ARGOMENTI DELLA LEZIONE equazioni tensione-potenza dell’n-bipolo la ripartizione dei flussi di potenza in una rete metodi di soluzione del sistema di equazioni tensione-potenza la soluzione approssimata della ripartizione dei flussi di potenza attiva

conoscere le potenze attive e reattive Problema : conoscere le potenze attive e reattive fluenti nei componenti il sistema Quando si presenta: tempo presente Analisi “a posteriori” Pianificazione Controllo in linea (10 minuti) Previsione di esercizio a breve termine (un giorno) a medio termine (un anno) Progettazione e Sviluppo del sistema Esercizio del sistema

equazioni tensione-potenza dell’n-bipolo

n 1 Ik k Vk i Ii Vi

7 6 1 Ik 5 Vk 2 Ii Vi 4 3 7 6 1 3 4 5 2

|I|=|Y||V| I = Ir + j Ii V = Vr + j Vi Ir Ii Vr Vi

Ir Ii Vr Vi V I P Q kV A MW MVAR (VI)2= =P2+Q2 V  P Q

1 n k Vk k i Pk Qk Vi i Pi Qi

P,Q,V, N=P+jQ N=VI* Ni=ViIi* |I|=|Y||V| Ii=VkYik k

Ni=ViIi* Ii=VkYik k Ni=ViVk* Yik* k Ni=ViVk* Yik* k

Ni=ViVkYik e j( - - V = Ve j Y = Ye j Ni=ViVkYik e j( - - i k ik k

Ni=ViVkYik e j( - - i k ik N=P+jQ e jcos+jsen Pi+jQi=ViVkYik{ cos(i-k-ik) +jsen(i-k-ik + k

{ Pi+jQi=ViVkYik{ cos(i-k-ik) +jsen(i-k-ik Pi=ViVkYik cos(i-k-ik) Qi=ViVkYik sen(i-k-ik k Pp= Pi Qp= Qi {

{ Pi=ViVkYik cos(i-k-ik) Qi=ViVkYik sen(i-k-ik 2n equazioni 4n variabili 2n variabili note 2n variabili incognite

valori di V ( le Q e le V sono forte- 1 n-1 n-s s 2n >> in genere come variabili note si assumono le seguenti: valore di  ( le sono tipicamente incognite; una di esse deve essere fissata come riferimento ) valori di P ( le P sono tipicamente note; una di esse non può esserlo perchè le perdite non sono note ) valori di Q valori di V ( le Q e le V sono forte- mente interdipendenti; s non può essere nè troppo grande nè troppo piccolo) 1 n-1 n-s s 2n

Dispacciamento della potenza generata ( dispatching ) Modello “sbarra” G P2 Pn lp L (carico) (perdite di sistema stimate)  Pi = L + lp i=1 n P1 La potenza totale necessaria per alimentare il carico e le perdite di sistema è ripartita (dispacciata) tra i generatori in esercizio in modo da rendere minimo il costo dell’energia prodotta nel rispetto dei vincoli di sicurezza della produzione e di qualità del prodotto.

Limiti di impiego dei componenti : curve di “capability”. Limite di statore P Limite del motore primo Limite di rotore  n Minimo tecnico Q Limite di statore in sotto eccitazione

la ripartizione dei flussi di potenza in una rete (load flow)

{ ? a Pi=ViVkYik cos(i-k-ik) Qi=ViVkYik sen(i-k-ik V6 6 P1 Q1 V1 1 V5 5 P5 Q5 a V2 2 ? P2 Q2 P4 Q4 P3 Q3 V3 3 V4 4 Pi=ViVkYik cos(i-k-ik) Qi=ViVkYik sen(i-k-ik k {

{ a Pai=VaiVakYaik cos(ai-ak-aik) 2 Va2 a2 Pa2 Qa2 a 1 Pa1 Qa1 Va1 a1 k=1 2 Pai=VaiVakYaik cos(ai-ak-aik) Qai=VaiVakYa1k sen(ai-ak-aik) { k=1 2

a Va1= V3 a1= 3 Va2= V6 a2= 6 V6 6 2 Va2 a2 Pa2 Qa2 1 Pa1 Qa1

metodi di soluzione del sistema di equazioni tensione-potenza

{ { Pi=ViVkYik cos(i-k-ik) Qi=ViVkYik sen(i-k-ik r = 1....2n i = 1......n fr(Pi,Qi,Vi,i)=0

MODELLI DI RETE prima degli anni ‘60 modelli analogici in corrente alternata dei diversi componenti collegabili tra loro a comporre il sistema in studio

r=1....2n i=1......n fr(Pi,Qi,Vi,i)=0 f(x) f(x)=0 xo

Converge alla soluzione f(x) f(x)=0 xo x’o x’’o x’’’o

Non converge alla soluzione per errata scelta del punto iniziale f(x)=0 f(x) x’o x’’o xo

Non esiste la soluzione f(x) f(x)=0 x’’’o x’o x’’o

la soluzione approssimata della ripartizione dei flussi di potenza attiva

{ Pi=Vi Yiicosii+ViVkYik cos(i-k-ik) Pi=ViVkYik cos(i-k-ik) Qi=ViVkYik sen(i-k-ik Pi=Vi Yiicosii+ViVkYik cos(i-k-ik) 2 k°i

Pi = - ViVkYik sen(i-k) prima ipotesi ik=  Pi = - ViVkYik sen(i-k) ki seconda ipotesi Vi=Vk=V Pi= -V  Yik sen(i-k) k  i 2 terza ipotesi sen(i-k)=(i-k) Pi= -V  Yik (i-k) k  i 2

Pi= -V  Yik (i-k) Yik= -yik yik Pi=V  yik (i-k) k i 2 k  i 2

Pik= V yik (i-k)= - Pki Pi= V  yik (i-k) k  i 2 y12 (i) 1 2 (k) P1= V y12 (1-2) 2 = -P2 Pik= V yik (i-k)= - Pki 2

Pi= V (i  yik-  yikk ) Pi=V  yik (i-k) k  i 2 Pi= V (i  yik-  yikk ) 2 k  i k  i y*ii= yik ; y*ik=-yik k  i Pi= V  y*ikk (k=1..n; i=1..n) 2 k

Pi= V  y*ikk (k=1..n; i=1..n) 2 P1= -Pi ; 1= 0 Pi= V  y*ikk (i=2..n; k=2..n) 2 2 |P|= V |y*||| (matr ord n-1) 2 ||= V |y*|-1|P| (matr ord n-1)