Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006

Da bambini, con le forbici e un foglio di carta pieghiamo il foglio a metà ritagliamo un motivo apriamo il foglio Le due parti della figura sono “simmetriche”

Simmetria o riflessione rispetto a una retta Trasformazione del piano su se stesso: ogni punto P ha un corrispondente P’ I punti di r sono fissi se P fuori di r, PP’ è perpendicolare a r e la incontra nel punto medio tra P, P’ simmetria.fig

Proprietà della riflessione Segmenti vanno in segmenti Segmenti corrispondenti sono uguali Si conservano gli angoli Triangoli corrispondenti sono congruenti Sinistro  destro

Con le forbici e una striscia di carta ripiegata

Con due riflessioni….

Si ottiene una nuova trasformazione traslatriango.fig

La traslazione Segmenti da un punto al suo traslato sono paralleli, uguali, orientati nello stesso verso Rette corrispondenti sono parallele Destro  destro

Nessun punto fisso, ma rette fisse Se si ripete una stessa traslazione, le rette nella direzione della traslazione scorrono su se stesse

Come si costruisce un motivo ornamentale?

Come costruire un fregio: I Reiterando una stessa traslazione: salti su un piede solo

Come costruire un fregio: II Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari

Come costruire un fregio: II Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari

Come costruire un fregio: III Con l’operazione risultante dalla composizione di traslazione e riflessione: è un nuovo tipo di trasformazione

Come costruire un fregio: III Con l’antitraslazione (glissoriflessione): passo normale

Come costruire fregi: IV Usando una riflessione in uno specchio perpendicolare alla direzione di traslazione, ripetendo….: salti laterali

Come costruire fregi: V Usando riflessioni con specchi perpendicolari tra loro: salto con piroetta

Un’altra trasformazione: la simmetria centrale Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi

Un’altra trasformazione: la simmetria centrale Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi

La simmetria centrale Il centro di simmetria è il punto medio tra ogni coppia di punti corrispondenti Destro va in destro

Come costruire fregi: VI Si possono usare simmetrie centrali: giravolta su un piede solo

Come costruire fregi: VII Infine, simmetrie centrali e riflessioni: salti con giravolte

Teorema Vi sono soltanto 7 modi di riempire una striscia con un motivo periodico Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999

Per uscire dalla striscia… Due riflessioni con assi incidenti producono una rotazione rotazione.fig

Proprietà della rotazione di centro O O resta fisso Ogni altro punto P va nel punto P’ che sta alla stessa distanza da O l’angolo POP’ è fisso ed è uguale all’angolo tra due rette corrispondenti

Classificazione delle congruenze (isometrie) del piano Punti fissi Nessun punto fisso Un solo punto fisso Infiniti punti fissi Diretta (pari) traslazione rotazione identità Inversa (dispari) glissorifles-sione simmetria assiale o riflessione

Quante carte da parati posso disegnare? TEOREMA. Vi sono soltanto 17 modi di ricoprire il piano con figure tutte congruenti tra di loro (Fedorov, 1891 – Pólya, 1924 ) Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999

Esempi: 1) con due traslazioni non parallele

2) con riflessioni rispetto a rette perpendicolari

3) con simmetrie centrali e traslazioni

4) con rotazioni di 120°

Pavimenti, trapunte… Si può fare un pavimento con mattonelle a forma di un poligono regolare, tutte congruenti tra di loro, “lato contro lato”? Non come nel secondo e terzo esempio

La trapunta più semplice

Con quali poligoni regolari si può costruire una trapunta? In un vertice si vogliono “incastrare” k poligoni se ciascun poligono ha in quel vertice un angolo , per chiudere l’incastro deve essere k  = 360° Quali poligoni regolari hanno angoli che siano sottomultipli di 360°?

Quanto misurano gli angoli di un poligono regolare? Triangolo equilatero: 180/3 gradi Quadrato: 360/4 gradi Pentagono? 5 triangoli… 180° per 5 ….meno 360° nel centro, in tutto gli angoli assommano a 180(5 – 2)°= 540°

Una coperta di pentagoni… 540 : 5 = 108 L’angolo del pentagono misura 108° Tre in un vertice: 108 + 108 + 108 < 360 Quattro in un vertice: 108 per 4 > 360….

Non si può fare!

Solo tre Gli unici poligoni regolari che pavimentano il piano sono: Triangoli (equilateri) Quadrati Esagoni (regolari) Pavimenti di poligoni non regolari ?

Pavimenti di rettangoli, parallelogrammi….

Quadrilateri….

Alla maniera di Escher un quadrato ABCD sostituisco il segmento AB con una curva o una spezzata con la traslazione di vettore AD creo un nuovo lato con estremi D,C traslo la nuova mattonella

Su un reticolo quadrato

Su un reticolo quadrato

Con traslazioni e riflessioni

Glissoriflessione e traslazioni

Rotazioni......

Riflessioni, rotazioni….

Quanti centri di rotazione?

E nello spazio? Simmetria rispetto ad un piano http://specchi.mat.unimi.it/ http://matemilano.mat.unimi.it/

Con uno specchio e mezzo modello

Con due specchi Basta un quarto dell’edificio

Problema E’ possibile “impadronirsi dello spazio” (H. Freudenthal) lavorando su fotografie, disegni, software sofisticati? Può essere “meglio un brutto modello che una bella figura” (Maria Dedò) ?