“Frazioni e numeri decimali: un percorso ricco di opportunità didattiche” Quarto incontro Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Un ottimo cocktail Carlo prepara un cocktail composto per metà da succo d’arancia, per un terzo da succo di pompelmo e per la parte rimanente da succo di limone. Indica con una frazione la parte di succo di limone ....................................... Rappresenta in modo opportuno la situazione sul tuo quaderno a quadretti 1 2 3 6 x 3 1 3 2 6 x 2 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

IL DERBY (IL DERBY PROBLEMI VARI DA "ULISSE" navigare nei saperi Editore ELMEDI) Nel derby del campanile lo stadio è pieno: 560 spettatori. I 3/6 sono tifosi della squadra delle Manguste e gli 11/22 sono tifosi della squadra dei Daini. C'è qualche spettatore che non tifa per nessuna delle due squadra? Perché? 3 6 1 2 : 3 11 22 :11 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

La sala dei draghi (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol La sala dei draghi (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 169 Nella terza sala Zefira fa appena in tempo a scorgere 6 orribili draghi, quando il guardiano le benda gli occhi. "Se indovinerai quante scaglie ha ciascun drago sulla coda potrai passare, altrimenti … i draghi ti ridurranno in cenere!" Risolvi anche tu, insieme a Zefira, l'indovinello completando le frasi successive. Le scaglie del primo drago sono i 3/5 di 15, cioè……… Le scaglie del secondo drago sono i 4/7 di 28, cioè…. Le scaglie del terzo drago sono i 5/8 di 64, cioè…. Le scaglie del quarto drago sono i 3/4 di 36, cioè… Le scaglie del quinto drago sono i 7/10 di 80, cioè… Le scaglie del sesto drago sono i 5/9 di 81, cioè… Zefira risponde correttamente e i draghi le lasciano attraversare la sala. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

La sala dei draghi (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol La sala dei draghi (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag.171) La porta si apre su …un baratro! C'è solo un filo perfettamente teso, che attraversa la sala da un capo all'altro. Sul filo, qua e là, sono appesi dei cartelli, su cui sono scritte delle frazioni. Il guardiano consegna a Zefira altri cartelli e le dice "Questo filo è come una linea dei numeri. Dovrai camminare sul filo, ma non preoccuparti: non cadrai, se procedendo, appenderai al posto giusto i cartelli che ti ho consegnato! I cartelli su cui sono scritte frazioni fra loro equivalenti vanno appesi uno sotto l'altro". Accompagna Zefira nella camminata sul filo e sostienila con il tuo aiuto. 2 8 9 16 5 8 3 4 7 8 6 8 16 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

La sala dei draghi (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol La sala dei draghi (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) 2 8 9 16 5 8 3 4 7 8 6 8 16 1 16 4 2 16 3 4 9 16 7 8 5 8 2 8 6 8 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

UN DOLCE PARTICOLARE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol UN DOLCE PARTICOLARE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 183 Per il cenone di San Silvestro, la mamma di Chiara vuole preparare una fonduta di cioccolato dove gli invitati intingeranno pezzetti di frutta. Per la fonduta occorre del cioccolato fondente, ma con un contenuto di cacao non troppo alto. Chiara ha il compito di acquistare il cioccolato. Al supermercato ne può scegliere tra tre qualità: una con il 74% di cacao, un'altra con il 60% di cacao e un'altra ancora con l'81% di cacao. Chiara decide di prendere il cioccolato che contiene la minore quantità di cacao. Quale tipo di cioccolato acquista Chiara? …………………………………………………….. Perché? ……………………………………………………………………………… Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

FRAZIONE DI UN TERRENO 6o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA I gennaio 1998 Giuseppe possiede un appezzamento di terreno a forma di quadrato e, poiché è un po' giocherellone, lo divide con rette passanti per i vertici o per i punti medi (cioè i punti di mezzo) dei lati del quadrato. Francesco riceverà in eredità la parte ombreggiata del terreno di suo padre Giuseppe. Quale frazione del terreno riceverà Francesco? Giustifica la tua risposta. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

FRAZIONE DI UN TERRENO 6o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA I gennaio 1998 Campo concettuale: Geometria: figure equivalenti, rette parallele, punti medi Aritmetica: frazioni Analisi del compito: Ricomporre le sei parti in un parallelogramma e in due triangoli rettangoli isometrici Trovare che l'area di ognuno di questi triangoli è un quarto di quella del quadrato, quindi l’area dei due triangoli è la metà di quella del quadrato Dedurre che l'area del parallelogramma è metà dell'area del quadrato Trovare quindi che la parte ombreggiata, essendo metà del parallelogramma, vale un quarto dell'area del quadrato Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

PER RIFLETTERE Liberamente tratto da: www.dm.unito.it/semdidattica/risonanze_LL.ppt Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Dal test d’ingresso per le 14 classi prime del a. s. 2006/2007 L’ area colorata, a che frazione della sagoma corrisponde? un quinto un sesto due terzi due noni Esempi su di un secondo argomento: le frazioni. Su 318 studenti hanno risposto correttamente in 98 (31%) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Cerchia la minore tra queste frazioni: 3/2 3/5 3/7 3/10 3/2 3/5 3/7 3/10 Cerchia la maggiore tra queste frazioni 3/10 1/5 6/5 6/120 Non hanno il concetto di frazione o non si ricordano come si effettua il confronto’ Su 318 studenti hanno risposto correttamente ad entrambe le domande in 117 (37%) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Su 318 studenti ha risposto correttamente il 55% Fra quale coppia di naturali è situata la frazione 9/4? tra 1 e 2 c) tra 3 e 4 tra 2 e 3 d) tra 4 e 5 Su 318 studenti ha risposto correttamente il 55% Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

ricevono ancor più sconcertanti risposte: Le domande aperte Qual è il doppio di 1/2 ? Qual è la metà di 1/4 ? ricevono ancor più sconcertanti risposte: Il doppio di ½ ? 1/4 2/4 La metà di 1/4 1/2 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Ma come si (ri)spiegano le frazioni ad un quindicenne? artigianato, senza supporto di un modello di riferimento il problema dell’intero, dell’unità…. le torte in fette, le strisce e le suddivisioni equivalenti…. come operatore: 3/5 di… e quando si arriva ad invocare la divisione , si scopre che non sanno più fare le divisioni e, forse, non ne conoscono il significato…… Molti confessano che è proprio dalle frazioni che hanno incominciato ad entrare in crisi. Si cerca di far emergere qualche ricordo. Nebbie loro e nebbie nostre, che non siamo attrezzati: salvo chi ha esperienze recenti con i propri figli, non sappiamo neppure in quale classe delle elementari si introducano le frazioni e con quali procedure. scarsi risultati Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Dopo 3 mesi di lavoro sui numeri… Colora i 3 /7 della figura data: Quale frazione della figura è colorata? Risultati nella mia classe prima , il 12 gennaio del 2006. Cosa permane del tentativo di recupero effettuato. No comment Su 27 studenti, rispondono correttamente ad entrambe in 18 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Su 27 studenti 4 rispondono correttamente a tutte le domande Quant’è il doppio di un sesto? ………… Quant’è la metà di un quinto? ………… A quanti sesti equivalgono due interi? ………. Quanti ottavi ci sono in un mezzo? ……….. Su 27 studenti 4 rispondono correttamente a tutte le domande Sommando i risultati parziali, la correttezza complessiva è del 37% Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Su 27 studenti 11 rispondono correttamente ad entrambe Quale dei seguenti numeri è compreso tra 2 e 3? 2/3 3/2 7/3 7/2 Tra quali interi è compreso il numero  7/4 ? tra  1 e 0 tra  2 e –1 tra –3 e –2 tra – 4 e –3 Su 27 studenti 11 rispondono correttamente ad entrambe Sommando i risultati parziali si arriva a al 44% di correttezza Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia della frazione (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera). Le origini della frazione si devono all'intersecarsi dei rapporti commerciali fra le più antiche civiltà che necessariamente portò all'uso dei sottomultipli delle unità di misura allora usate. Documenti storici attestano l'uso delle frazioni presso gli antichi Egizi nel XVII secolo a.C.. Simboli utilizzati nell'Antico Egitto per rappresentare le frazioni Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Per esempio per rappresentare 5⁄6 scrivevano 1⁄2 + 1⁄3. Essi conoscevano, per precisione, le unità frazionarie, che rappresentavano con il geroglifico di un quadrato avente al centro un cerchio (che significava « parte ») posto quale numeratore sopra al numero che indicava le parti. Gli egiziani rappresentavano le frazioni vere e proprie come somma di unità frazionaria. Per esempio per rappresentare 5⁄6 scrivevano 1⁄2 + 1⁄3. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Ancora frazioni egizie L'occhio di Horus Una leggenda egiziana narrava che "Seth aveva strappato a Horus l'occhio sinistro e glielo aveva ridotto in pezzi, ma Thot riuscì a ricomporlo". Il disegno, posto sopra, mostra quale frazione indica ogni parte dell'occhio di Horus. È possibile avere altre frazioni combinando queste parti, ad esempio 3/4 corrisponde alla parte dell'occhio che mostra metà più un quarto. Le frazioni ottenibili così sono solo alcune (ad esempio non si può ottenere 1/3) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Ancora frazioni egizie Un occhio intero rappresentava l'unità, ma..... Non avete notato nulla di strano? Se provate ad addizionare tutti i pezzi, vedrete che si ottiene 63/64 e non 64/64! Manca all'appello 1/64! Anche in questo caso, però, gli egiziani ci hanno dato una spiegazione: " l'1/64 mancante sarebbe comparso grazie a una magia di Thot." Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Il papiro di Rhind Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Il papiro di Rhind Il papiro di Rhind è il più importante documento egizio di matematica e risale al 1650 a.C. Dallo studio di questo famoso papiro, risulta che gli Egizi utilizzassero le frazioni per risolvere diversi problemi, tra i quali anche il calcolo dell’angolo da dare alle pareti delle piramidi. Sembra che un approfondimento in questo campo fosse stato necessario dopo il crollo di una piramide, dovuto a una errata inclinazione delle sue pareti. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Le frazioni romane I romani si limitarono a considerare le frazioni come parti delle unità di misura in uso, le quali venivano divise in 12, 144, 288, 576. Lo stesso fatto si ripeteva per le suddivisioni monetarie (a destra è raffigurata un moneta coniata in bronzo raffigurante l'imperatore Teodosio). Ecco un esempio di frazioni monetarie: AS = 1 uncia = 1/12 semuncia = 1/24 drachma = 1/96 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Nel Medioevo 4 f 9 = 4 s 9 = 4⁄9 che si leggeva quattro fratto nove; l'ultima scrittura si usa ancora adesso. La scrittura più usata ai nostri giorni (con linea orizzontale) e la lettura diversa del numeratore con un numero cardinale (quattro) e del denominatore con un numero ordinale (noni) si devono al matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci, vissuto tra il 1170 e il 1250 4 9 = « quattro noni » Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Ancora un po’ di storia Solo nel XVI sec. diviene di uso comune tra i matematici Sempre nel XVI sec. si presta attenzione alle frazioni decimali come numeri con virgola a opera del fisico Stevino. Per Euclide (300 a.C.) il simbolo frazione era usato solo per esprimere il rapporto tra grandezze geometriche. Nell’ Antico Egitto e in Mesopotamia la frazione era usata per esprimere una parte di una grandezza. Questo significato è stato quello prevalente fino a tempi recenti. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Ancora un po’ di storia L’interpretazione della frazione come operatore su grandezze risale al XIX sec. In tale secolo sono stati elaborati i principi fondamentali di una teoria delle grandezze. L’introduzione formale dei numeri razionali come “ coppie ordinate di numeri naturali ” , coppie definite a meno di una relazione di equivalenza, può essere fatta risalire alla prima metà del XIX sec. per opera di Hamilton. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

I numeri decimali O,678 1,07 O,5 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

LA SCRITTURA CON VIRGOLA (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 186 Se si ammette come operazione che dà luogo a nuove unità del sistema di numerazione non solo il raggruppamento per dieci, ma pure la divisione iterata per dieci dell’unità fondamentale, si ha la possibilità di scrivere in forma decimale anche i numeri razionali assoluti. Tra i numeri razionali assoluti sono particolarmente importanti per le loro applicazioni reali nelle misure, nel sistema monetario, … i cosiddetti numeri decimali, ossia i numeri razionali assoluti che possono essere espressi con un numero finito di raggruppamenti o di divisioni per dieci dell’unità fondamentale. Se si definisce frazione decimale una frazione che ha come denominatore una potenza di dieci, si ha che un numero razionale è decimale quando può essere rappresentato con una frazione decimale. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

LA SCRITTURA CON VIRGOLA (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 186 Esempio 1/10 è l’unità frazionaria di un ordine inferiore rispetto all’unità semplice ed è detta decimo (simbolo d); Per es: se l’unità semplice è il metro si ha: 1 decimo di m dm decimetro 1/100 è l’unità frazionaria di due ordini inferiore rispetto all’unità semplice ed è detta centesimo (simbolo c); 1/1000 è l’unità frazionaria di tre ordini inferiore rispetto all’unità semplice ed è detta millesimo (simbolo m). Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Osservazione… " 3,50 che cosa?" Si rammenta loro che come quando scrivono un numero naturale, ad es. 13, "senza marca" intendono 13unità (13u), così quando scrivono un numero con la virgola, ad es.3,50 "senza marca" devono leggerlo come 3,50 u, cioè 3unità, 5decimi e 0centesimi. In ambedue i casi la marca "u" non viene scritta ed è l'unica marca che può anzi deve, per convenzione, essere tralasciata. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

LA SCRITTURA CON VIRGOLA (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) Si dimostra che ogni numero decimale può essere scritto come successione di cifre, poste da sinistra a destra in modo decrescente rispetto all’ordine di grandezza della relativa unità; in tale successione il segno grafico che separa le unità semplici da quelle frazionarie è, comunemente, una virgola. Esempio Il numero decimale 2678/100 può essere scomposto come 2678/100 =2000/100 + 600/100 + 70/100 + 8/100 2678/100 = 20 + 6 + 7/10 + 8/100 2678/100 = 2 da + 6 u + 7 d + 8 c 2678/100 = 26,78 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

ITINERARIO DIDATTICO I NUMERI DECIMALI 8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola. 8.1.1 I numeri decimali tra 0 e 1 - formalizzazione della scrittura con la virgola - confronto e ordinamento 8.1.2 I numeri decimali maggiori di 1 8.1.3 Posizione della virgola e valore del numero 8.2 Operazioni con i numeri decimali. Approssimazione e arrotondamento 8.2.1 Esecuzione di addizioni e sottrazioni 8.2.2 Esecuzione di moltiplicazioni 8.2.3 Esecuzione di divisioni 8.3 Consolidamento del significato dei numeri decimali e delle loro operazioni 8.3.1 Esecuzione di esercizi relativi ai numeri decimali 8.3.2 Risoluzione di problemi relativi ai numeri decimali Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola numero razionale decimale può essere rappresentato con una frazione decimale. una frazione che ha come denominatore una potenza di dieci. frazione decimale Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola Esempio Le frazioni 7/10, 3/100, 21/1000 sono decimali e indicano che le unità semplici sono state divise per dieci, rispettivamente, una, due e tre volte. I numeri razionali rappresentati da queste frazioni sono, allora, numeri decimali finiti. 7 10 3 100 21 1000 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola Esempio 2) Le frazioni 7/5, 3/4, 9/250 non sono decimali, ma sono equivalenti a frazioni decimali: 7 5 14 10 x 2 9 250 36 1000 x 4 3 4 75 100 x25 Dato che un numero razionale può essere rappresentato da una qualsiasi delle frazioni che appartengono alla classe di equivalenza ad esso associata, anche i numeri indicati dalle frazioni 7/5, 3/4, 9/250 sono decimali finiti. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola Esempio 3) La frazione 35/28 non è decimale; essa, però, è equivalente alla frazione ridotta 5/4 che a sua volta è equivalente alla frazione decimale 125/100: 35 28 5 4 : 7 125 100 x25 Ne segue che il numero individuato dalla frazione 35/28 è decimale finito. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola Esempio 4) La frazione 4/14 non è decimale; essa è equivalente alla frazione ridotta 2/7 che, però, non è equivalente ad alcuna frazione decimale, in quanto i multipli del denominatore ammettono tutti come divisore 7, che non divide le potenze di 10. 4 14 2 7 : 2 Le frazioni non decimali né equivalenti a frazioni decimali sono dette frazioni ordinarie. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

8.1 Dalle unità frazionarie decimali alla scrittura con virgola Esempio 5) Se si assumono come unità fondamentali le unità semplici u il numero razionale rappresentato dalla frazione 32/10 corrisponde a 3 unità semplici e 2 decimi di unità semplice, quindi può essere scritto con la successione 3,2 u nella quale la virgola separa le unità semplici da quelle frazionarie. 32 10 = 3u + 2du = 3,2u La virgola separa, dunque, due numeri naturali: quello che, da sinistra, precede la virgola è il numero di unità fondamentali, quello che segue la virgola è il numero di unità frazionarie decimali rispetto all’unità fondamentale Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

I NUMERI RAZIONALI NON DECIMALI non possono essere associati a frazioni decimali possono essere espressi con frazioni ordinarie Esempio 1) Per determinare la scrittura con virgola del numero razionale 13/6 si esegue la divisione di 13 con 6, proseguendola anche sulle unità frazionarie decimali: Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

I NUMERI RAZIONALI NON DECIMALI Esempio 1) Per determinare la scrittura con virgola del numero razionale 13/6 si esegue la divisione di 13 con 6, proseguendola anche sulle unità frazionarie decimali: 1 3 : 6 = 2 , Il secondo resto parziale, il numero 4, si ripete anche come terzo resto per cui, nel quoziente, dalla seconda cifra della parte decimale si ripete indefinitamente il 6. Si ha: 4 13 / 6 = 2, 1 6. .. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

I NUMERI IRRAZIONALI I numeri irrazionali non corrisponde alcuna scrittura frazionaria Esempio  ottenuto dal rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del relativo diametro, 2 che esprime il rapporto tra la lunghezza della diagonale e quella del lato di un quadrato. I numeri irrazionali ammettono una scrittura con la virgola illimitata e non periodica Tali numeri, dunque, non possono essere descritti completamente e vengono approssimati con numeri decimali. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1 8.1.1 I numeri decimali tra 0 e 1 formalizzazione della scrittura con virgola confronto e ordinamento SUGGERIMENTO DIDATTICO Introdurre i numeri decimali e la loro scrittura con la virgola a partire da situazioni problematiche relative alla misura di grandezze, per esempio di lunghezza. Infatti, il sistema metrico in uso è proprio di tipo decimale, quindi consente di interpretare la costruzione delle unità frazionarie su unità “concrete” come il metro Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1 0,5 m 0,5 ESEMPIO I 5 decimi sono riferiti al metro, che può essere concretamente stato diviso in dieci parti uguali, cioè in decimi. Troppo astratto 0,5 Nella scrittura 0,5 può essere difficoltoso comprendere il ruolo dei 5 decimi, dato che non vi è l’indicazione esplicita dell’intero che viene diviso in dieci parti uguali. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Suddividere una striscia di carta lunga un metro in dieci parti uguali I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1 ATTIVITÀ PER LA COSTRUZIONE DEI NUMERI DECIMALI Suddividere una striscia di carta lunga un metro in dieci parti uguali Denominare ciascuna delle parti ottenute come “un decimo” della striscia (decimetro) Far misurare con i decimetri lunghezze minori di 10 dm Registrare le misure nella seguente tabella Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

ATTIVITÀ PER LA COSTRUZIONE DEI NUMERI DECIMALI dm 3 8 - Quanti metri abbiamo usato? - Quanti decimetri abbiamo usato? 3 Utilizzare come unità di misura principale il metro, può portare a codificare come 03 m, 08 m Si farà riflettere sul fatto che lo 0 davanti ad un numero naturale può essere omesso, per cui si arriva a scrivere 3 m, 8 m che sono lunghezze evidentemente sbagliate, dato che non è neppure stato utilizzato un metro “intero”. Si è, dunque, di fronte ad una nuova situazione nella quale lo 0 iniziale è importante, non può essere trascurato perché dice quante “unità intere” sono state utilizzate. Per separare queste unità da quelle che sono state ottenute per loro suddivisione si introduce la virgola, si scrive cioè 0,3 m e 0,8 m. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

“Frazioni e numeri decimali: un percorso ricco di opportunità didattiche” Quinto incontro Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

0,5 dau (dam – dal – dag…) 0,5u (m – l – g…) I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1 0,5 dau (dam – dal – dag…) RIFLETTIAMO 0 decine e 5 decimi di decina (unità semplici) 0,5u (m – l – g…) 0 unità e 5 decimi di unità (decimi) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

PARTI UGUALI PER DECORARE pag. 196 I NUMERI DECIMALI TRA 0 E 1 PARTI UGUALI PER DECORARE pag. 196 La maestra deve preparare alcune tessere per realizzare alcuni motivi per decorazioni con la tecnica del collage. Ha a disposizione alcuni cartoncini colorati suddivisi in 10 parti uguali come vedi nei disegni qui sotto riportati. …. Ogni parte di cartoncino rappresenta dell’intera striscia. Per costruire anche tu un collage, ritaglia le tessere secondo le indicazioni. Ogni volta dovrai utilizzare: Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

PARTI UGUALI PER DECORARE 7 10 A dell’intera striscia 6 10 B dell’intera striscia 9 10 C dell’intera striscia In una scuola, con alcuni decimi della striscia B è stato costruito questo motivo da decorazione. D Quanti decimi della striscia sono stati utilizzati?…………… Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

PARTI UGUALI PER DECORARE pag. 197 Usa come unità di misura questo segmento che rappresenta la lunghezza della striscia e colloca nei cartellini le frazioni con cui hai operato. D B A C 4 10 6 10 7 10 9 10 1 Quanti decimi avresti dovuto utilizzare per usare l’intero segmento? Aggiungi sul segmento il cartellino con la frazione corrispondente all’intero, e chiama E il punto da te individuato. Cosa noti in questa frazione? ……………………………………………………………………………… Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

PARTI UGUALI PER DECORARE pag. 205 - Riporta nella tabella i dati relativi ad ogni frazione. In lettere In forma di frazione Unità Decimi di unità A sette decimi 7 B ………….. ….. C D E 7 10 Dieci decimi 1 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI Usando il righello, suddividi ogni segmento in 10 parti uguali. Ogni parte rappresenta ……… del segmento. A partire da 0 u, evidenzia ogni volta la parte corrispondente a ciò che trovi nella tabella. ……… 10 0,9 6 2 8 0,3 0,5 1 7 0,4 4 Numero decimale d u In forma di frazione 0u 1u Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

L’ EURO E I SUOI SPICCIOLI pag.219 Collega ogni valore scritto in cifre con il relativo nome e la moneta corrispondente. € 0,05 € 0,10 € 0,50 € 0,01 € 0,20 20 centesimi di euro 2 decimi di euro 1 decimo di euro 1 centesimo di euro 50 centesimi di euro 10 centesimi di euro 5 centesimi di euro 5 decimi di euro 2 centesimi di euro € 0,02 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

CHI COMPRERÀ IL GELATO? pag.219 € 0,80 Soldi di Andrea: €…. € 0,73 Soldi di Simone: €…. € 0,84 Chi può comperare un gelato? ……..……………………… Quanti centesimi mancano al bambino che non ha potuto comperare il gelato? Mettendo insieme i soldi di Andrea e Simone, si possono comperare due gelati?……Perché?……………………………………………… Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

ACQUISTI CONVENIENTI pag.220 Dopo aver scritto il costo di ogni oggetto, scegli fra i due simili quello più conveniente, segnandolo con una crocetta. Scrivi la relazione fra i due numeri come nell’esempio € 0, 60 € …….. 0,60 < 0,72 …… … ….. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Sistema monetario europeo x 2 x 5 2 MONETE Il valore minore è 1 centesimo di euro 1 cent 5 10 20 50 100 200 € 1 € 2 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Sistema monetario europeo BANCONOTE Il valore minore è 5 EURO x 2 10 20 x 5 100 200 50 500 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

QUAL È IL COLMO PER UN MATEMATICO? Nelle caselle vuote, riscrivi in ordine crescente i numeri decimali di ogni riga, con le corrispondenti lettere: scoprirai il colmo! A 0,5 E 1 D 0,41 R 0,8 M 0,2 0,4 0,21 U 0,14 N 0,12 I 0,54 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

GARA DI TUFFI pag.247 Atleti punteggi Rossi 93,60 Guidi 103,60 Carli Oggi il Signor Giorgetti vuole accompagnare suo figlio Alessandro a vedere una gara di tuffi, ma per improvvisi impegni di lavoro arrivano in ritardo e riescono a vedere solo la terza serie di tuffi. Nei primi due tuffi gli atleti hanno ottenuto i seguenti punteggi: Dopo due tuffi, chi è in testa alla classifica e con quanti punti? ………………con punti………….. Dopo due tuffi, chi è il secondo classificato e Dopo due tuffi, chi è ultimo in classifica e Qual è la differenza di punteggio tra il primo e il secondo in classifica? …………………………………………………………… e l'ultimo in classifica? ……………………………………………………………… Atleti punteggi Rossi 93,60 Guidi 103,60 Carli 90,81 Alberti 103,40 Volpini 103,04 Cerini 103,00 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

LE OLIMPIADI INVERNALI pag.247 Durante le Olimpiadi invernali si svolgono le gare di pattinaggio artistico, alle quali partecipa anche l’atleta italiana Bianca Volteggi. Scopri i punteggi che i 7 giudici, contrassegnati dalle lettere A, B, C, D, E, F, G, hanno assegnato alla pattinatrice italiana Bianca Volteggi, seguendo le seguenti indicazioni. Devi sapere che i giudici possono attribuire un punteggio da 6 a 10 utilizzando anche i decimi Riporta poi i risultati in tabella e calcola il punteggio totale della pattinatrice Bianca Volteggi. Il giudice A ha assegnato un punteggio pari a 8 unità e 6 decimi Il giudice B ha assegnato un punteggio pari a 79 decimi Il giudice C ha assegnato un punteggio pari a 9 unità Il giudice D ha assegnato un punteggio di 2 decimi inferiore a quello del giudice C Il giudice E ha assegnato un punteggio maggiore di quello del giudice D e minore di quello del giudice C Il giudice F ha assegnato un punteggio di un decimo superiore a quello più basso assegnato finora Il giudice G ha assegnato un punteggio pari a 8 unità e 13 decimi. A B C D E F G Tot. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Scrivi in tabella la classifica. Alla fine della semifinale i punteggi ottenuti dalle pattinatrici, per le loro nazioni, sono i seguenti: Scrivi in tabella la classifica. NAZIONI PUNTI FRANCIA 60,2 GERMANIA 59,2 ITALIA 60,5 AUSTRIA 59,9 GIAPPONE 60,9 CROAZIA 61,1 STATI UNITI 60,4 INGLILTERRA 59,3 FINLANDIA 61,0 SVEZIA 60,1 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

RICOSTRUISCI LA BANCONOTA pag.333 Arrotonda le cifre al centesimo. Ritaglia e incolla le parti del puzzle sul corrispondente numero che hai trovato 7,481 0,137 1,101 40,429 138,768 270,017 19,624 72,777 0,009 2,197 936,272 138,999 1936,271 1936,176 8,703 1002,098 …………. 7,48 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

RICOSTRUISCI LA BANCONOTA Arrotonda le cifre al centesimo. Ritaglia e incolla le parti del puzzle sul corrispondente numero che hai trovato Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

INDOVINA CHI pag.331 PRIMO INDIZIO Marco e Giovanni stanno giocando ad indovinare i numeri pensati. Ora “tocca” a Marco indovinare il numero pensato da Giovanni in base a questi indizi. PRIMO INDIZIO Lo puoi trovare numerando per 0,02 partendo da 1,92 fino a 2,10. Può essere: 1,92 …… …… …… …… ……. …… …… ……. ……. SECONDO INDIZIO La cifra dei decimi è 0 Può essere: ……. ……. ……. ……. …….. TERZO INDIZIO Se lo dividi per 3 il resto della divisione è 0 Allora è: ………. 1,94 1,96 1,98 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,04 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE pag. 341 Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero intero di 3 cifre. Se dividi la mia parte intera per 2 ottieni 4. La cifra dei centesimi è 1/3 di 9. La somma dei numeri rappresentati dalle mie cifre è 15. Che numero sono? 8,43 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE pag. 341 Sono compreso tra 20 e 30 La cifra delle unità è il doppio della cifra delle decine Se mi moltiplichi per 10 ottieni un numero intero La parte decimale è formata da due cifre. Il numero rappresentato dalla cifra dei decimi corrisponde ad 1/3 della parte intera. Che numero sono? 24,80 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

NUMERI DECIMALI DA SCOPRIRE pag. 341 Se mi moltiplichi per 100 ottieni un numero intero di 5 cifre. Se dividi la mia parte intera per 10 ottieni ancora un numero intero. Sono compreso tra 2 centinaia e 3 centinaia. La cifra dei centesimi è 1. Il numero che occupa il posto delle decine è il triplo del numero che rappresenta i decimi. La somma dei numeri rappresentati dalle mie cifre è 15. Che numero sono? 290,31 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

GITA SCOALSTICA La scuola organizza una gita. Gli alunni che partecipano sono 30. La spesa è di 200 euro. Qual è la quantità di denaro minima che deve portare ciascun alunno in modo che sia coperta la spesa, e in modo che non si usino monete da 1 e 2 centesimi? (A) 7 euro  (B) 6 euro 60 cent.  (C) 6 euro 65 cent. (D) 6 euro 67 cent.  (E) 6 euro 70 cent. Scrivi il ragionamento che hai seguito. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

GITA SCOALSTICA (soluzione) Si potrebbe arrivare alla risposta nel modo che segue: (A) 7 euro 0 cent. 7x30 + 0x30 = 210 (B) 6 euro 60 cent. 6 x 30 + 0,60 x 30 = 180 + 18 = 198 (C)6 euro 65 cent 6 x 30 + 0,65 x 30 = 180 + 19,50 = 199,50 trascuriamo il punto (D) che implica l’uso di 2 centesimi 6 euro 70 cent. 6x30 + 0,70 x30 = 180 + 21 = 201 Oppure trasformare (A), (B), (C), (E) in numero decimale e poi moltiplicare ciascun numero per 30 Naturalmente vi sono altri modi di procedere per risolvere il problema. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

GITA SCOALSTICA varianti Cambierebbe la risposta se potessimo usare anche monete da 2 centesimi? Scrivi il ragionamento che fai. Quale procedimento seguiresti per rispondere alla domanda se non ti fossero date le risposte (A), (B), (C), (D), (E) e 2 a) non fossero ammesse le monete da 1 e 2 centesimi? Scrivilo. 2 b) fossero ammesse le monete da 2 centesimi? Scrivilo. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

GITA SCOALSTICA varianti (soluzione) Se potessimo usare monete da 2 cent. dovremmo considerare anche il punto (D): 6 euro 67 cent. 6 x 30 + 0,67 x 30 = 180 + 20,10 = 200,10 Il punto (D) sarebbe allora la soluzione richiesta. Se manca la risposta multipla la via più semplice da seguire è fare la divisione 200:30 che, per la proprietà invariantiva della divisione, equivale a: 20 : 3 = 6, 6666... 2 a) se non ho i 2 cent. devo arrotondare a 6,70 2 b) se ho i 2 cent. arrotondo a 6,67 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Approssimazione e arrotondamento (esercizi) Chi ha ragione? Mario e Giorgio stanno ...... discutendo sul problema che segue: " Il quoziente, approssimato ai centesimi, della divisione di 435,67 per 18 è 34,20." Mario è convinto che il quoziente sia sbagliato, per Giorgio invece non ci sono errori. Chi ha ragione?...... Perchè?.................................................. Calcola il quoziente e il resto della divisione di 435,67 per 18: Il quoziente è .................................... Il resto è ............................................ Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Approssimazione e arrotondamento (soluzione) Mario ha ragione perché 18x30 = 540 > 435,67 quindi 18x 34,20 non può dare un prodotto minore di 540. 435,67 - 24,20x18= 435,67 - 435,60 = 0,07 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Approssimazione e arrotondamento (esercizi) Alla ricerca del dividendo Un numero è stato diviso per 138. Il quoziente di questa divisione, approssimato ai centesimi, è 32, 65 e il resto 47 centesimi Qual è il numero? ................................................ Ti sembra un risultato ....... ragionevole? Sì, No Perché?............................................................................................................................................. Controlla se hai lavorato bene facendo la divisione Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Approssimazione e arrotondamento (soluzione) 138x32,65 + 0,47 = 4 505,70 + 0,47 = 4506,17 Il risultato sembra ragionevole perché 140x30 = 4200 4506,17 138 366 32,65 901 737 47 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Combinazione di cifre (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 242 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) Utilizzando tutti i 4 simboli, ciascuno una sola volta, scrivi: Il numero maggiore possibile:…… Il numero minore possibile:……. Combinando opportunamente queste simboli scrivi tutti i numeri maggiori di 2. …………………………………… 1 2 3 , Utilizzando tutti i 4 simboli, ciascuno una sola volta, scrivi: Il numero maggiore possibile:…. Il numero minore possibile:….. Combinando opportunamente queste simboli scrivi tutti i numeri maggiori di 3. …………………………………… , 3 1 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Numeri a confronto (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol Numeri a confronto (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 243 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) Completa con il simbolo o il numero mancante 2,34 2,35 2,09 > < 9,7 9,1 2,4 2,5 = 5,2 Completa a tuo piacere 27,8 2..,.. < ..,48 5,38 2,7.. ..,..5 = 5,..7 ..,6.. 4,..9 4,.. .. 5,.. .. ..,5.. > Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

VIRGOLA DOVE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag VIRGOLA DOVE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 250 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) t4 t3 km hm dam m dm cm mm s t2 t2 a t1 t1 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

VIRGOLA DOVE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag VIRGOLA DOVE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 250 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) In un cartoncino C, avente per dimensioni circa quelle di metà foglio A4 , sono stati fatti quattro fessure t1 e t2 orizzontali, t3 e t4 verticali, come in figura. La striscia compresa tra t1 e t2 è stata divisa in undici colonne uguali . L'asticciola a ( chiusa ad anello), di colore diverso dal cartone, scorre nelle fessure t1, t2 : la sua posizione indica la posizione della virgola nel numero. Sono state preparate quattro strisce, come la s, da infilare nelle fessure t3 e t4 . Ciascuna striscia è divisa in undici colonne larghe come quelle disegnate sul cartoncino e riporta uno dei seguenti gruppi di unità: Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Mg hkg dakg kg hg dag g dg cg mg hl dal l dl cl ml Mu hku daku ku hu le unità di lunghezza ( come in figura) le unità di peso (Si ricorda ai colleghi che nel nuovo Sistema Internazionale di misura (SI) il Megagrammo (Mg) è la tonnellata (t, ancora ammessa) mentre il quintale, come nome e come simbolo (q), è stato eliminato. Mg hkg dakg kg hg dag g dg cg mg le unità di capacità hl dal l dl cl ml le unità, decine e centinaia semplici, le unità, decine e centinaia di migliaia, .... i decimi, centesimi e millesimi di unità semplici Mu hku daku ku hu dau u du cu mu dmu Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

VIRGOLA DOVE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag VIRGOLA DOVE (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 pag. 250 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) Su un foglio di carta sottile, fatto passare sotto l'asticciola a e fissato ai bordi laterali del cartoncino con due graffette, si scrivono i numeri dati e spostando l'asticciola a si eseguono le equivalenze. Il passaggio da un numero con la virgola riferito ad una misura, al numero "senza marca" deve essere spiegato con molta attenzione. Se, dopo poco tempo, le scritture 3,50m 3,50kg 3,50 dl sono chiare per quasi tutti gli allievi , che senso ha per gli stessi la scrittura 3,50? " 3,50 che cosa?" Si rammenta loro che come quando scrivono un numero naturale, ad es. 13, "senza marca" intendono 13unità (13u), così quando scrivono un numero con la virgola, ad es.3,50 "senza marca" devono leggerlo come 3,50 u, cioè 3unità, 5decimi e 0centesimi. In ambedue i casi la marca "u" non viene scritta ed è l'unica marca che può anzi deve, per convenzione, essere tralasciata. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Pillole di storia sui... numeri decimali O,678 1,07 O,5 Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali A noi sembra semplice pensare a = 0,5 ma non è stato sempre così: la rappresentazione decimale delle frazioni è stata “inventata” di recente, circa cinque secoli fa. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali Nel XVI secolo troviamo ancora i contabili alle prese con il calcolo delle frazioni, che richiede un addestramento particolare e quindi non è alla portata di tutte le persone che devono eseguire calcoli tecnici, commerciali … Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali Si lotta per la libertà religiosa e di pensiero Si scoprono terre nuove In questo stesso periodo stanno avvenendo profonde trasformazioni Si sviluppano nuove tecnologie (stampa, polvere da sparo, partita doppia nella contabilità ….) Si sente quindi la necessità di snellire i calcoli per migliorare il commercio Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali Simone Stevino Simone Stevino , noto anche come Simon Stevin o Simone di Bruges, (Bruges, 1548 – L'Aia, 1620) è stato un ingegnere e fisico belga, pre-galileiano. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali Nel suo trattato “LA DISME” (la decima), pubblicato nel 1585, propose un sistema di scrittura dei numeri frazionari basato su una particolare scrittura delle frazioni decimali (cioè aventi denominatore 10 o 100 o 1000….) già usata da altri matematici. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali 1 e 3/5 diventa 1 e 6/10 che Stevino scrive 1(int) 6(dec) 2 e 3/4 diventa 2 e 75/100 che Stevino scrive 2(int) 7(dec) 5(cent) 2 e 1/3 diventa 2 e 3/10 e 3/100 e 3/1000……. che Stevino scrive 2(int) 3(dec) 3(cent) 3(mil)….. Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali Stevino in una successiva edizione de “LA DISME” rese le sue notazioni più efficienti: 6 e 35/100 : 6(0) 3(1) 5(2) ….ed infine in poche decine di anni si arrivò a notazioni simili alle nostre: 6 e 35/100: 6,35 (nei Paesi Anglosassoni si scrive 6.35) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

Storia dei numeri decimali 100 a.C.-300 d.C I Cinesi usano il sistema di numerazione decimale. Va ricordato che il matematico arabo Al-Uglidisi nell’opera Capitoli sull’aritmetica indiana, scritta a Damasco nel 952-53 d.C., aveva già parlato dei numeri decimali Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

NUMERI DECIMALI FINITI NUMERI DECIMALI ILLIMITATI I numeri con la virgola NUMERI DECIMALI FINITI NUMERI DECIMALI ILLIMITATI la parte a destra della virgola è un numero formato da un numero finito di cifre (3,5; 0,632; 45,2578; ecc.) la parte a destra della virgola è un numero formato da un numero infinito di cifre ( 8,97351....; π ; ecc ) Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015

I numeri illimitati PERIODICI NON PERIODICI un gruppo di cifre della parte decimale si ripete indefinitamente 3,212121... ; 5,8277777... π , le radici ennesime dei numeri che non sono potenze ennesime, ecc Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2015