Come può essere disposta una retta in un piano in cui sia assegnato un R.C.O.?

Esiste uno strumento che permetta, dall’ equazione della retta, di stabilirne la posizione rispetto al semiasse positivo delle ascisse?

Partiamo con un esempio Determiniamo l’ equazione della retta passante per i punti A(1,1) e B(2,3) applicando la formula che permette di ricavare l’ equazione della retta passante per due punti Sostituendo le coordinate dei punti si ottiene AB:

Sviluppando i calcoli si ottiene l’ equazione 2x-y-1=0 L’ equazione della retta espressa nella forma 2x-y-1=0 è denominata implicita. In alternativa esiste un’ altra modalità detta esplicita perché essa si ottiene da quella implicita esplicitando la y in funzione della x Esprimiamo l’ equazione in forma diversa ricavando la y. Otteniamo y=2x-1 Questa è detta forma esplicita dell’ equazione della retta.

Consideriamo due punti della retta per esempio A(1,1) e B(2,3) Consideriamo due punti della retta per esempio A(1,1) e B(2,3). Calcoliamo il rapporto tra le differenze delle ordinate e delle ascisse dei punti: Nell’ equazione y=2x-1 chiamiamo 2 coefficiente angolare della retta e -1 ordinata all’ origine della retta Cosa rappresentano 2 e -1? 2

Cioè 2 rappresenta il rapporto tra gli incrementi che la y e la x dei punti della retta subiscono quando passano da A a B. Se consideriamo altri due punti della retta il rapporto cambia? Consideriamo ad esempio i punti C(-1, -3) e D(3,5) 2 Abbiamo ottenuto di nuovo 2. Questo numero è invariante comunque si scelgano due punti della retta

E il numero -1 cosa rappresenta? Osserviamo il grafico della retta

y 2 (2,3) (1,1) x -1 è l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate

Osserviamo che la retta in questo caso forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo acuto

Come è disposta nel piano una retta con coefficiente angolare negativo?

Consideriamo ora la retta y=-2x+3 e due suoi punti: A(-2,7)e B (1,1) Consideriamo ora la retta y=-2x+3 e due suoi punti: A(-2,7)e B (1,1) .Il rapporto tra gli incrementi delle ordinate e delle ascisse è y -2<0 L’ angolo è ottuso x

Più in generale:   Consideriamo una retta in posizione generica nel piano rispetto al riferimento cartesiano ortogonale di equazione è ax+by+c=0

Come sappiamo la sua equazione ax+by+c=0 dove a, b, c, sono rispettivamente pari a:

L’ equazione y=mx+q è detta equazione esplicita della retta Se b 0 l’equazione ax+by+c=0, può scriversi: by=-ax-c, e dividendo ambedue i membri per b, otteniamo Posto e y=mx+q l’ equazione (*) diventa L’ equazione y=mx+q è detta equazione esplicita della retta

è detto coefficiente angolare della retta è detto ordinata all’ origine della retta

Quale è il significato di m?

Essendo a=yB-yA e b=xA-xB, risulta m= m rappresenta cioè il rapporto tra le ordinate e le ascisse di due qualunque punti della retta

cioè il coefficiente angolare m della retta passante per i punti A(xA,yA) e B(xB,yB) è uguale al rapporto degli incrementi che le ordinate e le ascisse dei punti subiscono passando da A a B. Tale rapporto è invariante per ogni coppia di punti presi a piacere sulla retta r .

In particolare Se m>0 la retta a forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo acuto Angolo acuto

Se m<0 la retta a forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo ottuso Angolo acuto Angolo ottuso

Cosa succede se b=0, cioè se xA=xB?

Se b=0 , essendo non si può determinare il valore di m.

E se m=0?

In tal caso l’equazione y=mx+q diventa y=q e questa rappresenta una retta parallela all’ asse delle ascisse y=q q

In quale punto una retta di equazione y=mx+q interseca l’asse delle ordinate?

Ricordiamo che tutti e soli i punti dell’ asse delle ordinate hanno ascissa nulla. Vediamo cosa succede nell’ equazione della retta se x=0

Ecco quindi che il numero q rappresenta l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate