Il gravitomagnetismo e la sua misura

Analogie tra gravità ed elettromagnetismo Forza di gravità Forza elettrostatica f = -Gm1m2r/r3 f = q1q2r/4pe0r3 Raggio d’azione infinito Raggio d’azione infinito Agisce nel vuoto Agisce nel vuoto Campo gravitazionale Campo elettrostatico Teorema di Gauss f = -4pGmint Teorema di Gauss f = qint/e0 Campo conservativo Campo conservativo L’informazione viaggia a velocità c L’informazione viaggia a velocità c

Differenze tra gravità ed elettromagnetismo Forza attrattiva tra masse dello stesso segno Forza elettrostatica attrattiva tra cariche di segni opposti Non esistono masse negative La carica elettrica può essere positiva o negativa m=gm0 Carica elettrica: invariante Nessuna analogia in elettromagnetismo E=mc2 Nessuna analogia in elettromagnetismo mP/mi = mA/mi = cost Spin gravitone = 2 Spin fotone = 1

Il movimento di cariche genera il campo magnetico: esiste l’analogo gravitazionale nel caso in cui sono le masse a muoversi?

Teoria gravitoelettromagnetica Gmn=8pGTmn/c4 gmn=hmn+hmn Piccola perturbazione |hmn|<<1 diag (1,-1,-1,-1) h*mn=hmn-1/2(hmnh); h=haa Negli ambienti astrofisici in cui si eseguono test sulla RG è un’approssimazione lecita (tranne, marginalmente, per PSR 1913+16) Gauge di Lorentz: h*mn,n =0 Espansione in serie di potenze di h*mn delle equazioni di Einstein e troncamento al primo ordine Dal(h*mn)=16pGTmn/c4 Dal(Am)=4pjm

Teoria gravitoelettromagnetica Soluzione di in h*mn termini di potenziale ritardato h*mn=-4G/c4∫d3x’Tmn(t-|x-x’|/c,x’)/|x-x’| Le soluzioni che ci interessano sono quelle con: |h*00|>>|h*ij|, |h*0i|>>|h*ij| h*00=4f/c2; h*0l=-2Al/c f=-GM/r Al=GJixkelik/(cr3) Potenziale gravitoelettrico (Newtoniano) Potenziale vettore Ji=2∫d3x’eijkx’jTk0/c Momento angolare totale

Teoria gravitoelettromagnetica Riscriviamo la condizione di gauge in funzione dei due potenziali f ed A ∂f/c∂t+1/2(div(A))=0 Analoga alla gauge di Lorentz dell’elettromagnetismo a meno di un fattore 1/2 nel secondo termine Il fattore 1/2 si ripresenta in tutte le equazioni Fotone Spin=1 Gravitone Spin=2

Teoria gravitoelettromagnetica Infine ricaviamo il campo gravitoelettrico (EG) e il campo gravitomagnetico (BG) dai potenziali EG=-div(f)-∂A/2c∂t; BG=rot(A) E le equazioni di Maxwell per il gravitoelettromagnetismo div(EG)=-4pGr; div(BG)=0 rot(EG)=-∂BG/2c∂t; rot(BG)=2(∂EG/∂t-4pGj)/c con r=T00/c2; ji=Ti0/c Usando l’equazione delle geodetiche si ricava la Forza di Lorentz per il gravitoelettromagnetismo (velocità non relativistiche, campi statici) dv/dt=EG+vxBG/2c

Abbiamo ora tutti gli strumenti teorici per studiare gli effetti del gravitomagnetismo (Lense-Thirring e clock effect) Per quanto riguarda l’effetto Lense-Thirring, è importante ricordare il Principio di Mach: fu cercando di inserire questo principio nell’ambito della Relatività Generale, che tale effetto fu scoperto Principio di Mach: L’inerzia di un corpo è determinata da “un qualche tipo di interazione” con gli altri corpi dotati di massa

Effetto Lense-Thirring Conseguenza del Principio di Mach: trascinamento di corpi vicini da parte di un corpo massivo che si muove Nell’ambito della Relatività Generale… Trascinamento del sistema di riferimento => Precessione dell’orbita di un corpo che ruota attorno al corpo centrale (effetto Lense-Thirring)

Effetto Lense-Thirring Metrica nelle vicinanze di un corpo in rotazione; campo debole, velocità non relativistiche ds2 = (1-2GM/rc2)c2dt2 - (1+2GM/rc2)dr2 – r2dq2 – r2sin2qdf2 + (4GMasin2q/rc)dtdf a = J/Mc Si cerca l’espressione del campo gravitomagnetico ottenendo BG = -(4G/c)(3r(r ∙ J) – Jr2 )/2r5 Momento delle forze applicato al momento angolare del corpo orbitante t = (L/2c)xBG Momento di dipolo gravitomagnetico

Effetto Lense-Thirring Si usano le equazioni perturbative degli elementi orbitali di Gauss e di Lagrange per ricavare i rate di variazione della longitudine del nodo e della distanza del pericentro dal nodo in funzione degli elementi orbitali dWLT/dt = 2GJ/(ca3(1-e2)3/2 dwLT/dt = -6GJcosi/(ca3(1-e2)3/2 Effetto misurato dai satelliti LAGEOS e da Gravity Probe B

Effetto Lense-Thirring (LAGEOS) I LAGEOS sono satelliti passivi (nessun propulsore)

Effetto Lense-Thirring (LAGEOS) Caratteristiche dei satelliti LAGEOS LAGEOS LAGEOS II Diametro [cm] 60 Massa [Kg] 406,965 405,38 Numero CCR 426 (422 in silicio, 4 in germanio) a [m] 1,2286*107 1,2155*107 e 0,0045 0,0135 i [°] 109,84 52,64 h [m] 5,86*106 5,62*106 P [min] 225 223 n [rad/s] 4,654*10-4 4,696*10-4 dW/dt [°/d] 0,34266 -0,62576641 dw/dt [°/d] -0,21338 0,44470485 Rate di precessione totali (si tiene conto di tutti gli effetti, non solo del Lense-Thirring)

Effetto Lense-Thirring (LAGEOS) Per stimare l’entità dell’effetto Lense-Thirring si esegue il tracciamento dei satelliti SLR: Satellite Laser Ranging, misura della distanza attraverso una misura di tempo CCR: Cube Corner Retroreflector Incertezza: circa 2 cm

Effetto Lense-Thirring (LAGEOS) Calcolo dei residui Il software GEODYN II calcola la posizione teorica dei satelliti (senza tener conto dell’effetto Lense-Thirring) e ne fa la differenza con i dati sperimentali I residui saranno dovuti all’effetto Lense-Thirring, proprio perché l’unico non tenuto in considerazione, e ad incertezze o errori nella conoscenza dei dati teorici

Effetto Lense-Thirring (LAGEOS) Fondamentale la conoscenza dello sviluppo in armoniche sferiche del potenziale gravitazionale JGM-2, JGM-3, EGM96, GEMT1, GEMT2, GEMT3, GEMT3S, altri Degree variance Cl2=Sm(Clm2+Slm2)/(2l+1) Coefficienti delle armoniche sferiche Regola di Kaula (andamento teorico della degree variance per la Terra) Cl2=0,7*10-10/l4 Si confronta l’andamento della degree variance per i vari modelli con l’andamento previsto dalla regola di Kaula

Effetto Lense-Thirring (LAGEOS) Fondamentale la conoscenza di tutti gli effetti perturbativi Effetti gravitazionali Effetti non gravitazionali Moti della Terra Pressione di radiazione solare diretta e indiretta (albedo terrestre) Variazione nei coefficienti delle armoniche sferiche Precessione dell’asse di rotazione Effetto Yarkovsky-Schach (diurno) e Yarkovsky-Rubincam (stagionale) Maree solide e oceaniche Nutazione Perturbazioni lunisolari e planetarie Asimmetria riflettiva Moto del polo Drag da parte di particelle neutre e cariche Variazione della durata del giorno Precessione di De Sitter

Effetto Lense-Thirring (LAGEOS) Risultato finale dW/dtLT,sper [mas/yr] dW/dtLT,th [mas/yr] dw/dtLT,sper [mas/yr] dw/dtLT,th [mas/yr] LAGEOS 30,66 31,0 31,31 31,6 LAGEOS II 31,51 31,5 -57,35 -57,0 Errore: circa 1 mas/yr su dW/dtLT, molto maggiore su dw/dtLT Incertezze maggiori: derivano da errori nella conoscenza dei coefficienti delle armoniche zonali l=2 ed l=4, errori eliminati introducendo il parametro m d(dW/dtLAGEOS)+0,295*d(dW/dtLAGEOS II)-0,35*d(dw/dtLAGEOS II ) = m(dW/dtLT,th,LAGEOS+0,295*dW/dtLT,th,LAGEOS II-0,35*dw/dtLT,th,LAGEOS II )+errori(l=6, l=8…) Nella formula i d indicano i residui m = 1,10±0,25 mRG = 1, mNew = 0

Effetto Lense-Thirring (Gravity Probe B) Differenza sostanziale dai LAGEOS: sono diversi i giroscopi dei quali si misura la precessione Giroscopio LAGEOS Giroscopio GPB 4 giroscopi all’interno dello strumento Orbita dei satelliti Sfere di quarzo fuso rivestite di niobio superconduttore Sospesi in un campo magnetico La rotazione, mantenuta da un getto di elio gassoso, genera un momento magnetico parallelo all’asse di rotazione Precessione: misurata osservando la variazione dell’inclinazione del momento magnetico Variazione di momento magnetico: induce una corrente misurata da sensori SQUID Precisione: 0,001 mas

Effetto Lense-Thirring (Gravity Probe B) Misura dell’inclinazione dell’asse di spin rispetto ad una stella di riferimento (IM Pegasi) Il moto della stella viene misurato da Terra misurandone la posizione rispetto alle quasar distanti con un metodo di VLBI Orbita polare: permette di separare i contributi delle due precessioni dovute ad effetti di Relatività Generale (Lense-Thirring e De Sitter) Risultati: ancora da pubblicare, i primi dati comunque confermano la validità della Relatività Generale

Effetto Lense-Thirring (LMXBs) Primaria: oggetto compatto (stella di neutroni o buco nero), il più massiccio dei due Disco di accrescimento, sorgente della maggior parte dell’intensità luminosa Precessione Lense-Thirring dell’orbita del gas nel disco di accrescimento rivelata tramite oscillazioni a qualche decina di Hz Secondaria: meno massiccia, stella di sequenza principale o gigante o nana bianca nL-T=8p2InK2ns/c2M Osservate oscillazioni tra 20 e 35 Hz in 4U 1728-34, 4U 0614+091 e KS 1731-260 Momento d’inerzia della primaria Frequenza Kepleriana (orbita del gas) Frequenza di rotazione della primaria

Orologio su orbita circolare equatoriale Clock effect t+ Orologio su orbita circolare equatoriale t- Scegliamo un angolo fisso: dopo una variazione di 2p dell’angolo azimutale gli orologi misureranno tempi di rivoluzione diversi nel caso in cui la rivoluzione sia corotante (t+) o controrotante (t-) rispetto alla rotazione del corpo centrale

Per un orologio attorno alla Terra t+-t- sarà circa 2*10-7 s Clock effect Differenza corretta dei quadrati dei tempi di rivoluzione dopo una variazione di 2p dell’angolo azimutale t+2-t-2=8paT0/c Nei casi di maggior interesse si può usare lo sviluppo post Newtoniano fermandosi al primo ordine t+-t-=4pa/c Per un orologio attorno alla Terra t+-t- sarà circa 2*10-7 s Sono stati proposti degli esperimenti tra i quali il Gravity Probe C ma nessuno di essi è stato ancora realizzato: non è difficile avere una precisione di 10-7 s ma sono molti i fattori che rendono difficile la misura (soprattutto il tracking) Gravity Probe C: due satelliti su orbite identiche, che ruotano in senso opposto, con orologi ad alta precisione a bordo