Riassunto lezione precedente Evidenza spettroscopica di molte particelle raggruppabili in multipletti quasi degeneri con stessa parità, massa, ma cariche diverse; ad un primo livello, evidenza di simmetria SU(2) di isospin, con lieve rottura di degenerazione dovuta a interazione elettromagnetica necessità di introdurre nuovo numero quantico, stranezza S, associato ad un’energia di ~ 150 MeV; gruppo di simmetria più appropriato è SU(3) flavour; mesoni organizzati in nonetti (=ottetti+singoletto) sia pseudoscalari (0-) sia vettori (1-); barioni organizzati in ottetto+decupletto a parità + (½+ e 3/2+) e singoletto a parità – (½-); nello spettro, ad alta energia livelli JP associati di solito a partner J(-P), a bassa energia questi partner assenti: segnale di rottura di una simmetria legata a P (simmetria chirale?) Gell-Mann & Zweig (‘63): ipotesi di simmetria a livello più basso, basata su struttura più elementare di mesoni e barioni in termini di quarks, cioè di particelle a spin ½, carica frazionaria, nr. quantico di sapore con SU(3)f, etc..; si spiegano singoletti, ottetti, decupletti osservati, ma non si evidenzia mai la struttura a tripletto: i quark sono reali? cenni di teoria dei gruppi: il caso SU(2), le matrici di Pauli 18-Ott-12

Simmetrie SU(N): proprietà e rappresentazioni gruppo delle trasformazioni unitarie U, rappresentate da matrici unitarie 2x2, che lasciano invariata la norma delle rappresentazioni del gruppo: χ’ = Uχ ; χ’+ χ’ = χ+U+ Uχ = χ+ χ ⌃ espressione generale per U corrispondente a rotazione θ intorno a n: generatori della trasformazione sono matrici 2x2 hermitiane a traccia nulla le matrici di Pauli σ Rappresentazione fondamentale a dim.2 di SU(2): χ=(u,d) con base u=(1,0) , d=(0,1). Ex: simmetria isospin delle forze nucleari, u stato a I3=+½, d a I3=-½. Se asse di quantizzazione è z, allora u,d sono invarianti per rotazioni intorno a y. Matrice di rotazione intorno a y di angolo θ eq.(2.2). Simbolo. Generalizzazione lungo direzione n con generatori della trasformazione le matrici di Pauli σ. Simbolo: eq.(2.8) per def. generatori. Poi eq.(2.9)-(2.11) per proprietà matrici Pauli: matrici 2x2 hermitiane a traccia nulla. Dalla forma più generale si deduce det <0 e si impone per normalizzazione =-1; corrisponde al fatto che le σ sono uno pseudo-isovettore, cioè per isorotazione di 2π cambiano segno. Algebra dei generatori eq.(2.13) => gruppo non commutativo. rappresentazione più comune per le 3 σ indipendenti: algebra dei generatori: 18-Ott-12

SU(2) : classificazione multipletti e operatore di Casimir σ3 è diagonale  gli stati di un multipletto di SU(2) sono caratterizzati da < ½ σ3 > operatori di innalzamento/abbassamento σ± = ½ (σ1 ± i σ2 ) soddisfano [½ σ3 , σ± ] = ± σ± [ σ+ , σ- ] = σ3 operatore di Casimir commuta con tutti i generatori C = ½ ( σ+ σ- + σ- σ+ ) + ¼ (σ3)2 = (½ σ)2 per generica rappresentazione di SU(2) a dim. N : ½ σ (2x2)  S (NxN) stati identificati da S3, C = S2 [ S± , S2 ] = 0  S± connettono stati con Δ<S3>=±1 e stesso <S2>  rappresentazione identificata da autovalore di S2 e i suoi stati da autovalori di S3 σ3 diagonale significa che base u=(1,0), d=(0,1) sono autostati, eq.(2.15) Simbolo. Quindi tutti gli stati di un multipletto SU(2), essendo espandibili sulla base, sono caratterizzati dal valore di <σ3 >. Operatori σ± connettono stati con σ3 differente di 1 unità, eq.(2.16) Simbolo. Regole di commutazione per σ± (Stesso) simbolo. Costruzione di operatore di Casimir C che commuta con tutti i generatori, eq.(2.18) Simbolo. Autovalore di C è S(S+1). Per dimostrarlo, agire su autostato di S3 con autovalore max = S. eq.(2.19),(2.20). Simbolo. S = max {autovalori di S3}  N = 2S+1  autovalore di C è S(S+1) Ex: S=½ rappresentazione fondamentale a dim.2; C = ¾ 18-Ott-12

SU(2) : esempio isospin rappresentazione fondamentale a dim. 2: I=½ C = ¾ doppietto p (I3=+½) n (I3=-½) rappresentazione regolare a dim. 22-1=3: I=1 C = 2 tripletto π± (I3=±1) π0 (I3=0) Hamiltoniana H = Hstr + Hem indipendenza della forza forte dalla carica  invarianza per iso-rotazioni [ Hstr , Ii ] = 0 i=1,2,3 degenerazione multipletti operatore di carica Q = ½ B + I3  [ Hem , Ii ] ≠ 0 rottura (piccola) della degenerazione simmetria di isospin è approssimata Degenerazione in isospin dei multipletti corrisponde a simmetria di H rispetto a rotazioni in iso-spazio. Questo per la parte strong di H, che commuta con isospin. La parte em di H dipende da Q che ha direzione privilegiata in iso-spazio: I3. Questo rompe simmetria e il commutatore ≠ 0: eq.(2.22) dove si richiama algebra non commutativa e I <-> S di (2.14) Simbolo. C’è quindi rottura degenerazione multipletti, anche se piccola. Quindi la SU(2) isospin si considera in prima approssimazione una buona simmetria. Verificata non solo in multipletti indicati, ma anche in relazioni tra vari canali di N*Nπ che riflettono simmetria di isospin. 18-Ott-12

SU(2) : rappresentazione coniugata rappresentazione fondamentale a dim. 2 Ex: isospin u = p , d = n − − rappresentazione coniugata 2* Ex: p , n trasformazione per iso-rotazione θ intorno a ŷ N.B. matrici di Pauli σ = τ per isospin se rappresentazione coniugata definita come  cioè rappresentazioni 2  2* in generale N  N* Esempio naturale per rappr. fond. SU(2) è doppietto di isospin di N. La rappr. coniugata è per l’antiN. Trasformazione per 2 su iso-rotazione θ intorno a ŷ eq.(2.26)-(2.28) Simbolo. Trasformazione per 2* (cioè iso-rotazione intorno a ŷ + coniugazione di carica = G parità) eq.(2.28 a)-(2.29)  ridefinizione 2* e trasformazione = a quella di 2 eq.(2.30),(2.31) Simbolo. 18-Ott-12

<πj | Si | πk> = - i εijk SU(2) : rappresentazione regolare rappresentazione fondamentale dim. 2: generatori σ, algebra per SU(N) rappresentazione fondamentale ha dim. N e generatori matrici NxN rappresentazione regolare ha dim. = nr. dei generatori = N2-1 per N=2 dim. =3, generatori S sono matrici 3x3 con algebra rappresentazione più comune S3 diagonale: base canonica Base isovettoriale perché si trasforma come un vettore per iso-rotazioni. Verificare eq.(2.37) e commento dopo (2.40) Simbolo. In generale, per SU(N) con M generatori G e algebra [Gi, Gj] = i gijk Gk con costanti di struttura gijk, è sempre possibile costruire rappresentazione regolare a dim. M e individuata da < Gi >jk = -i gijk base “iso-vettoriale” costruzione della rappresentazione attraverso costanti di struttura dell’algebra: <πj | Si | πk> = - i εijk vale in generale per SU(N) con M generatori 18-Ott-12

le matrici di Gell-Mann λ SU(3) : proprietà generali gruppo delle trasformazioni unitarie U tali per cui χ’ = Uχ U sono matrici unitarie 3x3 del tipo 8 generatori della trasformazione: 8 matrici 3x3 hermitiane a traccia nulla le matrici di Gell-Mann λ sottogruppo SU(2) di isospin “I – spin” su (u,d) sottogruppo “V – spin” su (u,s) sottogruppo “U – spin” su (d,s) Rappresentazione fondamentale a dim.3 di SU(2): χ=(u,d,s) con base u=(1,0,0) , d=(0,1,0) , s=(0,0,1). Ex: u stato a I3=+½, d a I3=-½ , s a I3=0. Struttura delle matrici di Gell-Mann in SU(3) come opportuna estensione di SU(2), definizione di I-spin, V-spin e U-spin. Diagramma del tripletto (u,d,s) in spazio (I3,Y): u,d, a S=0 quindi Y=⅓ e a I3=+½, -½ rispettivamente; s a S=-1 quindi Y=-⅔ e I3=0. (u,d) connessi da I-spin, (u,s) da V-spin, (d,s) da U-spin. Simbolo. λ3 operatore di isospin diagonale, quindi u,d,s autostati di +½, -½, 0. E si usa questo per classificare i multipletti, come in SU(2). Y operatore di ipercarica: ⅓, ⅓, -⅔ rispettivamente. Y I d u operatore isospin ½ λ3 operatore ipercarica I3 U V s 18-Ott-12

SU(3) : classificazione multipletti e operatore di Casimir definiamo Fi = ½λi . Algebra: [Fi, Fj] = i fijk Fk , {Fi, Fj} = 4/3 δij + 4 dijk Fk costanti di SU(3): f123=1 , f458=f678= √3/2 d118=d228=d338=-d888= 1/√3 f147=f246=f257=f345=f516=f637= ½ d146=d157=d256=d344=d355= ½ d247=d366=d377= -½ d448=d558=d668=d778= -1/2√3 operatore di Casimir SU(2): Ii = ½ σi C = (I)2 = ½ (I+I- + I-I+) + (I3)2 = ½ {I+, I-} + (I3)2 SU(3): Fi = ½ λi C = (F)2 = Σi=18 FiFi = ½ {I+, I-} + ½ {V+, V-} + ½ {U+, U-} + (F3)2 + (F8)2 I± = F1 ± i F2 V± = F4 ± i F5 U± = F6 ± i F7 autovalore di C è ⅓ (p2+pq+q2)+(p+q) p,q ε N+ SU(3) caratterizzata da 8 generatori F che trasformano stati N dim. χ e sono rappresentati da matrici NxN hermitiane e a traccia nulla con algebra indicata e con costanti di struttura (antisimmetriche in scambio di ogni coppia di indici). Seguendo caso SU(2), l’operatore di Casimir si definisce analogamente per SU(3) sfruttando defs. eq.(2.50) Simbolo. Osserviamo che I+, V+, U- incrementano I3 di 1. Quindi si definisce autostato ϕ corrispondente ad autovalore max per cui I+ϕ=V+ϕ=U-ϕ=0. Verificare eq.(2.52) e usarla per riscrivere C mettendo al posto degli anticommutatori le espressioni di eq.(2.52). Su ϕ si ha eq.(2.53). Per generalizzarla in spazio (I3,Y) definire p,q con eqs.(254),(2.55). Ex. fig. 2.4. Così si arriva a (2.56) e poi finale (2.57) Simbolo. Tabella mostra alcuni dei casi usando eq.(2.57). Per calcolare 6 e 10 pensare a triangolo rovesciato di barioni 3/2; per 1 non può che essere p=q=0 Simbolo. Inoltre disegnare 3 (u,d,s) in (I3,Y)  tripletto, mentre 3bar (ubar,dbar,sbar) in (I3,Y) viene rovesciato  antitripletto. Quindi le due rappresentazioni non sono equivalenti. dim. (p,q) F2 1 (0,0) 3 (1,0) 4/3 (0,1) 8 (1,1) 6 (2,0) 10/3 10 (3,0) - 3  3* because of Y 18-Ott-12

Quarks e rappresentazioni SU(N) − supponiamo barioni = {qqq} e mesoni = {qq} sapore up u down d strange s nr. barionico B ⅓ isospin I ½ I3 +½ -½ ipercarica Y -⅔ carica Q +⅔ -⅓ stranezza S -1 Y = B+S Q = I3+½Y servono almeno 2 flavors u,d per distinguere p da n Supponiamo che barioni={qqq} e mesoni={q qbar} (lo dimostreremo euristicamente dopo). Allora Bq=⅓ , perché così B(barioni)=1 e B(mesoni)=0. Per isospin abbiamo già visto che u,d possono essere identificati con doppietto di SU(2). Questo è quello che serve per distinguere p={uud} da n={udd}. Non essendoci S, ipercarica e carica si calcolano di conseguenza e con Qu=+⅔ e Qd=-⅓ si ricostruisce Qp=1 e Qn=0. Però per distinguere p da Σ+ serve nuovo flavor, s, e il tripletto risultante può identificarsi con rappr. fondamentale di SU(3). Ipercarica e carica si modificano di conseguenza. gruppo SU(2)I servono almeno 3 flavors u,d,s per distinguere p da Σ+ gruppo SU(3)f 18-Ott-12

Spettro barionico e simmetria degli stati barioni = {qqq} q = u,d,s (per ora non importa ordine: uds  dsu  sud…) come distinguere ? quark simmetria carica stranezza stati uuu S 2 Δ++ uud S M 1 Δ+ p udd Δ0 n ddd -1 Δ- uus Σ+ Σ*+ uds S M M A Σ0 Σ*0 Λ0 Λ dds Σ- Σ*- uss -2 Ξ0 Ξ*0 dss Ξ- Ξ*- sss -3 Ω- p da Δ+  n da Δ0  ….  ….  ….  ….  Prendiamo sempre per dato che barioni = {qqq}. Ogni q può essere = u,d,s e lasciamo stare ordine. In tabella sono elencate le 10 possibili combinazioni, con n. quantici corrispondenti e associazione con stati dello spettro osservati. Domanda: come si fa a distinguere tra p e Δ+, ad esempio? Risposta: serve considerare anche ordine dei flavor, cioè proprietà di simmetria degli stati formati. Dato {qqq} con q=u,d,s qualsiasi, è sempre possibile formare combinazione simmetrica  10 stati S possibili. Se almeno un flavor è diverso da altri due, quindi {qqq’} o anche {qq’q’’}, allora si possono avere stati a simmetria mista M. Sono 8 perché {uds} ha 2 “modi” diversi di avere quark differente da altri due. Se flavor tutti diversi, cioè {uds}, allora si può avere uno stato antisimmetrico per ogni scambio di coppia di quark  1 A. Vediamo di costruire stati cominciando da caso più semplice di SU(2), con solo u,d. ….  ora ordine conta: dato {qqq} con q=u,d,s si può sempre costruire un S  10 dato {qqq’} o {qq’q’’} si può avere simm. mista M  8 ({qq’q’’} ha 2 “modi” diversi  M M) dato {qq’q’’} si può avere un A ({qq’q’’}=-{q’qq’’} per ogni coppia)  1 18-Ott-12

Rappresentazioni di SU(2) Rappresentazione fondamentale (dim. 2): 2 oggetti : |χ1> , |χ2> |S1 S1z ; S2 S2z >  |S Sz > |χ1> |χ2> scambio 1 <-> 2 u uu d 1/√2 (ud+du) 1/√2 (ud-du) dd S A |½ ½ ; ½ ½ >  |1 1 > 1/√2 [ |½ ½ ; ½ -½ > +  |1 0 > |½ -½ ; ½ ½ > ] 1/√2 [ |½ ½ ; ½ -½ > -  |0 0 > |½ -½ ; ½ -½ >  |1 -1 > notazione di teoria di gruppo Consideriamo SU(2) e la sua rappresentazione fondamentale, cioè a dim.2, cioè stati = doppietti. Prendiamo 2 stati così e combiniamoli. Ci sono 4 possibilità, elencate in tabella: 3 S e 1 A, con relativa notazione di teoria di gruppo. I coeffs. garantiscono ortonormalità degli stati. Ex: combinazione di 2 spin ½ a fare Stot = 1 o 0. Casi in tabella rappresentati da accoppiamenti di momenti angolari usando Clebsh-Gordan. Ex: S1 = ½ S2 = ½  S = 1 o 0 18-Ott-12

3 oggetti : |χ1> , |χ2> , |χ3> |χ1>|χ2>|χ3> scambio 1  2 Sz uuu 3/2 uud, udu, duu 1/√3 (uud+udu+duu) 1/√2 (ud-du)u 1/√6 [ (ud+du)u - 2 uud ] ½ udd, dud, ddu 1/√3 (udd+dud+ddu) 1/√2 (ud-du)d -1/√6 [ (ud+du)d - 2 ddu ] -½ ddd -3/2 S MA MS antisimmetrico simmetrico in 12 ma non definito negli altri Adesso prendiamo 3 oggetti della rappresentazione fondamentale di SU(2). Si combinano come in tabella, i coeffs. necessari per l’ortonormalità degli stati. A parte il caso S, si formano combinazioni che sono S in (1,2) o A in (1,2) ma indefinite in (1,3) o (2,3)  simmetrie miste MS e MA. Ex: combinazione di 3 spin ½: prima si combinano i primi due a fare S12=1,0; quest’ultimo =1 con il terzo spin dà Stot=3/2 e ½ simmetrico, quando =0 dà Stot=½ antisimmetrico. Si può vedere la stessa cosa con i Clebsh-Gordan. Ad esempio, la combinazione S=3/2 e Sz=½ si costruisce da Tab.3.5 e eq.(3.6)-(3.8) Simbolo. Ex: S1 =½ S2 =½ S3 =½  S12 =1 S3 =½ + S12 =0 S3 =½  S = 3/2 o ½S + S = ½A 18-Ott-12