SSIS-Veneto Indirizzo FIM A.A. 2002-2003 Terzo Ciclo Parabola e Disequazioni Specializzandi: Laino Michele Maurizio Falcone Antonio

Indice Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni Chiudi

Definizione di funzione Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B Esempi: 2 3 5 4 3 7 4 5 A B Continua Ore 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Temp. -5 -4 -3 -2 1 2 4 Indice

Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche. Si può farne il grafico sul piano cartesiano : Indice

Disegniamo una parabola generica : Funzione y = ax² + bx + c Disegniamo una parabola generica : Asse simmetria Possiamo notare un punto significativo detto vertice E una retta rispetto alla quale la figura è simmetrica, detta asse di simmetria. Vertice Se b = 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi. (Clicca qui) Se b è diverso da 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² + bx Vediamo come agisce b sul grafico. (Clicca qui) Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c Vediamo come agisce c sul grafico. (Clicca qui) Indice

y = ax² a = 1/4 a = 1/2 a = 1 a = 2 a = 4 a = 8 a = -1/4 a = -1/2 Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia Se a > 0 la concavità è rivolta verso l’ alto; se a < 0 la concavità è rivolta verso il basso. Indice

y = x² + bx Facciamo variare b osservando grafico e vertice b =- 4 ;V(2,-4) b = -3;V(3/2,-9/4) b = - 2;V(1,-2) b = -1;V(1/2,-1/4) b = 0;V(0,0) b = 1;V(-1/2,-1/4) b = 2;V(1,-2) Vertice b = 3;V(-3/2,-9/4) Vertice Vertice Vertice Vertice Vertice Vertice Dato che abbiamo posto a = 1 al variare di b possiamo dire che la coordinata x del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …) Indice

y = x² - 2x + c c = - 3 c = - 2 c = - 1 c = 0 c = 1 c = 2 Il parametro c mi dà l’ ordinata del punto di incontro della parabola con l’asse delle y. Se c non compare la parabola passa per l’origine. Indice

Risolviamolo graficamente Consideriamo il seguente sistema, costituito da una parabola e dall’asse x : A B Risolviamolo graficamente Punti di incontro : A( -1, 0) B( 3, 0) Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x –3 = 0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta con x = - 1, ed x = 3 che sono proprio le ascisse dei punti di incontro della parabola con l’ asse x. Indice

Consideriamo ora il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e l’asse x non hanno punti in comune. Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 2 = 0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso, non è soddisfatta da alcun valore di x. L’ equazione si dice impossibile. Indice

Consideriamo infine il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e l’ asse x hanno un punto in comune. A( 1, 0) Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x² - 2x + 1 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita) e quindi, ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta da un solo valore di x. L’ equazione ha dunque una sola soluzione pari a x = 1. Indice

Non necessariamente!!! Indice Esempi Ma per risolvere un’equazione del tipo ax² + bx + c = 0 bisogna fare tutti questi disegni ? Non necessariamente!!! C’è una formula un po’ complicata: Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nell’equazione. Come facciamo a sapere se l’equazione ammette 2, 1, o nessuna soluzione ? Nella formula, sotto la radice quadrata, c’è l’espressione b²- 4ac, questa espressione viene detta discriminante ed indicata con D (delta). Se D = b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni: la parabola taglia l’asse x Se D = b²- 4ac = 0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione: la parabola tocca l’asse x Se D = b²- 4ac < 0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo) e non avrò alcuna soluzione: la parabola non tocca, né taglia l’asse delle x. Indice Esempi

D > 0 2 Soluzioni D > 0 E s e m p i 2 Soluzioni D = 0 Grafico D > 0 2 Soluzioni Grafico E s e m p i D = 0 1 Soluzione Grafico D < 0 Nessuna Soluzione reale Grafico Indice

Disequazioni: Introduzione Disequazioni 1° grado Disequazioni 2° grado Indice

Tali intervalli possono essere : Definizione: Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche con una quantità incognita. Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che sostituiti all’incognita, verificano la disuguaglianza. A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli di numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti. Tali intervalli possono essere : Limitati, Illimitati a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito Aperti, Chiusi a seconda che comprendano o meno gli estremi Come per le equazioni si parla di grado; Il grado di una disequazione è l’esponente maggiore con cui compare l’incognita. Indice Disequazioni

Si presentano sotto questa forma : Disequazioni 1º grado Si presentano sotto questa forma : Risoluzione con metodo grafico Grafico Grafico Grafico Indice Disequazioni

y = ax² + bx + c è una parabola Disequazioni 2º grado Si presentano sotto questa forma : L’ espressione ax² + bx + c l’abbiamo già incontrata . y = ax² + bx + c è una parabola ax² + bx + c = 0 è un’equazione di 2° grado Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in considerazione sia l’ equazione che la parabola associata. Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso l’alto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o negativo. Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna, 1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante. Indice

1) Si risolve l’equazione associata In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si procede sempre nello stesso modo : 1) Si risolve l’equazione associata 2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata 3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione Considerando l’ espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima con a > 0 , la seconda con a < 0 . Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha: Due soluzioni Una soluzione Nessuna soluzione Supposto a < 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha: Due soluzioni Una soluzione Nessuna soluzione Indice Disequazioni

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c > = 0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a > 0 ; due soluzioni (discriminante >0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso l’alto taglia l’asse delle x in due punti Soluzioni per: ax² + bx + c > 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati, aperti dall’altro ax² + bx + c > = 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati, chiusi dall’altro ax² + bx + c < 0 Un solo intervallo limitato e aperto da ambo i lati ax² + bx + c < = 0 Un solo intervallo limitato e chiuso da ambo i lati Indice Scelta…

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c > = 0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a > 0 ; una soluzione (discriminante = 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso l’alto tocca l’asse delle x in un punto Soluzioni per: ax² + bx + c > 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,aperti dall’altro ax² + bx + c > = 0 Tutto l’ asse reale ax² + bx + c < 0 La parabola è sempre sopra o tocca l’ asse x ax² + bx + c <= 0 E’ soddisfatta per un solo valore di x, dove la parabola tocca l’asse delle x Indice Scelta…

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c > = 0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a > 0;nessuna soluzione (discriminante < 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso l’alto E’ tutta nel semipiano positivo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x ax² + bx + c > = 0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x ax² + bx + c < 0 La parabola è sempre sopra l’ asse x ax² + bx + c <= 0 La parabola è sempre sopra l’ asse delle x Indice Scelta…

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c >= 0 ax² + bx + c < 0 Soluzioni per Ipotesi : a<0 ; due soluzioni (discriminante >0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso taglia l’asse delle x in due punti ax² + bx + c > 0 Un solo intervallo limitato e aperto da ambo i lati ax² + bx + c >= 0 Un solo intervallo limitato e chiuso da ambo i lati ax² + bx + c < 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,aperti dall’altro ax² + bx + c < =0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,chiusi dall’altro Indice Scelta…

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c <= 0 ax² + bx + c < 0 Ipotesi : a < 0 ; una soluzione (discriminante = 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso tocca l’asse delle x in un punto Soluzioni per: ax² + bx + c > 0 La parabola è sempre sotto, o tocca l’ asse delle x ax² + bx + c <= 0 E’ soddisfatta per un solo valore di x, dove la parabola tocca l’asse delle x ax² + bx + c < 0 Due intervalli illimitati da un verso limitati,aperti dall’altro ax² + bx + c < =0 Tutto l’ asse reale Indice Scelta…

ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < = 0 ax² + bx + c > 0 Ipotesi : a < 0 ; nessuna soluzione (discriminante < 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso è tutta nel semipiano negativo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 La parabola è sempre sotto l’ asse delle x ax² + bx + c < = 0 La parabola è sempre sopra l’ asse delle x ax² + bx + c > 0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x ax² + bx + c < = 0 Tutto l’ asse reale Per ogni valore di x Indice Scelta…