Metodo di Calcolo Numerico per Equazioni differenziali Ordinarie Approssimiamo la soluzione in: Suddividiamo in N intervalli mediante i punti: Una volta conosciuta la soluzione in questi punti potremo approssimare la soluzione in tutto l’intervallo (magari con una interpolazione polinomiale). Per adesso considereremo una suddivisione uniforme: Considereremo un problema ai valori iniziali (di Cauchy): La f definisce una campo di pendenze.

Metodi a un passo In generale, studiaremo strategie che rientrano nella categoria dei cosiddetti metodi a un passo; il nome deriva dal fatto che per calcolare la soluzione numerica al tempo tn+1 é sufficiente conoscere la soluzione numerica al tempo n: Caratterizza un metodo specifico. Rappresenta una approssimazione numerica della media della funzione f tra gli istanti n, n+1. Funzione Incrementale Errore locale di discretizzazione (di troncamento)

Metodi a un passo Consistenza: Un metodo a un passo si dice consistente nell’intervallo di integrazione se d(t,h) é infinitesimo per h tendente a zero. Piú precisamente esiste una funzione d(h) tale che: Inoltre un metodo a un passo si dirá di ordine di consistenza p se: Convergenza: se la Φ é lipschitziana rispetto a y si ha convergenza. Richiede anche la stabilitá….vedi propagazione dell’errore….

Metodi a un passo 1. Metodo di Eulero Esplicito Sviluppo di Taylor sino al primo ordine.

Metodi a un passo 2. Metodo di Eulero Implicito Ha lo stesso grado di accuratezza del metodo esplicito peró richiede la risoluzione di una equazione non lineare (comunque in alcuni casi i metodi impliciti possono presentare dei vantaggi).

Metodi a un passo Se arrestiamo lo sviluppo di Taylor al secondo ordine, e calcoliamo la derivata seconda di y, si ottiene: (metodo del secondo ordine) 3. Metodo basato sullo Sviluppo di Taylor arresto al 2 ordine:

Metodi a un passo Per costruire un metodo del secondo ordine (come il precedente) senza dover calcolare e valutare le derivate di f, si puó ragionare in questo modo: Coordinate di P: P Soluzione reale

Metodi a un passo 4. Metodo di Eulero Modificato: In pratica, abbiamo approssimato la soluzione reale nell’ intervallo con la retta tangente in tn per stimare il valore della funzione al tempo tn+h/2 (punto P); infine abbiamo approssimato l’incremento della soluzione in attraverso la pendenza in P (si cerca di migliorare la stima della retta secante tra due instanti di integrazione). Questo metodo ha una accuratezza del secondo ordine.

Metodi a un passo Come abbiamo appena visto per aumentare l’accuratezza il metodo di Eulero esplicito basta migliorare l’approssimazione della secante tra due instanti di integrazione: un’altra idea potrebbe essere l’utilizzo di una media tra le pendenze ai tempi tn e tn+h. 5. Metodo di Heun (differente del Metodo dei Trapezi): Per valutare la funzione al passo tn+h si é utilizzato una passo dell’Eulero esplicito si é considarato un’incremento lineare con pendenza definita al tempo tn. Differisce dal metodo dei Trapezi poiché quest’ultimo é implicito (vedi dopo).

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta 6. Metodo Runge-kutta a M stadi (livelli): Generalizzazione delle osservazioni utilizzate per arrivare all’ Eulero modificato e alla formula di Heun. Metodo Esplicito Metodo Imsplicito Metodo Semi-imsplicito

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta La denominazione di esplicito, implicito, o semi-implicito dipende dalla minore o maggiore facilitá nel derivare i vari ki : in un caso si ricaveranno in cascata, mentre nell’altro si dovrá risolver un sistema di equazioni. Possiamo giungere ai metodi Runge-kutta in altro modo; infatti in generale possiamo utlizzare varie formule di quadratura per ottenere metodi giá conosciuti: Eulero esplicito Eulero implicito 7. Metodo dei Trapezi (ricavato dalla omonima formula di quadratura) Dunque sfruttando delle formule di quadratura che utilizzano i punti:

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta Dunque sfruttando altre formule di quadratura che utilizzano i nodi : Possiamo ottenere formule del tipo: che dipendono dai corrispondenti valori incogniti: Il problema viene risolto approssimando a loro volta l’integrale seguente con una fomula di quadratura:

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta La formula di quadratura in questo caso potrá utlizzare tutti o solo alcuni nodi (diaciamo P): Chiaramente se P=i-1 sará un metodo implicito; inoltre P al massimo sará uguale a M. Se imponiamo che la formula di quadratura sia esatta almeno per funzioni costanti per ogni i troviamo la relazione: Unendo i varii procendimenti di quadratura troviamo le formule di Runge-Kutta:

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta Queste formule possono essere rappresentate in forma sintentica con una tabella di coefficienti (consideriamo il caso piú generale P=M): …………… ……… Vettore delle ascisse Matrice dei coefficienti B Vettore W dei Pesi

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta Se la matrice B é triangolare inferiore il metodo sará esplicito e gli Yi si calcolano facilmente in cascata. In questo caso la condizione sugli alfa impone: . Se include anche la diagonale sará semiesplicito e la soluzione sará ricorsiva, mentre con B piena il metodo si dice implicito e richiede la risoluzione di un sistema non lineare. 1 Eulero Esplicito A un livello esplicito 1 Eulero Implicito A un livello implicito Trapezi 1/2 1 A due livelli semi-implicito

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta Heun 1/2 1 Eulero Modificato 1 1/2

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta Il massimo ordine di accuratezza p(M) raggiungibile con un metodo a M livelli varia in questo modo: Metodi espliciti Metodi impliciti M p(M) 1 2 3 4 5 6 7 8 p(M)=2M

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta Troviamo i coeff. per i metodi a due stadi espliciti imponendo un certo grado di accuratezza: Sviluppando k2 secondo Taylor arrestando al primo ordine: Qui risulta al secondo…

Metodi a un passo: Metodi Runge-Kutta Confrontando la formula precedente con il reale sviluppo di Taylor della formala arrestato al secondo ordine, troviamo le condizioni sui coefficienti: I coeff. dovranno compiere: Queste condizioni sono rispettate da Eulero Modificato e da Heun. Inoltre si vede α=β come avevamo giá detto.

Analisi dell’errore: Metodi Runge-Kutta L’errore di troncamento locale (errore locale di discretizzazione) indica l’errore all’integrare un passo tra due instanti di tempo…ora questo errore si propagherá al passo successivo sommandosi al seguente errore di integrazione. Errore locale di discretizzazione E’ utile definire ora l’errore di troncamento locale al passo n-esimo: Valori esatti !! In pratica l’errore che commetto integrando dal passo n a n+1, supponendo perfettamente conosciuta la soluzione al tempo n.

Analisi dell’errore: Metodi Runge-Kutta E’ chiaro che all’errore di trocamento locale al passo n, dovremo sommare l’errore commesso dalle precedenti integrazioni: Errore accumulato totale Soluzione esatta Errore di propagazione Errore di troncamento locale Stabilitá Consistenza Valore ottenuto dalle varie integrazioni Valore esatto

Analisi dell’errore: Metodi Runge-Kutta In generale per definire un metodo convergente si richiede che l’errore di troncamento locale tenda a zero al decrescere il passo di integrazione h (consistenza) e che l’errore di propagazione non si amplifichi passo dopo passo (stabilitá) . Convergenza = Consistenza + Stabilitá Se h é infinitesimo lo é anche l’errore di troncamento Gli errori non si amplificano al propagarsi

Analisi dell’errore: Metodi Runge-Kutta Diciamo che la consistenza é una condizione statica, che suppone la convergenza al diminuire il passo di integrazione h (ovvero che la nostra approssimazione migliori con un passo h piú piccolo). La stabilitá controlla la dinamica del nostro modello, in modo tale che errori successivi non portino a approssimazioni assolutamente erronee.

Stabilitá: Metodi Runge-Kutta In generale e’ difficile analizzare la stabilitá di un metodo, per questo ci limitiamo a una classe particolare di equazioni differenziali test: La cui soluzione generale é : Noi conisidereremo ovviamente le soluzioni stabili con alfa<0.

Stabilitá: Metodi Runge-Kutta Applichiamo ora per esempio il metodo di Eulero esplicito: Questa equazione alle differenze é stabile se: -2 -1 hα hβ Regione di assoluta stabilitá per il metodo di Eulero esplicito: Il passo h deve essere sufficientemente piccolo (dato un λ).

Stabilitá: Metodi Runge-Kutta Altre regioni di assolutá stabilitá: Eulero Implicito Trapezi

Stabilitá: Metodi Runge-Kutta Se le regioni di assoluta stabilitá contengono il semipiano α<0 allora il metodo si dice incondizionatamente stabile o assolutamente stabile poiché risulta stabile per tutti i λ della equazione test stabili, e per ogni passo h. I Metodi impliciti risultano migliori se si analizza la stabilitá. Pur essendo l’equazione test un caso particolare puó servire per studiare almeno localmente equazioni piú generali. Infatti intorno a un punto (tn,yn) possiamo linearizzare rispetto a y: