V. Durante – M. Mari – C. Ternullo Liceo Scientifico "Morgagni" I paradossi di Zenone V. Durante – M. Mari – C. Ternullo Liceo Scientifico "Morgagni"

Paradosso Una convinzione, affermazione o dottrina che sfidano il senso comune (dóxa). Un problema logico la cui risoluzione implica una contraddizione (antinomia). Es. (1): “È un paradosso ritenere che l’anima sia mortale.” Es. (2): Il paradosso del “Mentitore”, di Russell, Grelling, Richard, ecc.

Il paradosso del “Mentitore” Considera le seguenti proposizioni: Epimenide di Creta asseriva: “Tutti i Cretesi mentono” “Questa proposizione è falsa” “Tutto quello che asserisco è falso” Ciascuna delle proposizioni fra virgolette è vera o falsa?

Reductio (ad absurdum) È una regola logica tramite cui è possibile negare una proposizione assunta come vera se da essa ne deriva una contraddizione. Schema A. (Assunzione) A implica una contraddizione. Ne segue ¬A (introduzione di “¬”) Tutti gli argomenti zenoniani (a parte la “Freccia”, che, però, è facilmente riducibile ad un argomento basato su reductio) si basano su reductio.

Zenone, Platone, Aristotele

Zenone: fonti Platone, Parmenide, 127D6-128E4 Nella cornice dialogica immaginata da Platone, Zenone si trova ad Atene con Parmenide per discutere con Socrate. Nel passo citato, si fa menzione dei celebri argomenti di Zenone in difesa della dottrina eleate dell'illusorietà del mutamento. Aristotele, Fisica, IV, 3, 210b; VII, 5, 250a Aristotele cita gli argomenti di Zenone essenzialmente per confutarli, e mostrare che l’idea del movimento non è contraddittoria. Proprio grazie ad Aristotele noi conosciamo gli argomenti di Zenone.

Paradossi del moto/1: Dicotomia Supponiamo che il movimento sia possibile. Il movimento avviene in uno spazio continuo (per ipotesi nell’intervallo [0, 1]). Perché X raggiunga 1, deve prima raggiungere 1/2. Prima di 1/2, 1/4, prima di 1/4, 1/8 e così via, ad infinitum. Ne deriva che X dovrebbe attraversare infinite parti di [0, 1] in una quantità di tempo finita. Il movimento è impossibile!

Paradossi del moto/2: Achille Supponiamo che il movimento sia possibile. Ne segue che, dati due mobili X,Y, se X è più veloce di Y ad un certo punto avverrà che X supererà Y. Supponiamo che Achille e una tartaruga si sfidino alla corsa sul tratto [0, 1] e che la tartaruga parta con un vantaggio, s≠0. A t, Achille raggiunge s, e la tartaruga è in s’>s. A t’, Achille raggiunge s’ e la tartaruga è in s'’>s’ e così via, ad infinitum. Quindi Achille, per raggiungere la tartaruga, dovrebbe attraversare infinite parti in una quantità di tempo finita. Il movimento è impossibile!

Achille e la tartaruga

Paradossi del moto/3: Freccia Ogni oggetto che si muove ha una velocità. Se si considera una quantità di tempo sempre più piccola, lo spazio attraversato è sempre più piccolo. Quindi, in ogni istante, la freccia è immobile. Il moto in un intervallo continuo è decomponibile in una somma di istanti, quindi in una somma di stati di immobilità. La freccia è immobile. Esercizio: volgi la “Freccia” in un argomento basato su RA.

Freccia

Paradossi del moto/4: Stadio Supponiamo che il movimento sia possibile. Due oggetti che si muovono a uguale velocità coprono porzioni di spazio uguale in un tempo uguale. Si dispongano tre oggetti, A, B e Γ , ciascuno di lunghezza pari a 1/2, nell'intervallo [0, 1] (lo “stadio”), in maniera tale che B occupi [0, 1/2], Γ occupi [1/2, 1] e A [1/4, 3/4]. B si muova di un 1/4 verso 1, Γ di un 1/4 verso 0 e A stia fermo. Rispetto ad A, sia B che Γ avranno percorso 1/4, ma l’uno rispetto all’altro, essi avranno percorso 1/2. Il movimento è impossibile!

Stadio

Osservazioni Nota: L’uso della regressio ad infinitum Il problema di attraversare infinite parti in un tempo finito Il movimento come somma infinita di punti/istanti Differenza fra velocità assoluta e relativa Assimilazione del continuo matematico allo spazio fisico

La matematica di Zenone Claim. Esistono metodi matematici adeguati per risolvere tutti i paradossi. Es.: considera somme finite di serie infinite convergenti (Cauchy). [Dicotomia, Achille] la misura della velocità dei due corpi nello stadio è relativa al corpo rispetto a cui si muove. Nel caso dei due corpi in movimento, la velocità di B e Γsi devono sommare. [Stadio] la definizione di velocità istantanea implica che Δt tenda a 0, non che si annulli. In altri termini, misurare la velocità implica sempre che si consideri un intervallo, per quanto piccolo, non nullo di spazio e di tempo (eliminazione del concetto di infinitesimo). [Freccia]

Aristotele su Zenone Aristotele distingue infinito attuale e potenziale: l’infinito attuale implica l’esistenza di un’infinità di parti reali Un percorso infinitamente divisibile in senso attuale non è percorribile (perché, secondo Aristotele, l’esistenza di parti reali implica una discontinuità) Un percorso infinitamente divisibile in senso potenziale è percorribile, e viene a cadere l’esistenza di infinite parti reali (che produce i paradossi)

Russell su Zenone “In questo mondo capriccioso, nulla è più capriccioso che la fama presso i posteri. Una delle più notevoli vittime della mancanza di senno della posterità è Zenone di Elea. Malgrado che abbia inventato quattro argomentazioni tutte smisuratamente sottili e profonde, la stupidità dei filosofi venuti dopo di lui proclamò che Zenone era null'altro che un ingegnoso giocoliere e le sue argomentazioni erano tutti sofismi. Dopo duemila anni di continua confutazione questi sofismi vennero nuovamente enunciati, e formarono la base di una rinascita della matematica.” (I principi della matematica, Milano, 1988, pp. 482-3)

Russell su Zenone Il problema di [Dicotomia] e [Achille] è un problema definitorio (logico): la definizione sembra implicare che le parti proprie di [0, 1] siano logicamente anteriori ad esso. Russell nega che lo siano. In particolare, esiste una definizione logicamente adeguata di [0, 1] tramite il concetto di insieme, che risolve il problema dell’anteriorità. Russell considera [Freccia] un argomento che confuta l’esistenza degli infinitesimi. Usando la teoria delle cardinalità transfinite, Russell spiega come per capire come Achille superi la tartaruga non implichi prendere in considerazioni nozioni di cardinalità (gli intervalli percorsi da Achille e la tartaruga hanno la stessa cardinalità).

Questioni aperte Le nozioni matematiche di spazio e tempo sono adeguate a descrivere la realtà fisica? Lo spazio ha degli elementi minimi (infinitesimi)? Il tempo e lo spazio sono nostre rappresentazioni o elementi strutturali della realtà? Il cambiamento è illusorio? …

Grazie!