Trasformata di Laplace Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria Email: fedele@si.deis.unical.it
Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: x y
Numeri complessi Modulo Fase
Numeri complessi y Forma trigonometrica x Ricordando le formule di Eulero:
Numeri complessi x y Forma esponenziale
Numeri complessi
La trasformata di Laplace è un operatore che associa ad una funzione del temo f(t) definita per t≥0 una funzione F(s) a valori complessi definita per valori della variabile complessa s. L’utilizzo delle trasformate di Laplace consente di semplificare notevolmente i calcoli nella risoluzione di equazioni differenziali: operazioni di derivazione ed integrazione nel dominio del tempo corrispondono ad operazioni di tipo algebrico nel dominio delle trasformate.
Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico
Qualsiasi funzione f(t), per cui esiste un valore della variabile s tale che l’integrale è finito, si dice trasformabile secondo Laplace. L’insieme di tutti i valori complessi s per cui esiste, finito, l’integrale e quindi la funzione F(s), viene detto dominio di convergenza, ed è rappresentato da un semipiano del piano s, posto a destra di una retta parallela all’asse immaginario, di equazione Re[s]=σ0. Tale retta viene denominata asse di convergenza ed il valore σ0 ascissa di convergenza.
Gradino Im[s] Re[s]
Proprietà di linearità
Rampa unitaria
Esponenziale
Cosinusoide
Sinusoide
Traslazione
Impulso L’area sottesa vale A
Funzione impulsiva
Impulso di Dirac
Impulso di Dirac Risposta all’impulso Ogni segnale x(t) può essere espresso come convoluzione con l’impulso di Dirac Dim: Per il teorema del valor medio:
Impulso di Dirac Il segnale in uscita può essere calcolato attraverso la convoluzione del segnale di ingresso con la risposta impulsiva. L’uscita del sistema all’ingresso x(t) sarà del tipo:
Impulso di Dirac Problemi La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso un segnale che approssimi l’impulso di Dirac e misurando l’uscita corrispondente. L’impulso di Dirac è un’astrazione matematica che può solo essere approssimata. In molti casi non è possibile né conveniente applicare al sistema una sollecitazione impulsiva per non danneggiare il sistema a causa dell’elevata ampiezza dell’impulso.
Esercizio Sapendo che calcolare
Esercizio Calcolare
Esercizio Calcolare
Esercizio Calcolare
Teorema della derivata Si è sfruttato il fatto che f(t) è di ordine esponenziale per t che tende all’infinito
Teorema della derivata
Teorema dell’integrale
Teorema del valore finale Nell’ipotesi che tale limite esista Dal teorema della derivata si ha: da cui Eseguendo il limite sotto il segno di integrale il che è lecito per l’analiticità della funzione: e quindi
Teorema del valore iniziale
Integrale di convoluzione
Utilità
Utilità
Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico
Tecniche di antitrasformazione Frazione razionale propria Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte radici con molteplicità maggiore di 1 radici complesse coniugate
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte POLI RESIDUI
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte Calcoliamo R1
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte
Esercizio
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk1
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk2
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk3
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rkj Ricordando che
Esercizio
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate
Esercizio
Funzione di trasferimento
Funzione di trasferimento
Funzione di trasferimento