più vera di un’altra, può essere soltanto più comoda”