La Geometria euclidea   La geometria euclidea ha caratterizzato la matematica e la fisica per oltre venti secoli; la sua validità costituì uno dei principi fondamentali della filosofia di Kant. La geometria di Euclide influenzò non solo le dottrine speculative, ma l’arte, l’architettura e la stessa psicologia dell’uomo, il suo modo di vedere le cose e di pensare. I risultati fondamentali della sintesi euclidea furono: lo svincolarsi della geometria dalla materia; l’introduzione del procedimento dimostrativo. Prima di Talete (circa 600 a.C.) le entità geometriche erano vincolate agli oggetti materiali. La concezione astratta degli enti geometrici, svincolata dagli oggetti materiali e dalla loro rappresentazione, è merito del pensiero greco sviluppatosi con Euclide. Gli Egizi ed i Babilonesi avevano già stabilito, in maniera empirica, la validità di molte proprietà geometriche. Il valore universale delle proposizioni geometriche ed il ragionamento deduttivo (che collega le varie dimostrazioni e riconduce proprietà geometriche più complesse a proprietà più semplici) si sono sviluppati con i Greci.

Gli Elementi di Euclide Euclide (300 a.C.) visse ad Alessandria d’Egitto e della sua vita si sa poco. La popolarità di Euclide è dovuta alla sua maggiore opera: Gli Elementi, un trattato che, per numero di edizioni e traduzioni può competere con La Divina Commedia e, forse, è superato solo dalla Bibbia. L’opera di Euclide rappresenta una sintesi organica delle conoscenze matematiche dei suoi tempi ed è ispirata a fini didattici: per molti anni è stato usato come testo nelle scuole, con ottimi risultati. Gli Elementi si compongono di 13 libri, nei quali si trova esposta sistematicamente tutta la geometria elementare. Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate come una specie di definizioni che servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi o teoremi. I principi fondamentali esposti negli Elementi si distinguono in tre categorie: termini o definizioni, postulati (di natura geometrica) e nozioni comuni (postulati anch’essi, ma di portata più generale).

Il Libro I degli Elementi è il più poderoso ed in esso si trova praticamente tutta la geometria piana che si studia a scuola. Contiene 23 termini (pseudo-definizioni), 5 postulati e 5 nozioni comuni. Ai termini del Libro I seguono nel testo originale i 5 postulati: Primo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. Secondo Postulato di Euclide: risulti postulato che una retta terminata (cioè un segmento) si possa prolungare continuamente in linea retta. Terzo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (cioè raggio). Quarto Postulato di Euclide: risulti postulato che gli angoli retti siano uguali tra loro.

Quinto Postulato di Euclide: risulti postulato che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti (cioè tali che la loro somma sia minore di due retti) , le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (cioè la cui somma è minore di due retti). Quindi, se  +  < 2 angoli retti, allora a incontra b dalla parte di tali angoli.   Nei libri di testo, generalmente, quando si parla di Quinto Postulato si fa riferimento non all’enunciato nella forma espressa da Euclide, ma a una proprietà equivalente. Questa proprietà viene chiamata Assioma della Parallela: Data una retta ed un punto P che non le appartiene, esiste una ed una sola retta che passa per P e non interseca r.

Paragoni Nella storia della filosofia la matematica è stata generalmente assunta come il modello della conoscenza certa e garantita. Le novità nella matematica, se erano riconosciute (es. Cartesio), erano dichiarate d’autorità della stessa natura

I postulati di Euclide sono stati in armonia con le comuni intuizioni fisico-geometriche degli oggetti materiali, fino a quando la scoperta delle geometrie non euclidee ha rivoluzionato questa armonia. Dei cinque postulati alla base della geometria euclidea, il quinto postulato non rispecchia la semplicità dei primi quattro, lo stesso Euclide forse ne era consapevole. La sua “verità” non è evidente, cioè non è evidente la corrispondenza con i dati empirici dei fili tesi e dei raggi luminosi. La particolarità di questo assioma consiste nel fatto che si riferisce a una retta immaginata indefinitamente estesa nei due versi. Poiché la massima lunghezza di ogni riga reale, di un filo e anche di un raggio luminoso è finita, il quinto postulato non potrà mai essere verificato sperimentalmente. Il fatto che tale postulato non si potesse verificare sperimentalmente, fece sorgere la domanda se esso fosse o meno indipendente dagli altri postulati. I matematici che seguirono Euclide fino all’inizio del diciannovesimo secolo, tentarono di risolvere i dubbi intorno all’assioma delle parallele.

Furono tentati due approcci: il primo consisteva nel sostituire il quinto postulato con un enunciato più evidente, il secondo nel tentare di dedurlo dagli altri postulati di Euclide; se ciò fosse stato possibile, esso sarebbe diventato un teorema e tutti i dubbi sarebbero svaniti. Proclo (circa 410-485 a.C.) cercò di eliminare la necessità di un particolare postulato delle parallele: egli basò la sua dimostrazione del postulato su un assioma che Aristotele aveva usato per dimostrare che l’universo è finito. L’assioma dice: ”Se da un punto si prolungano indefinitamente due rette formanti un certo angolo, le successive distanze fra le due rette finiranno per superare ogni grandezza finita”. La dimostrazione di Proclo era sostanzialmente corretta, ma si limitava a sostituire un assioma discutibile con un altro altrettanto discutibile. Girolamo Saccheri nel 1733 pubblicò un’opera in due volumi “Euclide Emendato da ogni macchia”, in cui la problematica del Quinto Postulato veniva affrontata seguendo tre possibilità: esiste una sola parallela alla retta data passante per il punto assegnato; non esiste alcuna parallela alla retta data passante per il punto assegnato; esistono infinite parallele alla retta data passanti per il punto assegnato.

L’opera di Saccheri rappresenta il tentativo più ingegnoso per affrontare il Quinto Postulato mediante una dimostrazione a contrariis: si assume come punto di partenza la negazione del Quinto Postulato; se tale negazione risulta falsa nel corso del procedimento dimostrativo, allora il Postulato (che costituisce il suo contrario) risulterà vero. Egli assume come date le prime 28 proposizioni del libro I di Euclide, le quali sono indipendenti dal V assioma, e assunta come ulteriore ipotesi la falsità di quest'ultimo, cerca qualche proposizione da cui scaturisca la verità di esso. Così facendo prende in considerazione due nuove ipotesi che gli appaiono possibili e dalle quali sviluppa varie conseguenze in modo logicamente perfetto e con profondo senso geometrico. Saccheri parte dalla considerazione di una particolare configurazione ottenuta innalzando negli estremi A, B di un dato segmento le perpendicolari e prendendo su esse due segmenti uguali AD, BC. La figura ABCD che così si ottiene si chiama quadrilatero birettangolo isoscele. Prima di tutto, dimostra (mediante una simmetria attorno alla retta MN, asse della base AB), che i due angoli in C e D risultano uguali.

Successivamente osserva che tali angoli possono essere ottusi, retti, oppure acuti e chiama queste tre possibilità l'ipotesi dell'angolo ottuso, dell'angolo retto e dell'angolo acuto, considerandole tutte egualmente possibili, e stabilisce le seguenti proprietà: se per un solo quadrilatero birettangolo isocele vale una delle tre precedenti ipotesi, altrettanto vale per qualsiasi altro quadrilatero birettangolo isocele; corrispondentemente a queste tre ipotesi la somma degli angoli interni di un triangolo risulta maggiore, uguale, minore di due angoli retti; se in un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore, uguale, minore di due angoli retti, altrettanto avviene per qualsiasi altro triangolo. Siccome il verificarsi di una di queste tre ipotesi esclude il verificarsi delle altre due, e una di queste deve sempre verificarsi, se ne deduce che se sarà possibile escludere l'ipotesi dell'angolo ottuso e quella dell'angolo acuto, resterà valida quella dell'angolo retto e così verrà dimostrato il V assioma.

La questione delle rette parallele non poteva, dal punto di vista logico, essere posta in maniera più precisa; però, Saccheri, mentre riesce in maniera rigorosa ad escludere l'ipotesi dell'angolo ottuso, non altrettanto bene riesce ad escludere quella dell'angolo acuto. Egli infatti crede di poter affermare l'impossibilità dell'ipotesi dell'angolo acuto, dimostrando che, se fosse valida, verrebbero ad esistere rette complanari che si avvicinano indefinitamente senza incontrarsi. Questo fatto, sebbene appaia in contraddizione con l'intuizione e con l'esperienza tuttavia non rappresenta un'impossibilità logica rispetto alle premesse. Nonostante l'opera di Saccheri presenti un errore logico, essa è di grande importanza perché viene stabilita per la prima volta una lunga serie di proposizioni, tutte valide nonostante la negazione del V assioma di Euclide. Questo modo di ragionare suggerì ai matematici del diciannovesimo secolo il modo per provare non solo che il Quinto Postulato non era dimostrabile, ma anche per individuare delle nuove geometrie dette “non euclidee”.

Le tre ipotesi di Saccheri, infatti, corrispondono ai tre tipi classici di tali geometrie, e precisamente: l'ipotesi dell'angolo ottuso alla " geometria ellittica" (o di Riemann) nella quale da un punto, in un piano, non si può condurre alcuna retta parallela ad una retta data; l'ipotesi dell'angolo retto alla "geometria parabolica" (o di Euclide) nella quale da un punto, in un piano, si può condurre una sola parallela ad una retta data; l'ipotesi dell'angolo acuto alla " geometria iperbolica" (o di Lobacewskji-Bolyai) nella quale da un punto, in un piano, si possono condurre due o più parallele ad una retta data.

Le Geometrie non euclidee Poiché l’assioma delle parallele era indipendente, doveva quindi essere possibile, almeno dal punto di vista logico, adottare un enunciato che lo contraddiceva e sviluppare le conseguenze del nuovo insieme di assiomi. Il russo Lobacevsckij e l’ungherese Bolyai furono i primi a rendere nota, rispettivamente nel 1829 e nel 1832, quella che Lobacevsckij chiamò “geometria immaginaria” e che oggi è chiamata “geometria iperbolica”. Nella geometria di Bolyai-Lobacevsckij , l’assioma delle parallele è sostituito da un altro assioma che ammette “l’esistenza di due distinte parallele condotte a una retta per un punto esterno ad essa”. Più tardi il tedesco Riemann, nella conferenza inaugurale tenuta nel 1851 all’Università di Gottinga, pose le basi per un nuovo tipo di geometria non euclidea, detta “geometria ellittica”, in cui l’assioma delle parallele è sostituito da un altro che afferma “la non esistenza di parallele ad una retta passanti da un punto esterno ad essa”.

Prima di poter considerare tali geometrie branche legittime della matematica, occorreva risolvere il problema fondamentale della loro coerenza. Bolyai e Lobacevskij si erano posti questo problema, ma non erano stati capaci di risolverlo. Era necessario costruire “modelli” di una geometria tale da soddisfare tutti gli assiomi di Euclide, eccetto il Postulato delle parallele. Il più semplice di tali modelli è dovuto a Felix Klein, il cui lavoro in questo campo fu stimolato dalle idee dello studioso inglese di geometria Cayley. È doveroso ricordare che tale modello è dovuto a Beltrami, anche se la funzione distanza usata in esso fu data da Klein, cosicché il modello viene spesso attribuito a quest’ultimo. Quindi il modello di Klein è costruito considerando dapprima gli enti dell’ordinaria geometria euclidea, e poi “ribattezzando” alcuni di questi enti e le loro mutue relazioni in maniera tale da generare una geometria non euclidea. Fondamentali sono le definizioni di distanza e di angolo, definizioni proiettive. Quindi alcuni concetti di geometria proiettiva permettono di comprendere meglio tale modello.

D’altra parte il rapporto fra geometria proiettiva e le geometrie non euclidee, che sono geometrie metriche poiché si servono del concetto di distanza come concetto fondamentale, fu per molto tempo oggetto di numerose ricerche. Il modello di Klein mostra che la geometria iperbolica, considerata come un sistema formale deduttivo, è coerente come la geometria classica euclidea. Nasce allora il problema di quale delle due geometrie si debba preferire come descrizione della geometria del mondo fisico, l’esperienza non può mai decidere se esistono una sola o infinite rette passanti per un punto e parallele a una retta data. Gauss eseguì un’esperienza con cui intendeva risolvere il problema: basò tale esperimento sul fatto che nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, mentre si può dimostrare che nella geometria iperbolica è minore di 180°. Gauss misurò effettivamente la somma degli angoli del triangolo formato dalle cime delle tre montagne Brocken, Hohehadel e Inselberg. I lati di questo triangolo erano rispettivamente lunghi 69, 85 e 197 chilometri. Gauss trovò che la somma degli angoli superava i 180° di 14,85. L’esperimento non dimostrò niente, poiché l’errore sperimentale era molto più grande dell’eccedenza trovata, cosicché la somma corretta avrebbe potuto benissimo essere uguale a 180° o anche meno.

Come Gauss si rese conto, il triangolo era troppo piccolo e poiché nella geometria non euclidea il difetto è proporzionale all’area, soltanto un triangolo molto grande avrebbe potuto eventualmente rivelare una differenza significativa rispetto ai 180° nella somma negli angoli. L’esperimento di Gauss mostrò che la geometria euclidea e quella iperbolica , differiscono molto se si considerano figure grandi; mentre per figure relativamente piccole, si avvicinano talmente da risultare sperimentalmente equivalenti. Quindi finché si propone l’esame di proprietà locali dello spazio, la scelta fra le due geometrie deve essere fatta soltanto sulla base della semplicità e della convenienza. Poiché il sistema euclideo ammette una trattazione un po’ più semplice, è giustificato il suo uso esclusivo finché si considerano distanze opportunamente piccole (pochi milioni di chilometri), però non è detto che si adatti a descrivere l’universo come complesso nei suoi aspetti più vasti. Si ha una situazione analoga a quella che esiste in fisica, dove i sistemi di Newton e di Einstein danno gli stessi risultati per distanze e velocità piccole, ma differiscono quando si considerano grandi dimensioni.

L’importanza rivoluzionaria della scoperta della geometria non euclidea consiste nel fatto che essa demolì l’opinione che gli assiomi di Euclide costituissero l’ossatura matematica immutabile a cui dovesse adattarsi la conoscenza sperimentale della realtà fisica. Quindi la nascita delle geometrie euclidee diede una profonda svolta agli studi della matematica, facendo crollare la convinzione che essa fosse una “scienza esatta”, fondata su verità evidenti ed indimostrabili. In realtà la matematica scoprì in sé numerose antinomie. Le geometrie non euclidee sono plausibili in uno spazio che non presenta le caratteristiche di omogeneità che gli assegnava Newton. Entra così in crisi il concetto di spazio assoluto, ossia la definizione delle posizioni relative dei corpi fermi nello spazio, indipendentemente dal tempo. Unitamente alla crisi del concetto di spazio assoluto, si verificò una profonda revisione del concetto di tempo assoluto. Entrambi i concetti costituivano i presupposti fondamentali della matematica e della fisica.

La verità è una “favola” Paragoni La verità è una “favola” Crisi della certezza (Nietzsche) Cfr. Crisi dei fondamenti (logicismo, formalismo, intuizionismo)

Paragoni Il concetto di crisi come chiave di lettura della cultura contemporanea: Che cos’è la verità? Come si configura il rapporto tra pensiero ed essere?

Paragoni Dalla seconda rivoluzione scientifica: Geometrie non euclidee Dibattito sui fondamenti delle matematiche Teoria della relatività Teoria dei quanti Genetica e biologia molecolare

Paragoni La geometria classica non è più considerabile come un sapere basato sull’evidenza dell’intuizione spaziale, inoltre la coesistenza di più geometrie pone il problema dell’atteggiamento da assumere di fronte ad esse cioè del criterio di scelta.

Paragoni Quale modello per la razionalità occidentale? Quali premesse per la dimostrazione? (alla premessa vera si sostituisce una premessa “arbitraria”, emerge la distinzione tra sintassi e semantica)

Paragoni Le teorie scientifiche non seguono più il criterio assiomatico-deduttivo classico ma seguono il criterio di non contraddittorietà Emerge l’idea di complessità

IL MODELLO DI KLEIN Il modello di Klein si propone di illustrare un modello di geometria iperbolica, attribuendo ai termini punto, retta, piano, uguaglianza, ecc. significati diversi da quelli a cui siamo abituati, in modo però che siano verificati i primi quattro Postulati di Euclide. La constatazione che il Quinto Postulato non è però verificato nel modello, ne assicurerà la sua indipendenza dai primi quattro. Diamo, per iniziare, le prime fondamentali definizioni.

IL PIANO DI KLEIN Si definisce piano la ragione interna di una conica (per semplicità, noi considereremo una circonferenza) Si definisce punto un qualunque punto interno alla circonferenza Si definisce retta una qualunque corda della circonferenza (estremi esclusi) Si definisce segmento la totalità dei punti di una retta compresi tra due suoi punti assegnati

Si consideri nel piano di Klein due rette passanti per un punto A Si consideri nel piano di Klein due rette passanti per un punto A. Tale piano resta così diviso in quattro regioni, ciascuna delle quali è detta angolo.  Due rette si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano angoli adiacenti uguali. Tali angoli vengono detti angoli retti. 

Definizione Si chiama trasformazione proiettiva (o proiettività) una trasformazione geometrica che ha come invariante l’allineamento dei punti e il birapporto   Nella geometria del piano di Klein vengono utilizzate particolari proiettività: le omologie; quindi è necessario introdurre le proprietà delle omologie e la definizione di omologia. Un omologia ha come invarianti l’allineamento dei punti il birapporto in più presenta un punto ed una retta fissa (il centro di proiezione e l’asse) Le omologie sono particolari proiettività, definite nel seguente modo. Definizione Si chiama omologia la trasformazione del piano definita dai seguenti elementi: una retta fissa u (detta asse dell’omologia) un punto fisso U (detto centro o polo dell’omologia) un punto A e il suo corrispondente A’ (con A e A’ allineati con U)

Data una circonferenza  ed un punto U esterno ad essa, costruita la retta u passante per i punti di contatto delle tangenti condotte da U alla circonferenza (polare del punto U), si può condurre da U una qualsiasi secante alla circonferenza, siano A e A’ i punti di intersezione   Si può considerare l’omologia di centro U e asse u e che ha A, A’ come coppia di punti corrispondenti, tale omologia a punti sulla circonferenza fa corrispondere punti sulla circonferenza a punti interni alla circonferenza fa corrispondere punti interni.

Le omologie conservano il birapporto, che viene definito nel modo seguente.   Definizione. Si definisce birapporto (ABMN) di quattro punti propri A, B, M, N appartenenti ad una stessa retta e nell’ordine considerato, il doppio rapporto: Per il birapporto valgono le seguenti proprietà: Il birapporto è invariante per omologie Il birapporto è negativo o positivo a seconda che la prima coppia di punti separi o non separi la seconda coppia

PIANO EUCLIDEO   Uguaglianza Due figure sono uguali quando esiste un movimento rigido (isometria) che trasforma una figura nell’altra Un’isometria: 1) conserva l’allineamento 2) conserva le distanze PIANO DI KLEIN Due figure sono uguali quando esiste una proiettività che trasforma una figura nell’altra Particolari proiettività sono le omologie Un’omologia: 2) conserva il birapporto

PIANO EUCLIDEO   Distanza  Si può definire la distanza di due punti, in modo che segmenti uguali abbiano uguale lunghezza e viceversa d(A,B)  0 d(A,B) = 0 se A = B d(A,B) = d(B,A) Dati tre punti A, B, C allineati in questo ordine: d(A,B) + d(B,C) = d(A,C) proprietà di additività segmentaria PIANO DI KLEIN Non si può più utilizzare il concetto di distanza nel senso euclideo Occorre definire la distanza come funzione di qualche cosa che si conserva per omologie   Distanza con k > 0 Non vale la proprietà di additività

NEL MODELLO DI KLEIN I PRIMI QUATTRO POSTULATI DI EUCLIDE VALGONO ANCORA. Primo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.   Questo postulato stabilisce l’esistenza di una retta per due punti . L’esistenza (e unicità) della retta nel piano di Klein per due punti assegnati interni al piano stesso (corda che è un segmento della retta euclidea per due punti )assicura la validità di tale Postulato. La verifica del Primo Postulato di Euclide è quindi avvenuta supponendo vero il Primo Postulato di Euclide. Questa non è una tautologia perché si tratta di verificare che nel modello di Klein valgono i primi quattro postulati di Euclide, ma non deve venire esclusa, anzi deve venire ammessa la validità dell’usuale geometria euclidea. In questo modo, il modello di Klein è un modello di geometria non euclidea, costruito, però, a partire dalla geometria euclidea.

Secondo Postulato di Euclide: risulti postulato che una retta terminata (cioè un segmento) si possa prolungare continuamente in linea retta.   La retta per Euclide è, in realtà, un segmento prolungabile tanto quanto basta. Questo accade anche nel modello di Klein: dato un qualsiasi segmento AB, poiché vi sono sempre, in entrambi i versi, infiniti punti della retta (infatti gli estremi della corda non appartengono alla retta), è sempre possibile prolungarlo (da entrambi le parti). Terzo Postulato di Euclide: risulti postulato che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (cioè raggio).   Dato un punto A e un valore r > 0, in ogni semiretta di origine A vi è un solo punto B tale che . Il luogo di questi punti B, al variare della semiretta per A, costituisce il luogo dei punti tali che la loro distanza da A sia il valore fissato r, cioè la circonferenza di Klein di centro A e raggio r.

Quarto Postulato di Euclide: risulti postulato che gli angoli retti siano uguali tra loro.   Per verificare la validità di questo Postulato, occorre mostrare che esiste una omografia che muti un qualsiasi angolo retto PAM fissato, in un qualsiasi altro angolo retto P’A’M’. Assioma della Parallela: Data una retta ed un punto P che non le appartiene, esiste una ed una sola retta che passa per P e non interseca r. E’ facile osservare che nel modello di Klein da un punto P esterno alla retta MN, passano più di una retta (anzi, infinite!) che non intersecano la retta data: AB, CD, ME, ecc.

IL MODELLO DI POINCARE’ Sulla base dell’esperienza fatta e tenendo presente che sono possibili più modelli della geometria iperbolica, dopo aver presentato il modello di Klein, risulterà molto utile fare un approfondimento sul modello di Poincaré. A tal proposito si può ricorrere alle opere di Escher. Nella produzione di Escher, gli anni che vanno dal 1956 al 1970 rappresentano quello che va sotto il nome di ”Periodo dell’Infinito”. L’opera migliore di questo periodo è il “Limite del cerchio III” (1959), rappresentato nella diapositiva seguente. Quest’opera sembra che sia il frutto dell’ammirazione dell’artista per una illustrazione di un libro di H.S.M. Coxeter. Questa immagine è una rappresentazione di uno spazio iperbolico, il cui modello è dovuto al matematico francese Poincaré.

Dall’analisi di quest’opera si possono ricavare informazioni sul suddetto modello. Le linee bianche sul disco di Escher disegnano una “tassellazione” in triangoli e quadrilateri iperbolici. I lati dei triangoli e dei quadrilateri sono pezzi di circonferenze che intersecano perpendicolarmente il bordo del disco, cioè il bordo del disco e le circonferenze hanno tangenti perpendicolari nei loro punti di intersezione. Queste ultime sono le “rette” della geometria iperbolica, nel modello di Poincaré, “rette” sono anche le intersezioni dell’interno del disco con i diametri di circonferenze, che intersecano perpendicolarmente il disco. I punti del piano iperbolico, in questo modello, sono i punti all’interno del disco. Nel modello usato da Escher, gli angoli iperbolici corrispondono agli angoli visti dal nostro occhio euclideo. L’angolo iperbolico tra due rette iperboliche passanti per un punto comune, non è nient’altro che l’angolo tra le rette tangenti in quel punto alle circonferenze corrispondenti.

Considerando la figura, le rette BA e BC sono tangenti (in senso euclideo) agli archi AB e BC. Per definizione l’ampiezza dell’angolo iperbolico coincide con l’ampiezza euclidea dell’angolo formato dalle rette tangenti BA e BC. Si nota subito che gli angoli interni del quadrilatero centrale del disegno di Escher misurano meno di 90 gradi. Infatti la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è sempre minore di 360 gradi e per lo stesso principio, la somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è sempre minore di 180 gradi. Le distanze del cerchio iperbolico sono completamente diverse da quelle alle quali noi siamo comunemente abituati. La distanza fra due punti è definita in modo tale da crescere esponenzialmente quando uno dei due punti è spostato verso il bordo del cerchio.

Paragoni Poincaré: convenzionalismo La geometria è “più comoda” perché, nella sua semplicità simbolica permette un miglior inquadramento dei fatti sperimentali Le verità scientifiche sono uno strumento pratico per interpretare la realtà

Paragoni Heisemberg: il principio di indeterminazione. Dal punto di vista teoretico non si può non considerare come “ridimensionata” la legge di causalità che dalla certezza passa all’ambito della probabilità. “Per la prima volta, nel corso della storia, l’uomo ha di fronte solo se stesso “ (Heisemberg)

Paragoni Uno sviluppo della riflessione filosofica: la ripresa dell’epistemologia Definire i limiti di ciò che è scientifico Riflettere sugli strumenti e i metodi della scienza Definire lo statuto di verità delle teorie scientifiche

Paragoni Il circolo di Vienna e il principio di verificazione Popper e il falsificazionismo (v. Einstein) L’epistemologia post-popperiana (Kuhn, Lakatos, Feyerabend)