Dipartimento di Matematica Catania, 9 novembre 2015 progetto MAT-ITA Leggere e scrivere e raccontare, vedere, pensare la matematica anche in relazione ai test di ingresso per i corsi di laurea scientifici Gabriele Anzellotti Dipartimento di Matematica Università di Trento

schema dell’incontro esempi di matematica difficoltà tipiche che gli studenti hanno all’inizio dei corsi di laurea scientifici e nelle prove di ingresso che fare?

1. matematica regole e teoremi matematici oggetti e fenomeni matematici regole e teoremi matematici spiegare spiegare raccontare osservare discutere conversare

2. difficoltà difficoltà tipiche che gli studenti hanno all’inizio dei corsi di laurea scientifici esempi di quesiti delle prove di ingresso criticità nel modo di pensare e valutare l’apprendimento e l’insegnamento

3. esempi di progetti e azioni come agire su entrambi i fronti della Scuola  e dell’Università, per ottenere migliori risultati di apprendimento esempi di progetti e azioni realizzati e in corso

funzione esponenziale discreta moltiplicare per 2 dividere per 2 ? 1/2 ? 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384... 2n n -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 20 = 1 2-1 = 1/2 2n n numeri interi positivi numeri interi funzione esponenziale discreta

vogliamo comprendere questo oggetto, con diversi approcci e diversi strumenti cerchiamo su internet le immagini di “conchiglia” troviamo ad esempio http://www.danireef.com/2013/12/06/il-fossile-vivente-nautilus-pompilius/

Torniamo al problema di capire come è fatta la nostra conchiglia non la biologia del mollusco che la abita o il materiale di cui è fatta (che potrebbe essere un tema per chimica) ma la sua forma e la ragione di questa forma vi propongo di osservarla, studiarla, riprodurla, trovarne “la” regola o, meglio, un modello

Riprodurre con un disegno o un meccanismo una forma naturale è un modo fondamentale di comprensione del mondo un modo brutale è ricalcare il disegno... ...può essere utile in un primo approccio, ma non fa capire è più utile trovare un modo per codificare l’immagine, ad esempio utilizzando delle “primitive” (punti, segmenti, poligoni, cerchi,...) che possono avere determinati tipi di relazioni tra loro questo è quello che fa ad esempio Geogebra nella computer graphics, una codifica di questo tipo si chiama “grafica vettoriale”

distanze della spirale dal centro per ogni sedicesimo di giro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 30 33 37 40 42 44 49 53 55 58 61 64 67 72 77 82 89 94 99 105 112 120 distanze della spirale dal centro per ogni sedicesimo di giro si vede che l’andamento non è lineare, ma è difficile dire cosa sia in effetti forse non è niente di particolare, è soltanto una crescita super-lineare di qualche tipo... ... ma vediamo se riusciamo a fare qualche altro modello

vedi file geogebra allegato una successione di triangoli rettangoli e isosceli, ciascuno simile al precedente l’ipotenusa del primo triangolo è uguale al cateto del secondo triangolo, e così via ad ogni passo il triangolo raddoppia di area e i lati si moltiplicano per 2 passo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 LATO 1,0 1,4 2,0 2,8 4,0 5,7 8,0 11,3 16,0 22,6 32,0 45,3 64,0 AREA 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 passo = n LATO = (2)n L AREA = 2n

un’altra spirale

moltiplicare per 2 dividere per 2 ? 1/2 ? 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384... 2n n -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 20 = 1 2-1 = ½ 2-2 = ¼ 2n funzione esponenziale discreta (di base 2) n più comunemente chiamata progressione geometrica (ma è meno istruttivo) la funzione che manda ciascun numero della riga sopra nel numero di sotto è la funzione inversa della funzione esponenziale e si chiama funzione logaritmo

una funzione esponenziale funzione esponenziale (continua) funzione esponenziale y y= 2x x

la funzione esponenziale è lo strumento primario per la modellizzazione dei fenomeni di crescita e decrescita: crescita di una popolazione interesse composto decadimento radioattivo temperatura di un corpo che si raffredda scarica di un condensatore e per innumerevoli altri modelli: scala dei decibel scala musicale temperata discussione con la chitarra

C + 10% di C = C + (10/100)C = (1 + 10/100)C = 1.1 C un punto centrale per la comprensione dell’esponenziale discreto è che esso corrisponde a una crescita percentuale costante ad ogni passo occorre inoltre capire che aumentare un capitale di una certa percentuale è equivalente a moltiplicarlo per un opportuno fattore ad esempio: aumentare del 10 % un numero C è equivalente a moltiplicarlo per 1.1 C + 10% di C = C + (10/100)C = (1 + 10/100)C = 1.1 C aumentare due volte del 10% corrisponde quindi a moltiplicare per (1.1x1.1)=1.21 ossia corrisponde a un aumento del 21% c’è un conflitto, una misconcezione, causata in parte dal linguaggio naturale: aggiungere una percentuale non vuol dire sommare qualcosa, ma vuol dire moltiplicare per qualcosa

Quesito (selezione area biologica - settembre 2010) Il numero di individui di una popolazione è aumentato in un anno del 27%. Se P era il numero all’inizio dellanno, qual è il numero alla fine dellanno? P + 0,27 P  1,27 P  0,27 P+1,27 P/0,27 dati sulle risposte al quesito a) dato nazionale b) studenti provenienti da Nord-Est c) studenti provenienti dalla Provincia di Trento Risp. esatta 18,7% 1343 31,1% 298 54,2% 45 Risp. errata 77,9% 5605 65,7% 629 44,6% 37 Risp. non data 3,4% 243 3,2% 31 1,2% 1

la funzione esponenziale nelle indicazioni nazionali per il primo ciclo: è indicata la funzione 2n oltre che x, 1/x e x^2 per il primo biennio dei licei e dei tecnici: non viene nominata esplicitamente la funzione esponenziale (giustamente) che è invece prevista per il secondo biennio, ma in più punti si indica l’importanza della modellizzazione di fenomeni fisici e delle scienze naturali, utilizzando funzioni e grafici

Esempi di azioni realizzate Progetto orientamat Università di Trento dal 2001 Piano nazionale Lauree Scientifiche MIUR - 2005/2014 , 2015/2017 Leggere e scrivere matematica, fisica e scienze sperimentali, nel laboratorio e con le tecnologie IPRASE Trentino e Fondazione CARITRO, 2013/2015

Piano nazionale Lauree Scientifiche 2005/2014 Sito del Piano Linee Guida 29 aprile 2010 Report 2007 – Annali della Pubblica Istruzione Sistema test di ingresso Con-Scienze PLS - sito CINECA login 2015/2017 Nuove Linee Guida 28 ottobre 2015

realizzare azioni che portino a: Leggere e scrivere matematica, fisica e scienze sperimentali, nel laboratorio e con le tecnologie IPRASE Trentino e Fondazione CARITRO, 2013/2015 realizzare azioni che portino a: migliori e più solidi apprendimenti in matematica, in fisica e nelle scienze sperimentali, fra di loro integrati competenze di comprensione e produzione di testi scientifici un utilizzo maggiore e più esperto della metodologia laboratoriale, delle tecnologie dell’informazione e della comunicazione; la crescita professionale degli insegnanti coinvolti; lo sviluppo delle capacità organizzative degli istituti scolastici. tutti gli aspetti sono presenti contemporaneamente