Corso di Ricerca Operativa a.a. 2001/2002 Ottimizzazione della produzione di un Mulino per la Macinazione di cereali

Studenti: Manuel CdL Ing Meccanica V.O. Andrea CdL Ing. Meccanica V.O. Università degli studi di Cagliari

Indice degli Argomenti 1Fasi di lavorazione 2Obiettivi 3Definizione dei Costi 4Definizione delle variabili 5Definizione dei vincoli 6Definizione della funzione obiettivo 7Soluzione ottima 8Analisi di Sensitività 9Conclusioni e commenti

Fasi di lavorazione 1)Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali 2)Trattamento 3)Macinazione 4)Controllo di qualità in uscita 5)Insacchettamento 6)Distribuzione

Fase 1 Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali Lo scopo è misurare la percentuale di: umidità radioattività corpi estranei e rilevare la presenza di: fattori di contaminazione -fattori microbiologici -fattori macrobiologici -fattori chimici

Fase 2 Trattamento Questa fase è a sua volta suddivisa in 4 sottofasi: prepuliturapulituraumidificazioneriposo

Fase 3 Macinazione Questa fase è a sua volta suddivisa in 2 sottofasi: spazzolaturamacinazione

Fase 4 Controllo di qualità in uscita Si eseguono 2 controlli: omogeneità del colore omogeneità delle dimensioni

Fase 5 Insacchettamento Vengono utilizzati dei sacchi da 50 Kg con carta Kraft a triplo strato utilizzata per prodotti alimentari

Fase 6 Distribuzione I sacchi vengono stoccati in appositi container tramite lutilizzo di elevatori mobili e,successivamente,trasportati nei centri di lavorazione o vendita

Obiettivi Lobiettivo è : determinare la produzione ottima dei vari prodotti derivanti dalla macinazione dei cereali alla quale corrisponde un profitto massimo.

Definizione dei Costi Al massimo profitto lordo giornaliero verranno detratte le seguenti spese: Irap £ Ici £ Irpeg £ Energia elettrica £ Acqua £ Acquisto sacchi £ Trasporto £ Manutenzione £ Costo del personale £ Ammortamenti £ Altri costi £ 50000

Farina per mangimi (mais) Farina polenta Farina per mangimi (orzo) Farina Semola per pasta Semola grossa Profitto (euro) Profitto (lire) Prezzo di vendita (lire/Kg) Prezzo di acquisto (lire/Kg) Tipi di farina o semola

Definizione delle variabili Le variabili che prenderemo in considerazione sono i prodotti in uscita dalla macinazione dei diversi tipi di cereali Chiamiamo: x1-semola per pane x1-semola per pane x2-semola per pasta x2-semola per pasta x3-farina 00 x3-farina 00 x4-farina per mangimi(orzo) x4-farina per mangimi(orzo) x5-farina per polenta x5-farina per polenta x6-farina per mangimi (mais) x6-farina per mangimi (mais)

Definizione dei vincoli Vincoli di Produzione 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000 x1<=2000 x1<=2000 x2<=6000 x2<=6000 x3<=6000 x3<=6000 x4<=1000 x4<=1000 x5<=2000 x5<=2000 x6<=1000 x6<=1000

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= x1>=1500x2>=4500x3>=5000x4>=500x5>=1000x6>=500 Vincoli di mercato

Definizione della Funzione Obiettivo Max 60 x x x x x x6

Soluzione Ottima LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Analisi di sensitività NO. ITERATIONS= 8 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X INFINITY X X X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY

NO. ITERATIONS= 0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X INFINITY X X X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY

Tramite lanalisi di sensitività possiamo analizzare come varia la soluzione ottima al variare di alcune condizioni: Variazione nel vettore dei costi Variazione nei termini noti Variazione nella matrice dei vincoli Aggiunta di una variabile Aggiunta di un vincolo

Variazione nel vettore dei costi Nel nostro caso i costi non possono essere modificati perché imposti dal mercato perfettamente concorrenziale.

Variazione nei termini noti I) Consideriamo il nuovo problema in cui vengono modificati alcuni termini noti: I) Consideriamo il nuovo problema in cui vengono modificati alcuni termini noti: max z = 60. x x x x x x 6 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= ) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= ) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= ) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= ) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= ) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800

5) x1 >= ) x1 >= ) x1 <= ) x1 <= ) x2 >= ) x2 >= ) x2 <= ) x2 <= ) x3 >= ) x3 >= ) x3 <= ) x3 <= ) x4 >= ) x4 <= ) x4 <= ) x5 >= ) x5 >= ) x5 <= ) x5 <= ) x6 >= ) x6 <= ) x6 <= 1000

Soluzioni del nuovo problema: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) ) VARIABLE VALUE REDUCED COST VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Tale variazione restringe il campo intorno allottimo ma, di fatto,lascia inalterati tutti gli altri risultati: in corrispondenza della soluzione ottima i valori della funzione obiettivo, delle variabili decisionali e di quelle duali restano immutati. Rimangono uguali anche i valori delle slacks di tutti i vincoli ad eccezione, ovviamente, di quelli modificati. Il comportamento è lo stesso continuando a modificare i due vincoli nella stessa direzione; dunque aumentare la produzione minima e diminuire quella massima non determina variazioni purché tali modifiche non superino il limite costituito dai Kg di derivati che rappresentano la soluzione ottima.

II)Consideriamo il seguente problema in cui viene modificato il termine noto 4): max 60. x x x x x x 6 subject to 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= ) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= ) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 32400

5) x1 >= ) x1 <= ) x2 >= ) x2 <= ) x3 >= ) x3 <= ) x4 >= ) x4 <= ) x5 >= ) x5 <= ) x6 >= ) x6 <= 1000

Si ottiene: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

Dunque lora giornaliera di straordinario fa salire il profitto massimo da £ a £ (+ 8.99%). Anche la quantità ottima di derivati da produrre passa dai Kg ai Kg con un incremento del 12.34%. Stavolta le variabili duali positive sono cinque in corrispondenza dei vincoli 4), 8), 10), 14), 16). Un incremento della funzione obiettivo si ottiene aumentando la quantità massima di farina per polenta che deve essere prodotta ogni giorno e, in misura minore, aumentando le quantità massime producibili di semola per pasta e farina 00. Nettamente inferiore il miglioramento in seguito a una maggiore attività lavorativa del mulino e quasi trascurabile quello legato a una maggiore disponibilità di farina di mais per mangimi.

Variazione nella matrice dei vincoli I coefficienti delle variabili non possono essere mutati. Non è dunque possibile apportare alcuna modifica alla matrice dei vincoli

Aggiunta di una variabile (attività) Nel seguente caso,il mulino, oltre ai 6 tipi di cereali già visti macina anche semi di soia Farina di soia Profitto (lire/Kg) Prezzo di vendita (lire/Kg) Prezzo di acquisto (lire/Kg) Tipo di farina o semola

Il problema che si ottiene è il seguente: max 60 x x x x x x x7 subject to 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 >= ) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 <= ) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 + 2 x7 <= 28800

5) x1 >= 15006) x1 <= ) x2 >= 45008) x2 <= ) x3 >= ) x3 <= ) x4 >= 50012) x4 <= ) x5 >= ) x5 <= ) x6 >= 50016) x6 <= ) x7 >= 10018) x7 <= 1000 end

Si ottiene: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 10 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 10

Lintroduzione della soia come settimo prodotto da macinare determina, a parità di ore di lavorazione, un incremento del profitto massimo giornaliero da £ a £ (+2.58%).

Conclusioni In definitiva si può dire che se fosse sempre possibile produrre la quantità ottima, con un utile giornaliero di £ pari a £ mensili e £ annuali, lazienda realizzerebbe un interessante risultato economico; ciò anche in considerazione del volume di lavoro e delle dimensioni del mulino che sono relativamente piccole, tenuto conto che esistono mulini che riescono a macinare fino a Kg al giorno. Tuttavia lazienda deve adattarsi alle esigenze del mercato che, come abbiamo visto, variano a seconda del periodo, allontanandosi, talvolta anche di molto, dal realizzare il massimo profitto.

Le variazioni sulla quantità minima di derivati da produrre e sulla disponibilità di sacchi si sono rivelate ininfluenti sul profitto aziendale, purché i valori considerati siano sempre, rispettivamente, al di sotto e al di sopra della quantità ottimale. La strada migliore per aumentare il profitto resta quella di aumentare le ore lavorative, portandole a nove: il profitto arriva così a £ con un incremento del 9%. Lavorando dieci ore al giorno il profitto passa a £ e lincremento di profitto rispetto al caso precedente non è sufficiente a far fronte alle aumentate spese per il personale, lenergia, lacqua, lassicurazione ecc. Lavorando undici ore il profitto resta addirittura invariato; dunque risulta economicamente vantaggioso lavorare al massimo nove ore al giorno.

Ai fini dellottimizzazione del profitto anche lintroduzione della produzione di un cereale pregiato come la soia ha portato dei buoni risultati aumentando lutile netto di un 2.6% circa. Cè da dire, tuttavia, che la soia non ha un mercato come quello degli altri cereali: i suoi campi di utilizzo sono molto limitati e, per così dire, le fette di mercato sono già attribuite a pochi e grossi produttori. Pertanto la sua introduzione risulta possibile solo in momenti di forte richiesta. Resterebbe, infine, da analizzare la variazione simultanea dei casi presenti nellanalisi di sensitività per vedere i suoi effetti sulla produzione ottima.