Trasformazioni geometriche

Definizione La trasformazione geometrica è un movimento applicato alle figure, che crea una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa uno e un solo punto P’ appartenente al piano stesso e viceversa. Possiamo avere trasformazioni isometriche, isomorfiche e anamorfiche

Le trasformazioni isometriche Le isometrie (o movimenti rigidi) sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze. In altre parole se AB è la distanza tra i punti A e B, e A'B' la distanza tra i punti trasformati, allora AB = A'B' Le trasformazioni isometriche trasformano una figura in una figura congruente: in altre parole le figure vengono «spostate» senza essere deformate. Tutte le proprietà geometriche della figura sono invarianti per isometria  (cambia  solo  la  «posizione»). Quindi le figure sono IDENTICHE I quattro movimenti rigidi che permettono di muovere la figura nel piano senza alterarne le dimensioni sono:

Le isometrie si classificano in Traslazioni Rotazioni Simmetrie assiali Simmetrie centrali Riflessioni Glissosimmetrie o Glissoriflessioni

LE TRASLAZIONI In una traslazione ogni punto del piano viene spostato nella stessa direzione e nello stesso verso e secondo una stessa distanza. La traslazione gode delle seguenti proprietà: Coppie di punti corrispondenti (trasformati) AA' e BB' giacciono su rette parallele La distanza tra i punti rimane invariata Non ci sono punti uniti (cioè «che rimangono fermi») Ogni retta viene trasformata in una retta parallela Esempi sul libro pag. 145 n. 4

Hanno un punto unito o fisso (il centro di rotazione) LE ROTAZIONI Le rotazioni sono trasformazioni caratterizzate da un punto fisso (che chiamiamo O e che la trasformazione lascia invariato) e dall'ampiezza di un angolo (che chiamiamo α). Le rotazioni dunque: Hanno un punto unito o fisso (il centro di rotazione) Sono tali per cui i punti e i loro corrispondenti hanno uguale distanza dal centro di rotazione Spostano tutti i punti del piano di uno stesso angolo α α O Esempi sul libro pag. 145 n. 6

Simmetria assiale Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la trasformazione del piano in sé che lascia fissi tutti i punti di r e che ad ogni punto P del piano, esterno ad r, fa corrispondere il punto P' tale che la retta r sia perpendicolare al segmento PP' e lo tagli nel suo punto medio Esempi sul libro pag. 145 n. 5 a + facciata del Partenone

Figure con asse di simmetria Una figura ha come asse di simmetria una retta r se, nella simmetria di asse r, la trasformata della figura è la figura stessa. In alternativa, si può dire che una figura ammette r come asse di simmetria se, essendo P un punto della figura, anche il suo simmetrico P' appartiene alla figura

Simmetria centrale Si fissi in un piano il punto O e si consideri un punto P distinto da O; si tracci poi la retta r passante per P e per O, che divide la retta in due semirette. Sulla semiretta che non contiene P si consideri il punto P' tale che OP = OP’ La simmetria centrale gode di queste proprietà: Ha un punto unito esistono infinite rette che vengono trasformate in se stesse Esempi sul libro pag. 145 n. 5 b

RIFLESSIONI Riflettere una figura significa produrre la sua immagine speculare rispetto ad un’asse o linea specchio

GLISSOSIMMETRIE O GLISSORIFLESSIONI Una glissosimmetria è una isometria che si ottiene componendo una simmetria assiale con una traslazione parallela all'asse di simmetria (o anche componendo una traslazione con una simmetria assiale)

Le trasformazioni isomorfiche Le trasformazioni isometriche sono quei movimenti nel piano che fanno conservare ala figura gli stessi angoli ma ne variano le dimensioni dei lati rispetto alla figura originale. Sono l’omotetia, la similitudine, la sezione aurea

Omotetia L’omotetia è una trasformazione che “dilata” un oggetto mantenendone invariati gli angoli ossia la forma dell’oggetto. In una omotetia i lati corrispondenti sono tra loro paralleli e i punti corrispondenti sono tutti allineati con un unico punto (CENTRO DELL’OMOTETIA). Il rapporto tra le distanze dei punti corrispondenti dal centro di omotetia si chiama RAPPORTO DI OMOTETIA Due figure sono omotetiche quando per entrambe esiste una coppia di punti in corrispondenza biunivoca A e A’) allineati con un punto fisso O, centro dell’omotetia. Le rette che uniscono i punti dell’omotetia sono parallele tra loro (AB // A’B’), gli angoli sono uguali e i lati proporzionali. Tale principio geometrico consente l’ingrandimento e la riduzione proporzionale delle figure

Ingrandimenti e riduzioni La similitudine Ingrandimenti e riduzioni Una similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di un’omotetia con una isometria. In essa resta invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e (A',B') ovvero AB = k A’B’ Due figure sono simili quando hanno angoli uguali e lati proporzionali

Proprietà della similitudine Una similitudine trasforma segmenti in segmenti di rapporto k (k è detto rapporto di similitudine): Una similitudine trasforma rette in rette; Una similitudine trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza, in particolare conserva il parallelismo e la perpendicolarità; Una similitudine trasforma aree in aree di rapporto k2 Le similitudini mantengono la "forma", in particolare trasformano circonferenze in circonferenze,..., cioè trasformano una figura geometrica in una figura simile a quella data. Le figure omotetiche sono sempre simili, mentre due figure simili sono omotetiche solo quando le coppie di punti omotetici sono allineate con il centro dell’omotetia

La sezione aurea Dividere un segmento in sezione aurea significa dividerlo in due parti tali che una di esse sia media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente. Il segmento medio proporzionale è la parte aurea del segmento stesso. Per costruire la sezione aurea si applicano i principi della similitudine, in particolare il teorema della tangente e della secante, ad una circonferenza: Dato il segmento AB, traccio la perpendicolare nell'estremo B e fisso su di essa il punto C, tale che risulti CB=1/2 AB. punto in C, con apertura CB, e traccio una circonferenza; unisco A con C e sulla circonferenza determino i punti di intersezione R e Q. punto in A, con apertura AR, e traccio un arco che interseca il segmento AB nel punto D. Per il teorema della tangente e della secante risulta: AB:AD=AD:DB cioè AD è medio proporzionale tra AB e DB e quindi è la parte aurea del segmento AB. Il rapporto AB/AD si chiama rapporto aureo (φ) e corrisponde a 1,618. Q C A B R D

Omotetia e similitudine: come si ingrandiscono e si riducono le figure Rappresentare un oggetto usando le sue dimensioni reali è certamente il metodo più sicuro ed efficace. Nella maggior parte dei casi, però, questo non è possibile poiché l'oggetto è troppo grande o troppo piccolo. È necessario, quindi, modificarne le dimensioni, senza per questo alterarne le proporzioni: si utilizza, allo scopo, una scala dimensionale. Scala dimensionale Per scala di un disegno si intende il rapporto tra la misura di un oggetto rappresentata nel disegno e la corrispondente dimensione nella realtà. La scala 1:10 (o 1/10, uno a dieci), per esempio, indica che le dimensioni del disegno si ottengono riducendo di 10 volte quelle reali; la scala 2:1 (due a uno) indica che le dimensioni del disegno si ottengono ingrandendo di 2 volte quelle reali. Esercitazione di ingrandimento di una figura attraverso la quadrettatura

Sezione aurea e canone di proporzione Il rapporto aureo si indica con la lettera greca φ, dall’iniziale dello scultore Fidia e vale circa 1,618. Prima disegno la sezione aurea sulla facciata del Partenone: prendo la basa AB e traccio la perpendicolare a B tale che OB sia pari a ½ di AB. Punto in O e traccio la circonferenza con apertura OB . Unisco A con O e ottengo il punto il punto C. Punto in A con apertura AC e ottengo un arco che interseca AB nel punto E. Quindi AE è la parte aurea nel lato AB. Ottengo però anche il punto D che mi dà l’altezza del frontone AB : AE = AE : EB

Dalla sezione aurea al rettangolo aureo del Partenone Grazie al rettangolo aureo l’altezza e larghezza rispettano le proporzioni. Si parte dal quadrato ABCD ottenuto dalla sezione aurea e si traccia la mediana EF. Dal punto F, con apertura FC traccio un arco che incontra il prolungamento dal lato AD in G. Il lato AG è la base del rettangolo aureo. Misure della facciata: 30,88 m. In scala 1:100 = 30,88 cm di lunghezza per un altezza complessiva con il vertice del timpano di circa 20 cm (da verificare con il disegno)