La relatività della Meccanica Classica – Galileo Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme: Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti [...] e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza [...] e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose [...] fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma (Galileo, Dialogo, giornata seconda)

La prima relatività: le trasformazioni di Galileo S: sistema fisso S': sistema in moto x y z y' x' z' v Trasformazioni di Galileo Il sistema di riferimento S' si muove con velocità v lungo la direzione x, rispetto al sistema fisso S S ed S' coincidono al tempo t=0 (x, y, z) e (x', y', z') sono le coordinate dello stesso punto misurate, rispettivamente, in S e S' Le trasformazioni di Galileo esprimono la relazione tra le coordinate di un punto misurate in S ed S‘. Corrispondono alla nostra usuale percezione della realtà S ed S’ sono sistemi di riferimento inerziali

u', a' = velocità, accelerazione misurate in S' v y y' u, a = velocità, accelerazione misurate in S u', a' x x' Secondo le trasformazioni di Galileo: u' = u – v a' = a Tutte le equazioni della Meccanica Classica sono invarianti per trasformazioni di Galileo. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo: la velocità della luce c è una costante universale La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente o del rivelatore

Velocità della luce Le misure sperimentali della velocità della luce si sono sempre più raffinate, a partire dal diciassettesimo secolo. Gli esperimenti più recenti indicano una velocità di Le incertezze in questo valore sono principalmente legate a quelle della definizione operativa dell’unità di lunghezza, il metro. Di conseguenza, si è adottato questo valore come valore standard, ridefinendo la lunghezza del metro in modo da essere consistente con il valore di c La velocità della luce in un mezzo è legata alle proprietà elettriche e magnetiche del mezzo. La velocità della luce nel vuoto può essere espressa come

c = velocità della luce, costante universale Equazioni di Maxwell Le equazioni di Maxwell rappresentano uno dei modi più eleganti e concisi per formulare le leggi fondamentali dell’elettricità e del magnetismo. A partire da esse si possono sviluppare tutte le relazioni effettive tra campi e sorgenti r = densità di carica Sorgenti dei campi J = densità di corrente c = velocità della luce, costante universale

Le trasformazioni di Lorentz S: sistema fisso S': sistema in moto x y z y' x' z' v Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz notazioni usuali trasformazione inversa

S: sistema fisso S': sistema in moto z z' v y y' x x' P(x, y, z) in S P(x’, y’, z’) in S' Le trasformazioni di Lorentz sono tali che: (invariante di Lorentz) è la stessa (velocità della luce)2 nei 2 sistemi Due “eventi” (x1, t1) e (x2, t2) che avvengono allo stesso tempo t1 = t2 in S non avvengono allo stesso tempo in S', t'1 ≠ t'2

La contrazione delle lunghezze S: sistema fisso S': sistema in moto x y z y' x' z' x'1 v x'2 La lunghezza di un qualunque oggetto in un sistema in moto apparirà contratta lungo la direzione del moto. L’effetto della contrazione può essere calcolato a partire dalle trasformazioni di Lorentz. La lunghezza di un oggetto è massima nel sistema in cui esso è a riposo. è la lunghezza della sbarretta misurata in S', dove è a riposo è la lunghezza della sbarretta misurata da un osservatore in S (la misura di x1 e x2 va fatta contemporaneamente, t1=t2) contrazione delle lunghezze

Dilatazione dei tempi S: sistema fisso S': sistema in moto x y z y' x' z' v Un orologio in un sistema in moto sarà in ritardo, ed il suo tempo apparirà "dilatato“, come si ottiene dalle trasformazioni di Lorentz. Gli intervalli di tempo sono minimi se misurati nei sistemi di riposo. Il tempo misurato nel sistema in cui l’orologio è a riposo si chiama “tempo proprio". è l’intervallo di tempo misurato in S', dove l’orologio è a riposo è l’intervallo di tempo misurato in S (la misura di t'1 e t'2 va fatta nello stesso punto, x'1=x'2) dilatazione dei tempi

Muon Experiment – Non relativistic

Muon Experiment – Muon observer

Muon Experiment – Earth observer Gli osservatori solidali con il muone e con la Terra sono d’accordo sul numero di muoni che giungono a terra

Il paradosso dei gemelli La storia è che uno di due gemelli lascia la Terra per un viaggio su una navicella spaziale che viaggia a velocità prossima a quella della luce, mentre l’altro rimane a casa. A causa della dilatazione dei tempi, il tempo scorre più lentamente sulla navicella, vista dalla Terra. Quindi il gemello di ritorno sulla Terra dovrebbe essere più giovane (il suo orologio dovrebbe essere più indietro) rispetto a quello rimasto a casa. La domanda sorge spontanea: è vero? Davvero un gemello sarebbe più giovane? Non vale la stessa cosa per il gemello sulla Terra, osservato da quello in viaggio? La questione fondamentale circa la dilatazione dei tempi è confermata in modo inequivocabile dall’esperimento dei muoni. La chiara implicazione è che il gemello in viaggio dovrebbe davvero essere più giovane. Tuttavia lo scenario è complicato dal fatto che il gemello sulla navicella deve subire una accelerazione, una inversione della direzione del moto, ed una decelerazione per tornare a Terra. Ciò permette di distinguere tra I due gemelli (ed abolire il paradosso), ma per sistemi accelerati non basta applicare le regole della relatività speciale, e bisogna ricorrere a quelle della relatività generale . Nonostante le difficoltà tecniche, un esperimento a bordo di un areo commerciale conferma l’esistenza di una differenza di tempo tra gli orologi di osservatori a Terra e quelli in moto rispetto ad essi.

se v = u' = 0.9 c, si ottiene u = 1.8 c/1.81 < c Trasformazione delle velocità La regola della trasformazione delle velocità della relatività ristretta fornisce la relazione tra la velocità di un oggetto osservata in un sistema di riferimento inerziale (S, u) e la velocità dello stesso oggetto osservata in un sistema in moto con velocità v rispetto ad esso (S',u'). Se A vede B muoversi alla velocità v, allora la velocità misurata da B (u') viene vista da A come: nel limite v/c→0 si ottengono le usuali relazioni con la trasformazione inversa se v = u' = 0.9 c, si ottiene u = 1.8 c/1.81 < c se v o u' = c, allora anche u =c

S': sistema in moto con velocità v rispetto ad S S: sistema fisso S': sistema in moto con velocità v rispetto ad S z z' u y y' x x' sia la velocità della particella misurata in S cerchiamo la velocità misurata in S' Prendendo i differenziali delle trasformazioni di Lorentz per x' e t' si ottiene: trasformazione inversa

La dinamica relativistica e la massa La relatività speciale conduce ad un aumento della massa effettiva di una particella con la velocità v, data dall’espressione (massa relativistica) L’aumento della massa effettiva relativistica rende la velocità della luce c la velocità limite dell’Universo. Quando v → c la massa effettiva diviene infinita, e non si può più accelerare la particella. Tale aumento della massa è evidente negli acceleratori di particelle, nei quali la velocità è prossima a c. Tuttavia la formula mostra che, per aumentare la massa anche solo dell’1%, bisogna raggiungere una velocità pari al 14% di c, cioè 42 milioni di m/s. Le stesse trasformazioni di Lorentz perdono significato (presentano delle singolarità) quando v → c

Massa, energia e impulso La formulazione della dinamica in Relatività Speciale conduce alla famosa relazione energia-massa E = mc2 include sia l’energia cinetica che l’energia di riposo (E = m0c2) di una particella. L’energia cinetica T di una particella può essere calcolata da Si noti che, per piccole velocità L’impulso relativistico di una particella è dato da

Relazione relativistica tra energia ed impulso La famosa relazione di Einstein per l’energia può essere unita all’espressione relativistica dell’impulso per ottenere un’espressione alternativa per l’energia da cui Si noti che m0 è la massa di riposo, e che m è la massa relativistica

L’energia alla Einstein La massa può essere convertita in energia secondo la relazione di Einstein: dove c = velocità della luce. La quantità che si ottiene dalla conversione di un kilogrammo è Il consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno è circa quindi la conversione di 1 kg di massa in energia coprirebbe il fabbisogno di circa 180.000 cittadini USA per 1 anno, oppure il fabbisogno di una città di 1 milione di abitanti per oltre 2 mesi

Alcune unità di misura nucleari Una conveniente unità di energia, particolarmente utile per processi atomici e nucleari, è l’energia acquistata da un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 1 Volt. Il lavoro compiuto dalla forza elettrica, si trasforma in energia cinetica dell’elettrone, Le masse nucleari sono misurate in unità di masse atomiche; la massa del nucleo di carbonio-12 è definita esattamente come 12 unità di massa atomica. Per massa si intende, se non vi sono altre indicazioni, la massa di riposo. La conversione in unità atomiche è data da:

L’energia di legame nucleare I nuclei sono fatti di protoni e neutroni, ma la massa del nucleo è sempre minore della somma delle singole masse dei protoni e neutroni che lo formano. La differenza è una misura dell’energia di legame, che tiene il nucleo unito. Questa energia di legame può essere calcolata a partire dalla relazione di Einstein: Energia di legame nucleare = (Δm)c2 Per le particelle alpha Δm= 0.0304 u, che dà un’energia di legame di 28.3 MeV. L’enormità dell’energia di legame nucleare può essere meglio apprezzata se la si confronta con l’energia di legame di un elettrone in un atomo. Le energie di legame nucleare sono dell’ordine di un milione di volte più grandi delle eenergie di legame degli elettroni negli atomi.

1 unit = consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione 1 unit = consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno

Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione La fusione deuterio-trizio e la fissione uranio-235 sono confrontati in termini di energia liberata. Sia l’energia per singolo evento e per kg di combustibile sono raffrontate. Sono quindi espresse in termini del consumo medio annuale pro-capite di energia negli USA: 5 x 1011 Joules. I valori sopra riportati rappresentano la produzione totale di energia, non quella usufruibile dai consumatori.

La fissione e la fusione possono produrre energia La curva della energia di legame è ottenuta dividendo l’energia totale di legame nucleare per il numero di nucleoni. Il fatto che ci sia un massimo nell’andamento della curva in funzione della massa atomica (in corrispondenza del ferro), significa che sia la frammentazione di nuclei pesanti (fissione) o la combinazione di nuclei leggeri (fusione) produrrà nuclei più fortemente legati (meno massa per nucleone).

Fusione protone-protone Questo è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una temperatura interna minore di 15 milioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni produce circa 25 MeV di energia

Reazioni nucleari nella catena p-p Questo è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una temperatura interna minore di 15 millioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni produce circa 25 MeV di energia. Questa descrizione della catena di reazioni fa parte del cosiddetto “standard solar model” Nota che entrambe le reazioni che producono deuterio producono anche un neutrino. La misura dell’energia emesa dal Sole ed il confronto con questo modello ci permettono di predire il numero di neutrini che dovrebbero colpire la Terra. Il fatto che i primi esperimenti rivelarono solo circa un terzo di quel numero originò il cosiddetto "solar neutrino problem"

Fusione dell’idrogeno Sebbene una grande energia sia richiesta per superare la barriera coulombiana ed iniziare la fusione dell’idrogeno, il rilascio di energia sarebbe così alto da incoraggiare la continuazione delle ricerche in tale campo. La fusione dell’idrogeno sulla Terra potrebbe far uso delle seguenti reazioni: Queste reazioni sono più promettenti della fusione protone-protone che avviene nelle stelle, come possibile fonte di energia. Tra queste la fusione deuterio-trizio sembra la più favorevole ed è stata oggetto di molti esperimenti. In un reattore deuterio-deuterio, un’altra favorevole reazione potrebbe avvenire, creando un ciclo del deuterio:

La produzione di coppie Per ogni particella conosciuta esiste la sua antiparticella; se si incontrano, esse si annichilano, con la produzione di due raggi gamma. L’energia quantistica dei due raggi gamma è uguale alla somma delle energie delle particelle (energia totale, cioè energia di riposo e cinetica). E’ anche possibile che un fotone perda la sua energia quantistica nell’interazione con la materia, per formare una coppia particella-antiparticella. La massa di riposo di un elettrone è 0.511 MeV/c2, quindi la soglia in energia per la produzione di una coppia electtone-positrone è 1.02 MeV. Per i raggi X e gamma di energie ben superiori a 1 MeV, questa produzione di coppie diventa uno dei principali canali di interazione con la materia. Ad energie ancora più alte, molti tipi di particella-antiparticella possono essere prodotti.

Il fotone Un fotone si muove con la velocità della luce in ogni sistema di riferimento; non può mai essere a riposo e la sua massa di riposo è zero, m0 = 0. Per un fotone l’espressione relativistica dell’impulso = speed si riduce a zero su zero, quindi non può essere usata direttamente per determinare l’impulso di una particella di massa nulla. Tuttavia, si può usare la relazione: Ponendo a zero la massa di riposo ed applicando la relazione di Planck si ottiene l’espressione dell’impulso per un fotone: = frequenza

Schema concettuale della Relatività Speciale La misura di una velocità assoluta non è possibile (esperimento di Michelson-Morley) La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente e dell’osservatore (aberrazione della luce stellare, etc.) c è una costante universale Le leggi della Fisica sono invarianti per Trasformazioni di Lorentz Le trasformazioni di Galileo ed il concetto di tempo universale debbono essere abbandonate

La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi (decadimento dei muoni nell’atmosfera) La conservazione dell’impulso conduce alla massa relativistica (acceleratori di particelle) Equivalenza massa-energia (energia di legame dei nuclei, fusione, fissione, …) La velocità della luce diventa la velocità limite nell’Universo (legge di composizione relativistica delle velocità)

Lo Spazio-Tempo ed i quadri-vettori in Relatività Nella trattazione matematica della Relatività le coordinate spazio-tempo ed energia-impulso sono spesso espresse in forma di quadri-vettori. Essi sono definiti in modo tale che la “lunghezza” di un quadri-vettore è invariante per trasformazioni di coordinate (trasformazioni di Lorentz). Questa invarianza è associata con (e riflette) le leggi della Fisica. L’invarianza del quadri-vettore spazio-tempo è associata con la costanza della velocità della luce. L’invarianza del quadri-vettore enegia-impulso è associata con il fatto che la massa di riposo di una particella è invariante per trasformazione di coordinate. quadri-vettore spazio-tempo quadri-vettore energia impulso è Lorentz invariante è Lorentz invariante spazio-tempo della Relatività Speciale = spazio di Minkowski

(prodotto scalare euclideo) Il prodotto scalare di 2 quadri-vettori spazio-tempo è definito come: e il prodotto scalare di 2 quadri-vettori energia-impulso come Si noti che questa definizione di prodotto scalare differisce dal prodotto scalare ordinario (di vettori euclidei) a causa del segno meno. Queso segno meno è necessario per la proprietà di invarianza della lunghezza dei quadri-vettori. con (prodotto scalare euclideo)

La lunghezza al quadrato del quadri-vettore spazio-tempo è data da: La lunghezza di un quadri-vettore è invariante, cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Questa invarianza è associata con la costanza della velocità della luce. Questa espressione può essere vista come l’equazione di un sfera, associata alla luce che si propaga in tutte le direzioni a partire dall’origine, con velocità c. Il raggio della sfera ad un tempo t, vale ct. La lunghezza al quadrato del quadri-vettore energia-impulso è data da: La lunghezza di questo quadri-vettore è l’energia di riposo della particella, moltiplicata per la velocità della luce. L’invarianza è associata al fatto che la massa di riposo e la velocità della luce sono le stesse in tutti I sistemi di riferimento inerziali.

è il quadrato della distanza percorsa dalla luce nel tempo t Il Cono Luce è il quadrato della distanza percorsa dalla luce nel tempo t ct x y past future Se tralasciamo una delle variabili spaziali, ad esempio la z, otteniamo l’equazione di un cono: Il Cono Luce indica lo spazio nel quale sono confinati gli eventi fisici (le Linee-Universo). Solo le particelle di massa nulla (come il fotone) possono viaggiare lungo il cono. Quelle di velocità minore sono confinate all’interno del cono. Solo per gli eventi all’interno del Cono Luce la sequenza temporale è fissata (cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento)

Relatività generale – Il principio di equivalenza La relatività generale nasce da due esigenze teoriche: 1) Estendere il principio di relatività agli osservatori non inerziali. 2) Descrivere la gravità. Principio di equivalenza Gli esperimenti compiuti in un sistema di riferimento uniformemente accelerato con accelerazione a non sono distinguibili dagli stessi esperimenti compiuti in un sistema di riferimento non accelerato, il quale sia situato in un campo gravitazionale con accelerazione di gravità g = – a. Un altro modo di affermare questo principio fondamentale della Relatività Generale è quello di dire che la massa gravitazionale e quella inerziale coincidono.

Nella scatola la massa sente un’accelerazione g = – a Anche la luce pesa a Sistema di riferimento accelerato Nella scatola la massa sente un’accelerazione g = – a Un raggio di luce che si sposti dal punto A sulla parete destra, raggiungerà la parete sinistra in un un punto B situato più in basso, poiché la scatola accelera verso l’alto durante il tempo che la luce impiega per andare da A a B. Questa deflessione è quasi inavvertibile sulla Terra, a causa della grande velocità della luce. A B m g = – a Nessun esperimento può distinguere localmente tra un campo gravitazionale ed un sistema di riferimento accelerato La luce deve essere deflessa dalla forza di gravità

Effetti gravitazionali sulla luce I calcoli di Einstein basati sulla sua teoria della relatività generale indicarono che I raggi della luce di una stella radente il Sole dovrebbero essere deflessi di un angolo di 1.75 secondi di arco. Ciò fu misurato durante l’eclisse di sole totale del 1919 e durante quasi tutte quelle successive.

La gravità ed il fotone L’espressione relativistica dell’energia attribuisce una massa ad ogni particella dotata di energia L’energia potenziale gravitazionale è quindi Quando il fotone sfugge al campo gravitazionale avrà una frequenza diversa: Poiché la frequenza risulta ridotta, questo effetto è chiamato “gravitational red shift”, oppure Einstein red shift.

L’energia di fuga per il fotone Se l’energia potenziale gravitazionale del fotone è esattamente uguale all’energia quantistica del fotone, cioè allora il fotone è “red-shifted” a frequenza nulla. Si noti che questa condizione è indipendente dalla frequenza, e per ogni massa gravitazionale M fornisce un raggio critico, il raggio di Schwarzchild (in realtà, il raggio di Schwarzchild differisce da questo risultato per un fattore 2). RS = 9 Km per M = 3 masse solari RS = 3 Km per il Sole RS = 9 mm per la Terra

La dilatazione dei tempi gravitazionale Il tempo di un orologio in un campo gravitazionale scorre più lentamente, secondo la legge della dilatazione gravitazione dei tempi della relatività generale (si noti che questo effetto è diverso dalla dilatazione dei tempi della Relatività Speciale, legata al moto relativo) Dove T è il tempo misurato da un orologio molto lontano dal campo gravitazionale (R molto grande). Per un orologio sulla superficie della Terra, questa espressione diventa dilatazione gravitazionale del tempo sulla superficie terrestre Questa dilatazione è circa di 1 parte su 109: R=h in questa espressione dà la differenza di tempo tra due orologi posti ad altezze che differiscono di h

in accordo con il risultato precedente box = sistema accelerato Gli orologi A e B emettono, ad esempio, 10 segnali al secondo. Ma il ricevitore R si muove verso l’alto, e raccoglie più segnali, ad esempio 11. Quindi conclude che l’orologio A ha emesso 11 segnali mentre l’orologio B ne ha emessi 10: l’orologio B è più lento, in ritardo. a A h = altezza del box La differenza negli intervalli di tempo è dovuta al rapporto tra la velocità raggiunta da R durante la trasmissione del segnale (v = g t = gh/c) e la velocità della luce. B R in accordo con il risultato precedente Principio di equivalenza: ciò che accade in un sistema accelerato deve accadere in un campo gravitazionale

Schema concettuale della Relatività Generale Principio di equivalenza della massa gravitazionale ed inerziale (deflessione della luce delle stelle da parte del Sole) Dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali (red shift gravitazionale) La dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali è stata osservata sperimentalmente. L’applicazione più nota di tale effetto riguarda l’uso del navigatore satellitare per determinare la posizione di punti sulla Terra, mediante la misura della distanza tra il punto e satelliti. Tale distanza è misurata attraverso misure precise di tempi e la sincronizzazione degli orologi sulla Terra e sui satelliti è cruciale.

Il navigatore satellitare Gli effetti di relatività speciale e generale sugli orologi sono vericati dal GPS. La correzione è di circa 40 microsecondi/giorno. Senza questa correzione la posizione di un oggetto sulla Terra sarebbe determinata con un errore di 10 km (la precisione del GPS è di 10 metri).