LA LOGICA MATEMATICA

La logica è la disciplina filosofica che studia le forme del ragionamento corretto.

Comprendi il ragionamento

Le proposizioni Definizione: Una proposizione è un’affermazione che è o sicuramente vera o sicuramente falsa. Ad esempio sono proposizioni: I continenti sono 5 (vera) 7=3 (Falsa) Il sole è un pianeta (Falsa) La mortadella viene fatta dal maiale (Vera)

Convenzione. Generalmente le proposizioni si indicano con la lettera minuscola p, e se già in uso con la q, poi con la r e così via …

La congiunzione Come nella lingua italiana (e in tutte le lingue) le proposizioni si legano fra di loro formando frasi più complesse. Così avviene anche nella logica matematica. Consideriamo il seguente: Esempio. “Sono nato a Firenze e lavoro a scuola” Questa frase è formata da due proposizioni: p = Sono nato a Firenze; q = lavoro a scuola

La congiunzione La congiunzione “e” in logica si indica con il simbolo . Pertanto la frase precedente si traduce in Una frase con la congiunzione è vera soltanto se sono vere entrambe le proposizioni che la compongono

La congiunzione Quindi la frase precedente: Sono nato a Firenze e lavoro a scuola Risulta vera soltanto se sono vere tutte e due le proposizioni: “sono nato a Firenze” e “lavoro a scuola”.

Le tavole di verità Dal momento che a noi interessa se la frase è vera o falsa a seconda se sono vere o false le proposizioni che la compongono, usiamo le cosiddette Tavole di Verità, all’interno delle quali mettiamo tutte le combinazioni possibili Vero/Falso delle singole Proposizioni.

Le tavole di verità Innanzitutto che vuol dire tutte le possibili combinazioni Vero Falso delle proposizioni? Nel caso precedente abbiamo 4 combinazioni possibili: vere tutte e due false tutte e due la prima vera e la seconda falsa la prima falsa e la seconda vera

Le tavole di verità Nelle tavole di verità si rappresentano così :

Le combinazioni Teorema: se n è il numero delle proposizioni, le Sappiamo che se abbiamo una proposizione sola, abbiamo 2 sole combinazioni: o che sia vera o che sia falsa. Il caso di 2 proposizioni l’abbiamo visto prima: le combinazioni sono 4. Sarebbe facile verificare che nel caso di 3 proposizioni, le combinazioni sono 8 e così via. Vale il seguente Teorema: se n è il numero delle proposizioni, le possibili combinazioni Vero/Falso sono

Le combinazioni Come fare per non dimenticarsene qualcuna? È sufficiente seguire il seguente esempio nel caso le proposizioni siano 3 (p, q ed r), e quindi le combinazioni possibili sono

“mangio la carne o mangio la verdura” La disgiunzione Prendiamo ad esempio la frase: “mangio la carne o mangio la verdura” Questa frase è vera sia se mangio la carne, sia se mangio la verdura, sia se mangio sia la carne che la verdura. La disgiunzione “o” in logica si indica col simbolo Pertanto se poniamo: p = mangio la carne q = mangio la verdura, la frase si traduce con

Le tavole di verità La tavola di verità della disgiunzione è quindi:

La negazione Se considero la proposizione: p = “la bottiglia è di vetro” La sua negazione si indica con e risulta = “la bottiglia non è di vetro” Ovviamente se è vera è falsa mentre se è falsa è vera

Le tavole di verità La tavola di verità della negazione è quindi:

Implicazione logica Si consideri la seguente frase: “Se la fiorentina vincerà lo scudetto, brinderò con lo champagne”. Questa frase è falsa solo se la fiorentina vincerà lo scudetto ed io non brinderò, mentre negli altri casi è vera. Posto p = “la fiorentina vincerà lo scudetto” e q = “brinderò con lo champagne”, l’espressione si indica con

Implicazione logica La tavola di verità dell’implicazione logica è quindi:

Equivalenza logica Si consideri la seguente frase: “brinderò con lo champagne se e solo se la fiorentina vincerà lo scudetto”. Prima potevo brindare anche se la fiorentina non avesse vinto lo scudetto, mentre adesso è specificato che lo farò se e solo se ciò accadrà. Quindi, per essere vera la precedente frase, o succedono tutti e due gli eventi, oppure nessuno dei due. Posto p = “brinderò con lo champagne” e q = “la fiorentina vincerà lo scudetto”, l’espressione si indica con

Equivalenza logica La tavola di verità dell’equivalenza logica è quindi:

Osservazione importante Se vale che e Allora vale: E viceversa!

Problemi L’equivalenza e l’implicazione logica trovano applicazione in vari contesti. Vediamolo attraverso i seguenti problemi. Problema. In una classe di 8 femmine e 10 maschi, le 8 femmine indossano una maglietta rossa, mentre dei maschi, 8 indossano una maglietta rossa e 2 una blu. Posto p = “essere una femmina” e q = “indossare una maglietta rossa” stabilire se esiste una implicazione o un’equivalenza logica fra p e q

Problemi Si osserva che se è vera p (essere una femmina) è vera anche q (indossare una maglietta rossa). Quindi: Mentre se è vera q (indossare una maglietta rossa) non è detto che sia vera p (essere una femmina). Quindi q non implica p, e quindi non sono equivalenti. Per esercizio rifare il problema con p = “essere un maschio” e q = “indossare una maglietta blu”

Problema Sia p = “essere un numero naturale divisibile per 3” e q = “essere un numero naturale divisibile per 5”. Che implicazioni ci sono fra p e q? Si osserva che se un numero è divisibile per 3 non è detto che sia divisibile per 5 (ad esempio 9). Quindi p non implica q Ma anche se un numero è divisibile per 5 non è detto che sia divisibile per 3 (ad esempio 10). Quindi nemmeno q implica p. Quindi non vi è alcuna implicazione fra p e q

Problema Robbie fa i compiti usando tre penne di colore diverso: matematica in rosso, italiano un pò in blu e un pò in nero e inglese tutto in blu. Posto p = “Robbie sta facendo matematica” e q = “Robbie sta usando la penna rossa”, stabilire le implicazioni fra p e q. Si osserva facilmente che:

Esercizi implicazioni logiche Stabilire se esistono implicazioni o equivalenze fra p e q nei seguenti casi p = “numero divisibile per 8” e q = “numero divisibile per 2” In una fabbrica ci sono 8 operai esperti e 5 apprendisti. Fra gli operai esperti, 5 guadagnano 1700 euro e 3 1550 euro, mentre gli apprendisti guadagnano tutti 800 euro. p = “essere apprendista” q = “guadagnare 800 euro” 3) Stessa fabbrica di prima. p = “guadagnare 1700 euro”, q = “essere operaio esperto” 4) p = “essere multiplo di 8” q = “essere multiplo di 6”

Le espressioni logiche (o frasi) Con la congiunzione, la disgiunzione, la negazione, l’implicazione e l’equivalenza logica, possiamo costruire delle espressioni logiche (frasi). Alle quali vogliamo associare la relativa tavola di verità, come nel seguente esempio: Scrivere la tavola di verità della seguente espressione logica

Costruiamo la tavola di verità

Esempio Scrivere la tavola di verità della frase:

Esercizi tavole di verità Scrivere la tavola di verità delle seguenti espressioni logiche: 1) 2) 3) 4) 5)

Definizioni Un’espressione logica che è sempre vera si dice Tautologia Un’espressione logica che è sempre falsa si dice contraddizione Due espressioni logiche che hanno la stessa tavola di verità si dicono equiveridiche

Esempio Stabilire se la seguente espressione logica è una tautologia o una contraddizione o nessuna delle due: tautologia

contraddizione Esempio Stabilire se la seguente espressione logica è una tautologia o una contraddizione o nessuna delle due: contraddizione

equiveridiche Esempio Stabilire se le seguenti espressioni logiche sono equiveridiche: equiveridiche

Esercizi (tautologie/contraddizioni) Verificare se le seguenti espressioni algebriche sono tautologie, contraddizioni o nessuna delle due 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Esercizi euiveridiche Verificare se le seguenti formule sono equiveridiche 1) 2) 3) 4) 5) 6)

L’orologio Dividete il quadrante di un orologio da parete in tre parti. In ciascuna parte la somma dei numeri contenuti deve essere uguale. Sapreste come tracciare le linee?

La fontana Abbiamo 2 taniche: una da 5 litri e l’altra da 3 litri, e una fontana. Dobbiamo ottenere esattamente 4 litri di acqua: come facciamo?

Quanti triangolini blu al posto di ?

La settimana Mario incontra due amici Luigi ed Ugo e gli chiede il giorno della settimana. I due amici hanno però una pessima abitudine, Luigi mente sempre il lunedì, martedì e mercoledì mentre gli altri giorni dice sempre la verità; Ugo invece mente sempre il giovedì, il venerdì e il sabato e gli altri giorni della settimana dice sempre la verità. Alla richiesta di Mario di sapere che giorno è oggi, Luigi dice: ieri era uno dei giorni in cui dico bugie e Ugo ribatte anche per me ieri era uno di quei giorni in cui dico sempre bugie. Sapreste aiutare Mario a stabilire che giorno è oggi?

La bottiglia Mario per la sua festa di compleanno organizza un party all’aperto. A inizio festa la bottiglia di champagne pesa 1 kg e 225 grammi, a metà festa la bottiglia è mezza piena e pesa 784 g, a fine festa la bottiglia è completamente vuota. Sapreste calcolare il peso della bottiglia a fine festa?