Studio funzioni

Premesse Campo esistenza Derivate Limiti Definizione di funzione Considerazioni preliminari Funzioni crescenti, decrescenti Massimi, minimi

Limitati,Illimitati Aperti,Chiusi a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito a seconda che comprendano o no gli estremi Premesse Intervalli di numeri o punti Intorno di un punto o numero reale Si chiama intorno di un punto x (o di un numero reale x) ogni intervallo che contenga x.intorno di un punto x Gli intervalli possono essere :

Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B A B ore Temp Esempi Continua

Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche. Si può farne il grafico sul piano cartesiano. grafico Nel nostro studio ci occuperemo solo di questo tipo di funzioni e come definizione di funzione prenderemo la seguente : Si dice che una variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente x quando esiste un legame di natura qualsiasi che ad ogni valore di x faccia corrispondere uno e uno solo valore di y. Si dice che una variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente x quando esiste un legame di natura qualsiasi che ad ogni valore di x faccia corrispondere uno e solo valore di y.y.

Si definisce campo di esistenza (dominio) di una funzione linsieme dei valori che posso assegnare alla variabile indipendente x in modo da poter calcolare il valore della variabile dipendente y. Si definisce campo di esistenza esistenza (dominio) di una funzione linsieme linsieme dei valori valori che posso assegnare alla variabile indipendente indipendente xin modo da poter calcolare il valore della variabile dipendente dipendente y.y.y.y. Normalmente il dominio di una funzione formato da uno o più intervalli di numeri reali (graficamente intervalli di punti) Clicca qui per semplici esempi di ricerca di dominio. Clicca qui per semplici esempi di ricerca di dominio. Normalmente il dominio di una funzione formato da uno o più intervalli di numeri reali (graficamente intervalli di punti) Clicca qui per semplici esempi di ricerca di dominio. Clicca qui per semplici esempi di ricerca di dominio. Continua Linsieme dei valori assunti dalla y (variabile dipendente si chiama codominio

Noi sappiamo dal calcolo algebrico che : Noi sappiamo dal calcolo algebrico che : Esempi

Negli esempi escluderemo il caso meno significativo in cui non ci siano limitazioni. Esempi con frazioni Esempi con frazioni Esempi con frazioni Esempi con frazioni Esempi con radicali Esempi con radicaliEsempi con radicaliEsempi con radicali Esempi con logaritmi Esempi con logaritmiEsempi con logaritmiEsempi con logaritmi Esempi con frazioni Esempi con frazioni Esempi con frazioni Esempi con frazioni Esempi con radicali Esempi con radicaliEsempi con radicaliEsempi con radicali Esempi con logaritmi Esempi con logaritmiEsempi con logaritmiEsempi con logaritmi

Grafico Altro Es. frazioni Altri esempi

Grafico Altri esempi

Grafico Altro Es. radicali Altri esempi

Grafico Altri esempi

Grafico Altro Es. logaritmi Altri esempi

Grafico Altri esempi

Ci poniamo prima questi quesiti : Perché studiare una funzione ? Perché studiare una funzione ?Perché studiare una funzione Perché studiare una funzione Cosa significa studiare una funzione ? Cosa significa studiare una funzione ?Cosa significa studiare una funzione Cosa significa studiare una funzione Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzione Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzione ?Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzioneChe strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzione Ci poniamo prima questi quesiti : Perché studiare una funzione ? Perché studiare una funzione ?Perché studiare una funzione Perché studiare una funzione Cosa significa studiare una funzione ? Cosa significa studiare una funzione ?Cosa significa studiare una funzione Cosa significa studiare una funzione Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzione Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzione ?Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzioneChe strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzione

Il concetto di limite è uno tra i più importanti concetti matematici ed anche uno tra i più difficili da acquisire. Cercheremo di arrivarci in modo intuitivo adoperando anche termini e diciture non formalmente corretti. Il concetto di limite è uno tra i più importanti concetti matematici ed anche uno tra i più difficili da acquisire. Cercheremo di arrivarci in modo intuitivo adoperando anche termini e diciture non formalmente corretti. Partiamo da un fatto verosimile a cui voi sicuramente avete assistito, o forse ne potreste essere stati protagonisti. Un automobile sta percorrendo una strada, ad un certo momento incomincia a sbandare e va a finire contro un ostacolo. Come potremo dare una risposta al seguente quesito : Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto ? Un automobile sta percorrendo una strada, ad un certo momento incomincia a sbandare e va a finire contro un ostacolo. Come potremo dare una risposta al seguente quesito : Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto Che velocità aveva lautomobile al momento dell impatto ? Continua

Prendiamo in considerazione una funzione di cui riusciamo a calcolarci il valore: Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1. Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1. Cliccare qui. Cliccare qui. Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1. Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1. Cliccare qui. Cliccare qui. Continua

Diamo la definizione di limite finito di una funzione in un punto con la speranza di capire almeno i termini matematici che vengono adoperati per formularla. Si dice che la funzione y=f(x) ammette per x tendente ad x0 x0, limite finito l e si scrive Se fissato un numero piccolo a piacere esiste un intorno completo H del punto x0 x0 tale che, per ogni x appartenente ad H eccetto al più x0 x0, risulti Lultima disequazione si può anche scrivere sotto questa forma l – f(x) l + Commenti Esempi

Grafico

Altro esempio

Prendiamo ora in considerazione la seguente funzione: Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1. Cliccare qui. Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1. Cliccare qui. Continua Limite infinito in un punto

Definizione di limite infinito di una funzione in un punto. Si dice che la funzione y=f(x), ammette per x tendente ad x 0, limite infinito e si scrive Se fissato un numero grande a piacere esiste un intorno completo H del punto x 0 tale che, per ogni x appartenente ad H, eccetto al più x 0, risulti Lultima disequazione è equivalente all unione delle seguenti disequazioni: f(x) > M ed f(x) < - M ; cioè è soddisfatta dalle soluzioni di ambedue. Commenti Esempi

Grafico Altro esempio

Grafico

Prendiamo ora in considerazione la seguente funzione: Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Diamo ad x valori sempre maggiori in valore assoluto, cioè valori grandi con segno positivo o negativo. Cliccare qui. Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1. Diamo ad x valori sempre maggiori in valore assoluto, cioè valori grandi con segno positivo o negativo. Cliccare qui. Continua Limite finito per x tendente allinfinito

Definizione di limite finito di per x tendente allinfinito. Si dice che la funzione y=f(x), ammette limite finito l per x tendente ad, e si scrive Se fissato un numero piccolo a piacere, esiste un numero N tale che, per ogni |x|>N, risulti Lultima disequazione si può anche scrivere sotto questa forma l – f(x) l + Commenti Esempi Limite infinito per x tendente allinfinito

Grafico Altro esempio

Grafico

Definizione di limite infinito di per x tendente allinfinito. Si dice che la funzione y=f(x), ammette limite infinito per x tendente ad, e si scrive Se fissato un numero grande a piacere, esiste un numero N tale che, per ogni |x|>N, risulti Lultima disequazione equivale alle seguenti due disequazioni f(x) >M ; f(x) M ; f(x)< -M Commenti

Concetto intuitivo di limite Limite finito in un punto Limite infinito in un punto Limite finito all infinito Limite infinito all infinito Utilità dei limiti Calcolo dei limiti Funzioni continue Asintoti

Utilità dei limiti nello studio di funzione Dopo aver dato le varie definizioni di limite, vediamo a cosa servono ilimiti nello studio di funzioni. Essenzialmente il calcolo dei limiti ci serve per conoscere il comportamento della funzione, che si sta studiando, agli estremi del campo di esistenza. Cioè, dopo che noi abbiamo trovato gli intervalli che formano il campo di esistenza, dobbiamo vedere come si comporta la funzione avvicinandosi a gli estremi di detti intervalli. Dobbiamo vedere se la funzione tende ad un valore finito, se ha un andamento asintotico, o un ramo parabolico. Dopo aver dato le varie definizioni di limite, vediamo a cosa servono ilimiti nello studio di funzioni. Essenzialmente il calcolo dei limiti ci serve per conoscere il comportamento della funzione, che si sta studiando, agli estremi del campo di esistenza. Cioè, dopo che noi abbiamo trovato gli intervalli che formano il campo di esistenza, dobbiamo vedere come si comporta la funzione avvicinandosi a gli estremi di detti intervalli. Dobbiamo vedere se la funzione tende ad un valore finito, se ha un andamento asintotico, o un ramo parabolico.

Si dice che una una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b) è continua in un punto c (interno a questo intervallo), se risulta: Lim f(x) = f(c) x c Lim f(x) = f(c) x c.... Si dice che una una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b) è continua in un punto c (interno a questo intervallo), se risulta: Lim f(x) = f(c) x c Lim f(x) = f(c) x c.... In altre parole, f(x) è continua in un punto c quando: 1. 1.La funzione f(x) esiste nel punto c 2. 2.La funzione f(x) ammette limite per x --> c 3. 3.Il valore del limite coincide col valore della funzione in c In altre parole, f(x) è continua in un punto c quando: 1. 1.La funzione f(x) esiste nel punto c 2. 2.La funzione f(x) ammette limite per x --> c 3. 3.Il valore del limite coincide col valore della funzione in c Quando una funzione è continua in tutti i punti dellintervallo (a,b), si dice che la funzione è continua nellintervallo (a,b). Continua

Abbiamo visto quando una funzione è continua in un punto.Se non è continua si dice discontinua. Il punto in cui non è continua si dice punto di discontinuità. I punti di discontinuità possono essere di tre specie :

Una retta r è detta asintoto della curva y=f(x) se la distanza, di un punto P(x,y) della curva, dalla retta r tende a zero, quando il punto indicato si allontana indefinitamente dallorigine delle coordinate.(Quando almeno una delle due coordinate del punto P tende allinfinito)

Concetto di derivata Definizione di derivata Regole di derivazione Significato geometrico della derivata Significato geometrico della derivata

Concetto di derivata Consideriamo due problemi già incontrati anche in altre discipline : il calcolo del costo marginale (Tecnica, Economia), la ricerca della tangente ad una curva. Costo marginale : Il costo marginale è sicuramente stato definito come il costo che si sostiene per produrre una unità aggiuntiva di prodotto e per calcolarlo supposto che C(x) sia la funzione costo totale si opera in questo modo : Costo marginale : Il costo marginale è sicuramente stato definito come il costo che si sostiene per produrre una unità aggiuntiva di prodotto e per calcolarlo supposto che C(x) sia la funzione costo totale si opera in questo modo : C(x 0 +1)-C(x 0 ) (x 0 +1)-x 0 Supponiamo che invece di produrre una unità in più volessimo vedere la tendenza del costo totale per produrre qualcosa ( h ) in più, il costo sarebbe : C(x 0 +h) – C(x 0 ) (x 0 +h) - x 0 C(x 0 +h) – C(x 0 ) h Il costo marginale si definisce come : Lim h ->0 C(x 0 +h) – C(x 0 ) h Continua

Vediamo ora il problema della tangente ad una curva : Prendiamo due punti sulla curva P e Q corrispondenti alle ascisse x 0 ed x 0 +h, avranno come ordinate f(x 0 ), f(x 0 +h) troviamo la retta congiungente i due punti, che taglierà la curva in P ed in Q : Grafico

Definizione di derivata Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x 0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale, al tendere a 0 dell incremento h della variabile indipendente. Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x 0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale, al tendere a 0 dell incremento h della variabile indipendente. Quando si vuole generalizzare prendendo invece di x0 x0 un punto generico qualsiasi si scrive : Esempio

Abbiamo dato la definizione di derivata, abbiamo visto che la derivata di una funzione, calcolata per un generico valore x, è essa stessa una funzione. Ci chiediamo ora se, per calcolare una derivata, dobbiamo sempre calcolarci il limite del rapporto incrementale. Rispondiamo subito di no. Ci sono le regole di derivazione, applicando le quali, data una qualsiasi funzione f(x) possiamo calcolarci f (x). Abbiamo visto da esempi precedenti, calcolando il limite del rapporto incrementale, che : Data f(x) = x 2 – 2x + 3 f (x) = 2x – 2 Data f(x) = x f (x) = 3x 2 Continua

Enunciamo ora le regole di derivazione più semplici che però ci daranno la possibilità di derivare la quasi totalità delle funzioni che ci si presenteranno : f(x)= k0 xnxn nx n-1 f(x)*g(x)f (x)*g(x)+f(x)*g(x) f(x) g(x) f (x)*g(x) - f(x)*g(x) g(x) 2 f(g(x))f (g(x))*g(x) Esempi

Diciamo subito, visto che spesso si fa confusione che si deve distinguere tra due tipi di Massimo(Minimo): Massimo assoluto e Massimo relativo. I due concetti sono profondamente diversi. Il massimo assoluto (Minimo assoluto) non è altro che il più grande (il più piccolo) valore assunto dalla funzione ed è unico. Un punto x 0 è di massimo relativo (minimo relativo) se esiste un intorno H di tale punto tale che per ogni x H risulta f(x) f(x 0 ) [f(x) f (x 0 ) minimo relativo]. Diciamo subito, visto che spesso si fa confusione che si deve distinguere tra due tipi di Massimo(Minimo): Massimo assoluto e Massimo relativo. I due concetti sono profondamente diversi. Il massimo assoluto (Minimo assoluto) non è altro che il più grande (il più piccolo) valore assunto dalla funzione ed è unico. Un punto x 0 è di massimo relativo (minimo relativo) se esiste un intorno H di tale punto tale che per ogni x H risulta f(x) f(x 0 ) [f(x) f (x 0 ) minimo relativo]. Commenti