DISEQUAZIONI DI II GRADO

Lo studio del segno di un trinomio Considerando che il coefficiente a sia sempre positivo cioè a>0 per risolvere le disequazioni di secondo grado si utilizzano le seguenti regole ax²+bx+c > 0ax²+bx+c < 0 ax²+bx+c=0 Δ>0X x₂ Intervalli esterni Δ<0x₁<X<x₂ Intervalli interni Δ<0Sempre verificata  X Є R Δ<0Impossibile Ø Nessuna soluzione reale Δ=0Sempre verificata  X Є R purchè X≠(x₁=x₂) Δ=0Impossibile Ø Nessuna soluzione reale

Nel caso in cui ci sia anche maggiore o minore o uguale o uguale si osservano le seguenti regole ax²+bx+c ≥0ax²+bx+c ≤0 ax²+bx+c=0 Δ>0X≤x₁ v X≥x₂ Intervalli esterni Δ<0x₁≤X≤x₂ Intervalli interni Δ<0Sempre verificata  X Є R Δ<0Impossibile Ø Nessuna soluzione reale Δ=0Sempre verificata  X Є R Δ=0 Una sola soluzione reale coincidente con x₁=x₂

esempio Si considera l’equazione associata Si considera l’equazione associata

Si risolve, trovando le eventuali radici

Si posizionano le radici sopra una retta orientata orientata. Poiché il verso è positivo e il Δ>0 si prendono gli intervalli esterni alle soluzioni trovate X 13 ]−∞,1[ U ] 13, +∞ [

LE DISEQUAZIONI FRAZIONARIE DI SECONDO GRADO Le disequazioni frazionarie sono le disequazioni in cui l’incognita compare al denominatore,ridotte in forma normale si presentano : dove A(x) e B(x) sono polinomi nella variabile x e almeno uno di essi è di secondo grado.

Procedimento di risoluzione di disequazioni frazionarie 1. Si pongono numeratore e denominatore entrambi > 0 indipendentemente dal verso della disequazione 2. Si riporta il segno del denominatore e numeratore sul grafico, ricordando che la linea continua indica i valori positivi e la tratteggiata valori negativi. 3. La soluzione della disequazione è data dal prodotto dei segni che corrispondono al verso della disequazione. Poiché l’incognita compare al denominatore,occorre stabilire inizialmente le condizioni di accettabilità,escludendo i valori di x che rendono nulli i denominatori,in corrispondenza dei quali, l’espressione perde senso e con essa anche la disequazione.

Esempio Per risolvere le seguente disequazione frazionaria: Trasportiamo tutti i termini al primo membro e riduciamo allo stesso denominatore Ora studiamo il segno del numeratore e del denominatore risolvendo la disequazione che si ottiene ponendo ciascun termine maggiore a zero:

________________ _____ _ _ _ _ _ _ _ __________ _ _ _ _____ _ _ _ ______ N D Rappresentiamo ora il segno del numeratore su due linee parallele, tratteggiate in corrispondenza dei valori di x per cui ciascuno dei due termini, N e D, è negativo e continua in corrispondenza dei valori di x per cui ciascuno dei due termini è positivo. Sulla terza linea rappresentiamo il segno della frazione. In quanto il segno è positivo in questo caso prenderemo i valori per i quali la disequazione è positiva ovvero

Sistema di disequazioni Cosa significa cercare la soluzione di un sistema di disequazioni? Significa individuare,se esistono, gli intervalli comuni di soluzioni tra più disequazioni. Il procedimento risolutivo è il seguente: 1.Si risolvono separatamente ciascuna delle disequazioni del sistema 2.Si rappresentano graficamente 3.Si individuano le soluzioni comuni.

Supponiamo di dover risolvere questo sistema: 5 –x ≥0 (x-2)(x+3) > 0 (x-4) / (- x - 2) ≥ 0 Risolvo separatamente le disequazioni messe a sistema, utilizzando tutte le tecniche imparate precedentemente: A) B) C) A) È di 1° grado, non serve fare lo studio del segno: -x ≥ -5  x ≤ 5  ]-∞, 5] B) È già scomposta, faccio lo studio per fattori 1) x-2 >0  x>+2 2) x+3>0  x> ) 2) ++ _ La soluzione è (attento, nessun pallino!perchè l’estremo è escluso) : ] -∞, -3[ U ]+2, +∞[

C) È un disequazione fratta, già scomposta. Posso fare subito lo studio del segno: N) x-4 ≥0  x≥+4 D) - x - 2 > 0  - x > < +2  x< -2 Hai notato che l’uguale è solo al numeratore? Hai notato che al denominatore - a causa del meno davanti alla x - ho cambiato segno e versi? Costruisco la tabella (attento! Al denominatore il primo segno va verso sinistra) e scelgo la zona con il più (nell’esercizio c’è ≥) D) N) -2+4 o __ + La soluzione è (occhio al pallino!): ]-2, +4] A questo punto costruisco una nuova tabella che deve rappresentare SOLO le soluzioni del sistema. Osserviamo che la tabella delle soluzioni deve avere tante linee quante sono le disequazioni messe a sistema in questa tabella non ci sono linee tratteggiate! infatti si rappresentano le soluzioni con delle linee continue la soluzione è rappresentata dagli intervalli che sono CONTEMPORANEAMENTE soluzione su tutti i livelli

Mi riscrivo per bene le singole soluzioni in corrispondenza delle disequazioni della traccia A) B) C) ]-∞, +5] ] -∞, -3[ U ]+2, +∞[ ]-2, +4] Tabella delle soluzioni del sistema: -∞ ∞ A) B) C) o o La soluzione è quella evidenziata : ]+2, +4], poiché è l’unica colonna in cui i tre livelli hanno contemporaneamente la linea continua. -∞-3-2-∞ ∞ ∞-3+5-∞-3-2-∞ ∞ ∞ ∞-3+∞ ∞-3