Potenziale Coulombiano Atomo monoelettronico >>>> Idrogeno Bohr >>>> Livelli energetici Conferma dall’equazione di Schroedinger Mancano le funzioni d’onda Le orbite di Bohr non compatibili con il principio di indeterminazione Il momento angolare orbitale non è inserito nel giusto contesto Non è previsto lo spin Rate di transizione tra i livelli Problema a due corpi si riduce ad un solo corpo con massa ridotta (+ moto del centro di massa/atomo)

Eq di Schroedinger per l’atomo monoelettronico V(r) Potenziale centrale

Coordinate sferiche Analogamente per y e z

Separazione delle variabili L’espressione del gradiente quadro si complica con il cambio di variabile ma abbiamo la possibilità di una separazione di variabili Cominciamo dalla F(f). Moltiplichiamo tutto per e così possiamo isolare 1

Rimane 1 2 3 Il problema è di risolvere queste equazioni

Soluzioni delle equazioni a variabili separate Abbiamo però introdotto due parametri ml e l Cominciamo ad esaminare la prima equazione. E’ facile verificare che la soluzione é: Bisogna tenere conto del requisito che la funzione d’onda deve essere a singolo valore. Questo impone una condizione sui valori che ml può assumere

Soluzioni delle equazioni a variabili separate Passiamo ora alla equazione nell’altra variabile angolare Q Funzioni associate di Legendre Flm Polinomi di Legendre Il requisito che la funzione d’onda deve essere limitata impone una condizione sui valori che l può assumere ovvero i valori positivi

Soluzioni delle equazioni a variabili separate Passiamo infine alla equazione nella variabile radiale che scriviamo, per comodità, in unità atomiche E’ facile verificare che vale la sostituzione:

Soluzione dell’equazione d’onda radiale Eq unidimensionale con un termine di potenziale apparente in più. Come possiamo interpretare questo termine? Operatore momento angolare orbitale L

Soluzione dell’equazione d’onda radiale Problema radiale identico ad un problema unidimensionale con energia potenziale L’intervallo in cui l’energia cinetica è positiva aumenta con l’aumentare di n

Soluzione dell’equazione d’onda radiale x Nel mezzo la funzione si comporta in modo genericamente oscillante Il polinomio deve arrestarsi ad una potenza finita in modo da non interferire con l’esponenziale. Sostituendo si ottiene la condizione di quantizzazione dell’energia polinomi di Laguerre di grado (a-b)

La densità di carica radiale r è data da R2 per il volume racchiuso tra r e r+dr, ovvero Per grandi r il limite del moto classico dipende dall’energia totale e quindi dal numero quantico principale n Tanto maggiore n tanto più estesa è l’orbita classica (energia cinetica positiva). Per r→∞ la P(r) va come . Si trova quindi che il raggio misurato in unità atomiche è dato da n2/Z

Componente angolare della funzione d’onda Armoniche sferiche = 0, s 1, p 2, d 3, f 4, g