La Géométrie di Descartes Determinazione della tangente ad una curva Paolo Freguglia Dept. of Engineering and Science of Information and Mathematics (DISIM) University of L’Aquila, Italy

Nel secondo libro della Géométrie troviamo il tema cruciale che riguarda la dterminazione della tangente ad un punto assegnato di una curva assegnata. Descartes dice: «[…] crederò di aver messo qui tutto quello che si richiede per gli elementi delle curve quando avrò dato in modo generale il metodo per tracciare le rette che cadono ad angolo retto su un loro punto preso a piacere. E oso dire che questo è il problema più utile e generale che io sappia, ma anche che abbia mai desiderato di sapere in Geometria.»

Per Descartes il problema della determinazione della tangente in un punto assegnato B  (x 0, y 0 ) si riduce al problema della determinazione della normale in quel punto (essendo questa perpendicolare alla prima). Quindi la normale è il raggio del cerchio tangente nel punto considerato della curva assegnata. Tra gli infiniti cerchi Descartes sceglie uno di centro C  (v, 0) (variabile sull’asse delle x).

Poiché, come sappiamo, per Descartes le curve geometriche sono esprimibili tramite un’equazione, si può stabilire un metodo generale, valido per tutte, per trovare la retta tangente alla curva in suo punto. Come dicevamo, più che le tangenti Descartes cerca le normali cercando appunto uno dei cerchi tangenti alla curva nel punto considerato: il raggio del cerchio tangente che passa per questo punto individua la normale e quindi la tangente alla curva. La curva sia individuata da una equazione del tipo P(x, y) = 0

Fissato il punto O come origine del riferimento e l’asse delle ascisse, note l’equazione della curva e le coordinate del punto B di tangenza, si tratta di determinare il punto C appartenente all’asse delle ascisse in modo che la circonferenza di centro C sia tangente in B alla curva. Individuare il cerchio tangente significa trovare quel cerchio che ha in B(x 0, y 0 ) due intersezioni coincidenti con la curva. Sia OC = v e CB = s (raggio), l’equazione del cerchio sarà:

Per trovare le intersezioni tra cerchio e curva bisogna risolvere il sistema: che, dopo aver eliminato la y, si riduce ad una equazione nella sola x del tipo Q(x) = 0.

Se l’equazione Q(x) = 0 deve avere una radice doppia in x = x 0 deve poter essere riscritta nella forma Q(x) = (x - x 0 ) 2 · R(x) con R(x) polinomio incognito di grado inferiore di due unità rispetto a Q(x).

Per chiarire meglio il metodo cartesiano, proponiamo un nostro esempio. Si individui cioè la normale alla parabola di equazione y = x 2 nel punto B di coordinate x 0 e y 0 = x 0 2. Bisogna in primo luogo eliminare la y tra le equazioni: y = x 2 della curva e (x - v) 2 + y 2 = s 2 della circonferenza. In questo caso l’eliminazione è molto semplice, e si ottiene l’equazione (x - v) 2 + x 4 = s 2, ossia sviluppando x 4 + x 2 - 2vx + v 2 - s 2 = 0

Si impone ora che questa equazione abbia una radice doppia per x = x 0, ossia che risulti x 4 + x 2 - 2vx + v 2 - s 2 = (x - x 0 ) 2 ·(x 2 + ax + b) ovvero, sviluppando il prodotto a secondo membro, si ha: Uguagliando i coefficienti delle potenze simili, si ottiene da cui si ricava In realtà trovare il raggio s è superfluo, dato che una volta determinato il valore di v è individuato il centro C, e la normale si ottiene congiungendo C con B.

Per approfondimenti e confronti si rimanda a: