Forma normale delle equazioni di 2° grado Definizione. Un'equazione di secondo grado è in forma normale se si presenta nella forma Dove sono numeri

Esempi È in forma normale con

Esempio Non è in forma normale perché al secondo termine non c’è zero. Portiamola in forma normale

Esempio Portiamo i monomi 3x e 5 a sinistra dell’uguale cambiando il segno Sommiamo fra loro i monomi simili Adesso l’equazione è in forma normale e risulta:

Casi particolari L’equazione si dice pura e diventa

Esempio Come si risolve? A questo punto conosciamo ma noi vogliamo sapere cioè quel numero (o quei numeri) che elevati alla seconda danno. Questi numeri si determinano estraendo la radice quadrata.

Esempio Quindi la soluzione è Osservazione: si prende la radice quadrata anche con segno negativo perché anche elevato alla seconda fa

ERRORI RICORRENTI Estrarre la radice quadrata ma continuare a scrivere. Rifacendosi all’esercizio di prima: Scrivere NO!

ERRORI RICORRENTI Scrivere dentro la radice quadrata Rifacendosi all’esercizio di prima: Scrivere NO! È un errore molto grave perché la radice Quadrata di un numero negativo non esiste!!

Esempio Come si risolve? A questo punto conosciamo ma noi vogliamo sapere cioè quel numero (o quei numeri) che elevati alla seconda danno. Questi numeri si determinano estraendo la radice quadrata.

Esempio Quindi la soluzione è Osservazione: quando abbiamo la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto (com’era 9 prima) non va calcolata!

Esempio Come si risolve? Come sempre conosciamo ma noi vogliamo sapere cioè quel numero (o quei numeri) che elevati alla seconda danno. Ma non esiste un numero che elevato alla seconda dia un numero negativo. Quindi:

Esempio Osservazione: notiamo che una equazione pura o ha 2 soluzioni (primi 2 esempi) oppure non ne ha nessuna. L’allievo (allieva) attento (attenta) avrà notato che … se c e a hanno segno diverso ci sono 2 soluzioni mentre se c e a hanno lo stesso segno non esistono soluzioni

Esercizi. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado pure:

Casi particolari L’equazione si dice spuria e diventa

Esempio Come si risolve? Ci accorgiamo che i due monomi a sinistra hanno in comune la che può quindi essere messa in evidenza ottenendo

Esempio Sappiamo che un prodotto fra due fattori (in questo caso e ) può essere zero se e soltanto se uno dei due fattori è zero. Quindi l’equazione di secondo grado si tramuta in due equazioni di primo grado che sappiamo risolvere:

Esempio Una delle due equazioni è già risolta: Risolviamo l’altra: Pertanto la soluzione è:

Esempio Come si risolve? Ci accorgiamo che i due monomi a sinistra hanno in comune la che può quindi essere messa in evidenza ottenendo

Esempio Sappiamo che un prodotto fra due fattori (in questo caso e ) può essere zero se e soltanto se uno dei due fattori è zero. Quindi l’equazione di secondo grado si tramuta in due equazioni di primo grado che sappiamo risolvere:

Esempio Una delle due equazioni è già risolta: Risolviamo l’altra: Pertanto la soluzione è:

Osservazione Dagli esempi possiamo dedurre che: 1.Le equazioni spurie hanno sempre due soluzioni 2.Una delle due soluzioni è sempre zero.

Esercizi. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado spurie:

Casi particolari L’equazione si dice monomia e diventa È il caso più semplice di tutti: infatti ha sempre un’unica soluzione che è zero.

Esempio Come si risolve? Ma se abbiamo che Risulta che Pertanto la soluzione è

Domanda Perché non studiamo il caso particolare Risposta Perché se a fosse zero l’equazione sarebbe di primo grado e quelle le sappiamo già fare … SPERIAMO!

Il caso generale Studiamo adesso il caso generale in cui i tre coefficienti possono essere qualsiasi numero. Partiremo dalla forma normale, per arrivare, tramite una serie di passaggi, alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Per compiere tali passaggi useremo i ben noti principi di equivalenza delle equazioni.

Caso generale Moltiplichiamo primo e secondo termine per (2° principio di equivalenza) ottenendo: Cioè:

Caso generale Aggiungiamo al primo e al secondo termine (1° principio di equivalenza) ottenendo: Adesso portiamo il monomio da sinistra a destra dell’uguale cambiando il segno

Caso generale Ma osserviamo il primo termine dell’equazione : Quadrato di doppio prodotto di e quadrato di Quindi siamo di fronte al quadrato di un binomio

Caso generale Possiamo allora scrivere la precedente equazione: Il primo termine essendo un quadrato non è mai negativo. Quindi... Se il secondo termine è negativo non ci sono soluzioni Se il secondo termine è zero c’è un’unica soluzione e va trovata Se il secondo termine è maggiore di zero ci sono due soluzioni e vanno trovate

Caso generale Poniamo allora: Dove è una lettera greca che si legge delta. Per quanto appena detto: Per questo è detto discriminante. Perché discrimina il numero di soluzioni dell’equazione

Caso generale Abbiamo detto che se le soluzioni ci sono e vanno trovate. Torniamo all’equazione: Da cui estraendo la radice: Portiamo a destra dell’uguale E dividiamo per ottenendo:

Caso generale Questa è la famosissima e importantissima (da imparare a memoria!!!) formula risolutiva delle equazioni di secondo grado

Esempi Risolvere: È in forma normale quindi possiamo determinare i coefficienti Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta) Risulta che quindi l’equazione non ha soluzioni e scriviamo

Esempi Risolvere: Non è in forma normale. Portatela in forma normale per esercizio e otterrete adesso possiamo determinare i coefficienti Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta) Risulta che quindi l’equazione ha 2 soluzioni e vanno trovate Tramite la formula risolutiva

Esempi Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno: Pertanto la soluzione è:

Esempi Risolvere: è in forma normale quindi possiamo determinare i coefficienti Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta) Risulta che quindi l’equazione ha unica soluzione che va trovata tramite la formula risolutiva

Esempi Ovviamente in questo caso la soluzione col più e la soluzione col meno coincidono fra di loro (più zero o meno zero è uguale) Pertanto la soluzione è:

Osservazione Con la formula risolutiva delle equazioni si risolvono tutte le equazioni di secondo grado. In altre parole, se siamo di fronte ad un’equazione spuria (o pura) è bene risolverla con le tecniche affrontate nei casi particolari. Ma con la formula risolutiva arriverei lo stesso alla soluzione. Verifichiamolo tramite gli esempi visti in precedenza

Esempi Risolvere: è un’equazione pura in forma normale. Determiniamo i coefficienti Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta) Risulta che quindi l’equazione ha due soluzioni

Esempi Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno: Pertanto la soluzione è:

Esercizi. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado:

Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di 2° grado Ci proponiamo adesso di stabilire una relazione fra coefficienti (a, b e c) di un’equazione di secondo grado e le sue soluzioni. Dividiamo tre casi. 1) In questo caso abbiamo 2 soluzioni che chiamiamo. Risulta

Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di 2° grado Risulta: Quindi:

Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di 2° grado Inoltre: Ma, sapendo che Risulta che Quindi:

Esempio Sappiamo dall’esempio precedente che le soluzioni dell’equazione (quindi ) sono Verifichiamo che Infatti E le relazioni sono verificate!

Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di 2° grado Se abbiamo un’unica soluzione o, come già detto, due soluzioni uguali. Le relazioni sono le stesse del caso precedente tenendo conto che Come risulta dal seguente esempio

Esempio Le soluzioni dell’equazione (quindi ) sono Verifichiamo che Infatti E le relazioni sono verificate!

Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di 2° grado Se invece non esistono soluzioni e quindi non c’è alcuna relazione con i coefficienti!

Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di 2° grado Quanto visto è utile per risolvere il seguente Problema inverso: dati 2 numeri, determinare un’equazione di 2° grado che abbia quei due numeri come soluzione. Affrontiamole coi seguenti esempi

Esempio Determina un’equazione di 2° grado che abbia -4 e 7 come soluzioni. Sappiamo che: Poniamo. Le equazioni precedenti diventano In questo caso

Esempio Da cui Per cui l’equazione cercata è (avendo posto ): PROVARE PER CREDERE!

Esempio Determina un’equazione di 2° grado che abbia 3 come soluzione. Sappiamo che: Poniamo. Le equazioni precedenti diventano In questo caso

Esempio Da cui Per cui l’equazione cercata è (avendo posto ):

Le equazioni di secondo grado per scomporre i polinomi Supponiamo di dover scomporre il seguente polinomio: La tecnica più appropriata è la quarta. Cioè trovare due numeri p e q tali che: Dopo un po’ di fatica troviamo E quindi la scomposizione risulta

Le equazioni di secondo grado per scomporre i polinomi Poniamo adesso il trinomio uguale a zero e risolviamo l’equazione di secondo grado: Determiniamo i coefficienti Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta) Risulta che quindi l’equazione ha 2 soluzioni e vanno trovate tramite la formula risolutiva

Le equazioni di secondo grado per scomporre i polinomi Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno: Pertanto la soluzione è:

Le equazioni di secondo grado per scomporre i polinomi Risulta evidente la relazione fra la scomposizione e le soluzioni dell’equazione: Quindi per scomporre un particolare trinomio di 2° grado possiamo risolvere l’equazione e, se ha due soluzioni che chiamiamo la scomposizione è: Come garantito dal seguente…

Le equazioni di secondo grado per scomporre i polinomi Teorema. Siano le due soluzioni di un’equazione di secondo grado. Vale la seguente scomposizione : Dimostrazione. Basta effettuare il prodotto al secondo termine e vedere che torna uguale al primo termine dell’uguaglianza.

Il secondo e il terzo monomio contengono la che può quindi essere messa in evidenza:

Sappiamo che: Ma dal momento che le due precedenti uguaglianze diventano E cambiando i segni alla prima uguaglianza Quindi: Che completa la dimostrazione

Esempio Scomporre: Risolviamo l’equazione (fatelo per esercizio) La soluzione è: Pertanto la scomposizione risulta

Esercizi Tramite le equazioni di secondo grado scomponete i seguenti polinomi:

Problemi risolvibili tramite equazioni di secondo grado Vladimir invita a una festa un certo numero di persone. Ciascuna di queste persone può invitare lo stesso numero di persone invitate da Vladimir (ad esempio se Vladimir invita 5 persone, ciascuna di queste 5 persone ne invita altre 5). Alla festa in tutto ci sono 57 persone. quanti sono gli invitati direttamente da Vladimir?

Problemi risolvibili tramite equazioni di secondo grado Poniamo x = numero invitati da Vladimir Vincoli: x positivo, x necessariamente intero. Ciascuno degli x invitati invita altre x persone. quindi altre persone. Da cui ricaviamo Gli invitati dagli invitati Gli invitati da Vladimir Vladimir Persone totali presenti alla festa

Esempi Non è in forma normale. Portiamola in forma normale adesso possiamo determinare i coefficienti Dai coefficienti possiamo ricavare il discriminante (delta) Risulta che quindi l’equazione ha 2 soluzioni e vanno trovate Tramite la formula risolutiva

Esempi Prendiamo la soluzione col più e la soluzione col meno: non accettabile Pertanto Vladimir ha invitato 7 persone