Le funzioni goniometriche La goniometria Le funzioni goniometriche

Obiettivi definire una funzione definire una relazione definire una funzione definire la funzione goniometrica seno, coseno e tangente conoscere ed applicare le relazioni che intercorrono tra le funzioni goniometriche rappresentare graficamente le funzioni goniometriche elementari

Il concetto di relazione Nel linguaggio comune la parola “relazione” è sinonimo di rapporto, legame, connessione (pensa, per esempio a quando si parla di relazioni di parentela, relazioni affettive, relazioni tra eventi, …) Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice relazione da A in B l’insieme delle coppie ordinate (x, y) con xA e yB. Esempio: A = {a, d, i, t, v}, B = {m, c, s, g, o, f} la relazione R da A in B è: R= {(d, c), (i, s), (t, g), (v, s)}

Il concetto di relazione Esempio: A = {a, d, i, t, v}, B = {m, c, s, g, o, f} la relazione R da A in B è: R= {(d, c), (i, s), (t, g), (v, s)} Per indicare che all’elemento iA corrisponde l’elemento sB si scrive , ad esempio, s=R(i). In generale, se (x, y)R allora y=R(x) Si dice che y è l’immagine di x tramite la relazione R e che x è la controimmagine di y tramite R

Dominio e codominio Data una relazione da A in B, si chiama dominio della relazione l’insieme degli elementi di A che hanno almeno un immagine in B. Si chiama codominio della relazione l’insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio Esempio: Codominio Dominio Immagine di t Controimmagine di g

Le rappresentazioni di una relazione Sia A={2, 3, 4}, B={4, 5, 6} e sia R la relazione da A in B così definita: xA è in relazione con yB se x è divisore di y Per elencazione R= {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 4)} Tramite diagramma a freccia 4 5 6 2 3 Tramite piano cartesiano

Il concetto di funzine Dati due insiemi non vuoti A e B, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B (cioè un insieme di coppie ordinate) tale che a ogni elemento x di A corrisponde uno ed un solo elemento y di B OSS Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i valori x per i quali esiste l’immagine y. In pratica il domf=A

Esempi: stabilire quali delle seguenti relazioni sono funzioni

Esempi: stabilire quali delle seguenti relazioni sono funzioni

Terminologia della funzione f: A B x y=f(x) Data la funzione Diremo che x è la variabile indipendente ed y è la variabile dipendente. x è detta controimmagine di y tramite f mentre y è l’immagine di x tramite f f(x) è l’espressione analitica della funzione e serve, fissato il valore per x, a determinarne l’immagine il codominio è l’insieme delle immagini

Esempio f: A B x y=x2-3x-1 Data la funzione In tal caso x2-3x-1 è l’espressione analitica della funzione fissato il valore per x, ad esempio -2, la corrispondente immagine y è data sostituendo ad x, nell’espressione analitica, il valore -2 y= (-2)2-3(-2)-1=4+6-1=9 Dunque l’immagine di -2 è 9. La coppia ordinata (-2; 9) è un elemento della funzione data. In un piano cartesiano la coppia è rappresentata da un punto.

Grafico di una funzione La funzione è un insieme di coppie ordinate. Ad ogni coppia ordinata corrisponde un punto sul piano cartesiano L’insieme di questi punti ci da il grafico della funzione. Dunque Il grafico di una funzione è l’insieme dei punti che appartengono alla funzione

Esempio x y x y -2 9 -1 1 -3 2 -3 4 3 5 9 x y x y -2 -16/3 -1 1/3 -1/2 -1 1 -3 2 -3 4 3 5 9 x y x y -2 -16/3 -1 1/3 -1/2 17/12 2 1 11/3 2 28/3

Funzioni goniometriche Goniometrico, dal greco gonìa=angolo e métron=misura, letteralmente misura degli angoli. Una funzione goniometrica è una funzione che associa ad ogni angolo un ed un solo numero reale Angoli Reali

La circonferenza goniometrica Fissato un sistema di assi cartesiani, si chiama circonferenza goniometrica la circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio unitario. Con la circonferenza goniometrica è possibile associare ad ogni angolo orientato  un punto P sulla circonferenza, detto estremo dell’arco. Estremo dell’arco y P  1 x O Origine degli archi

La funzione coseno e seno Consideriamo un sistema di assi cartesiani, una circonferenza goniometrica e un angolo orientato . Il coseno dell’angolo  è l’ascissa dell’estremo dell’arco (cos). Il seno dell’angolo  è l’ordinata dell’estremo dell’arco (sen). y P sen  cos 1 x O

La funzione coseno e seno Dunque, indicando con A l’insieme degli angoli (se l’unità di misura è il radiante A coincide con l’insieme dei numeri reali R) avremo: La funzione coseno: La funzione seno: cos: A R x y=cosx sen: A R x y=senx Grafico funzioni goniometriche

Proprietà della funzione seno e coseno Non vi sono valori che un angolo non può assumere, siano essi positivi o negativi, il dominio sia di sin che di cos è dunque tutto l’insieme dei reali sin e cos sono funzioni periodiche: questo significa che assumono gli stessi valori periodicamente all'aumentare della loro variabile indipendente x

Proprietà della funzione seno e coseno Questo è chiara conseguenza del fatto che angoli che differiscono di un angolo giro hanno lo stesso punto per estreme dell’arco. Il periodo vale dunque un angolo giro, ovvero (in radianti): T = 2 Inoltre i valori del seno e del coseno di un angolo sono compresi fra -1 e 1

Grafico della cosinusoide Nell’intervallo (0, 2) la funzione è decrescente da 0 a  e crescente da  a 2 OSS: crescente vuol dire che all’aumentare del valore della variabile indipendente x anche la funzione aumenta, descrescente, invece, all’aumentare della variabile indipendente x la funzione diminuisce di valore

Grafico della sinusoide Nell’intervallo (0, 2) la funzione è crescente da 0 a /2, è decrescente da /2 a 3/2 ed è crescente da 3/2 a 2.

La tangente Consideriamo un sistema di assi cartesiani, una circonferenza goniometrica e un angolo orientato . Consideriamo la retta tangente alla circonferenza nell’origine degli archi. Sia T il punto d’intersezione della retta tangente con il secondo lato dell’angolo. La tangente dell’angolo  è l’ordinata del punto T (tg). y T tg  1 x O Grafico funzioni goniometriche

Il grafico della tangentoide La funzione è sempre crescente e non è definita in x=(2k+1)/2 con k numero intero.

Proprietà della funzione tangente È definita in tutto R tranne in (2k+1)/2. La tangente può assumere qualsiasi valore reale, il codominio è tutto R. Anche la tangente è una funzione periodica: questo significa che assumono gli stessi valori periodicamente all'aumentare della loro variabile indipendente x Il periodo è di uguale a .

Le relazioni fondamentali Ricordiamo: il teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa (a2) è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (b2+c2). a2=b2+c2 a2 b2 c2

Le relazioni fondamentali Dunque Pitagora (a2=b2+c2) ci fornisce un modo pratico per calcolare la misura del terzo lato conoscendo la misura degli altri due. Infatti: Conoscendo i due cateti b e c avremo: Conoscendo un cateto, b o c, e l’ipotenusa a avremo:

Le relazioni fondamentali Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHP ed otteniamo: da cui si ha: y P sen  H cos 1 x O

Le relazioni fondamentali Dal teorema di Pitagora avremo:

Le relazioni fondamentali Il triangolo OHP e il triangolo OAT sono simili, perciò avremo che AT:PH=OA:OH tg:sen=1:cos tg·cos=sen·1 tg=sen/cos y T tg P sen  H A cos 1 x O

Le relazioni fondamentali Dunque le relazioni fondamentali sono:

Equazioni goniometriche Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione goniometrica dell’incognita. Ad esempio : 2∙cos(x) = 1 Mentre 2∙cos(π/4) = 1 non è un’equazione goniometrica perché non contiene funzioni goniometriche dell’incognita x

osservazione Prima di vedere come si risolvono le equazioni è opportuno imparare a determinare graficamente il valore delle funzioni goniometriche. seno e coseno tangente In quanto per la risoluzione delle eq elementari si applica il procedimento inverso

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI determinata se -1 ≤ a ≤ 1 sen x = a impossibile se a < -1 v a > 1 sen x = ½ x = π/6 + 2k π e x = π – π/6 + 2k π = 5/6 π + 2k π

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI determinata se -1 ≤ b ≤ 1 cos x = b impossibile se b < -1 v b > 1 cos x = 1 / 2 Se β è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = β + 2kπ v x = - β + 2kπ

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI tg x = c L’equazione è determinata per qualunque valore reale di c tg x = √ 3 Se γ è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = γ + kπ

Le disequazioni goniometriche Esempi: Funzione seno 1 Funzione seno 2 Funzione coseno 1 Funzione coseno 2 Funzione tangente 1 Funzione tangente 2 OSS: Le soluzioni sia delle eq sia quelle delle diseq possono essere scritte in diversi modi. Tutto dipende dal contesto in ci si ritrova a risolverle (in base al dominio della variabile x).