FUNZIONE: DEFINIZIONE A Una FUNZIONE è una LEGGE che ad ogni elemento di un dato insieme A, detto DOMINIO, associa uno ed un solo elemento di un insieme B, detto CODOMINIO. Noi parleremo di funzioni numeriche, ovvero il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi di R B f x1 y1 y2 x2 y3 x3 y4

FUNZIONE: DEFINIZIONE A Si dice che y1 è IMMAGINE di x1 tramite la funzione f, y2 è immagine di x2 attraverso la f e così via. Si scrive y1=f(x1); y2=f(x2). L’insieme degli elementi di B che sono immagine di almeno un elemento di A è detto INSIEME DELLE IMMAGINI Si dice che x1 è CONTROIMMAGINE di y1 tramite f B f x1 y1 y2 x2 y3 x3 y4

FUNZIONE: DEFINIZIONE Questa è una funzione Questa non lo è A B A B x1 y1 x1 y1 y2 x2 y2 x2 y3 x3 y3 x3 y4 y4

FUNZIONI In altre parole puoi pensare ad una funzione come ad una macchina che prende in ingresso un valore x, lo lavora, e poi butta fuori il valore di x «lavorato», ovvero la y.

FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può essere rappresentata in modo insiemistico coi diagrammi di Wenn: in questo caso la freccia indica la legge. Molto intuitivo ma poco pratico. B f x1 y1 y2 x2 y3 x3 y4

FUNZIONE: Rappresentazione Se sia A che B sono sottoinsiemi dei numeri reali, una funzione può essere rappresentata tramite il suo grafico, ovvero l’insieme dei punti di coordinate (x,y) tali che x appartiene ad A e y è l’immagine di x attraverso la funzione Q y2 y1 P (x1, y1=f(x1)) x1 x2

FUNZIONI: ELEMENTI ESSENZIALI Assegnare una funzione significa assegnare: 1) Il suo dominio 2) La procedura , dato x elemento del dominio, per determinare la sua immagine f(x).

FUNZIONE: procedura Il modo con cui data x si determina f(x) può essere fornito tramite un’equazione nelle lettere x e y, sia in forma esplicita y=f(x), che implicita F(x,y)=0

FUNZIONE: Rappresentazione Una funzione può anche essere definita PER CASI, ovvero possono esserci modi differenti per determinare f(x) a seconda dei valori di x

FUNZIONE: valore assoluto Un esempio è la funzione VALORE ASSOLUTO y=|x|

FUNZIONE: funzione segno Un altro è la funzione segno 1 -1

FUNZIONE: parte intera 3 La funzione “parte intera di x”, che ad ogni numero associa la sua parte intera 2 1 1 2 3 4

FUNZIONE: iniettiva f A B Una funzione si dice INIETTIVA se: ogni elemento di B ha al più una controimmagine in A, ovvero se: ad elementi distinti del dominio essa associa elementi distinti del codominio f non è iniettiva perché y3 ha due controimmagini: x3 e x4 B f x1 y1 y2 x2 y3 x3 x4 y4

FUNZIONE: suriettiva f A B Una funzione si dice SURIETTIVA se: ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A ovvero se: l’insieme delle immagini coincide con il codominio f non è suriettiva perché y4 non ha controimmagine B f x1 y1 y2 x2 y3 x3 x4 y4

FUNZIONE: biunivoca A Una funzione si dice BIUNIVOCA se è iniettiva e suriettiva B f x1 y1 y2 x2 y3 x3 x4 y4

FUNZIONE: classificazione FUNZIONI ALGEBRICHE: sono quelle nella cui espressione si trovano solo le quattro operazioni, l’elevamento a potenza, l’estrazione di radice FUNZIONI TRASCENDENTI: funzione esponenziale e logaritmica, le funzioni goniometriche e tutte le loro combinazioni

FUNZIONE: classificazione FUNZIONI RAZIONALI: sono quelle in cui l’incognita x non compare sotto segno di radice FUNZIONI IRRAZIONALI: sono quelle in cui la x compare sotto segno di radice

FUNZIONE: classificazione FUNZIONI INTERE: sono quelle in cui la x compare solo al numeratore FUNZIONI FRATTE: sono quelle in cui la x compare al denominatore

FUNZIONE: ricerca del dominio Il dominio di una funzione è il più grande sottoinsieme dei numeri reali x, per i quali la procedura che definisce la funzione ha significato, ovvero per i quali si può calcolare la f(x). La ricerca del dominio dipende dal tipo di funzione

FUNZIONE: ricerca del dominio in una funzione FRATTA bisogna porre il denominatore diverso da zero in una funzione IRRAZIONALE con indice pari bisogna porre il radicando maggiore o uguale a zero in una funzione logaritmica bisogna porre l’argomento maggiore di zero nella funzione tangente l’argomento deve essere diverso da /2+k

FUNZIONE: crescente Intuitivamente, una funzione è CRESCENTE quando, all’aumentare del valore di x, aumenta anche il valore di y f(x2) f(x1) x1 x2

FUNZIONE: crescente Rigorosamente, una funzione si dice CRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se: per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, se allora si ha che

FUNZIONE: decrescente Analogamente, una funzione si dice DECRESCENTE in un dato intervallo I del dominio se: per ogni coppia di valori x1 e x2 appartenenti ad I, se allora si ha che

FUNZIONE: monotonia Una funzione che, in un intervallo, risulti o crescente o decrescente, si dice MONOTONA in tale intervallo.

FUNZIONE: pari Una funzione si dice PARI se: 1) 2) Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y

FUNZIONE: dispari Una funzione si dice DISPARI se: 1) 2) Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine degli assi

FUNZIONE: periodica Una funzione si dice PERIODICA se: esiste un numero T>0, tale che per ogni x del dominio. Il minore dei valori di T si dice PERIODO

FUNZIONE: funzione invertibile Sia f una funzione iniettiva. Allora f è INVERTIBILE ovvero le legge che ad ogni elemento di imf associa la sua controimmagine è una funzione. Tale funzione è detta FUNZIONE INVERSA e si indica con il simbolo A B f-1 x1 y1 y2 x2 y3 x3 y4

FUNZIONE: funzione inversa Osserviamo che : Il dominio di coincide con imf . Mentre im coincide con il dominio di f. Questa osservazione può essere sfruttata per trovare l’insieme delle immagini di una funzione , ovviamente se essa è invertibile.

FUNZIONE: invertibilità e monotonia Se una funzione è crescente allora è anche invertibile; infatti non si verifica mai che assuma due volte lo stesso valore perciò è sicuramente iniettiva f(x2) f(x1) x1 x2

FUNZIONE: invertibilità e monotonia Lo stesso se la funzione è decrescente. Quindi: SE UNA FUNZIONE E’ MONOTONA ALLORA E’ INVERTIBILE f(x1) f(x2) x1 x2

FUNZIONE: invertibilità e monotonia Attenzione : non vale il viceversa! Ad esempio la funzione nel grafico non è monotona, ma è invertibile.

FUNZIONE: funzione invertibile N.B: Anche se una funzione non è invertibile su tutto il suo dominio, lo può diventare se il dominio viene ristretto. Ad esempio, la funzione non è invertibile, ma lo sono la sue restrizioni all’intervallo o all’intervallo

FUNZIONE: funzioni inverse Restrizione del dominio* Inversa Dominio y=x2 x≥0 y=√x y=x3 R y=3√x y=lnx x>0 y=ex y=senx -/2≤x≤/2 y=arcsenx -1≤x≤1 y=cosx 0≤x≤ y=arccos y=tgx y=arctgx

FUNZIONE: ricerca dell’inversa La funzione inversa si trova risolvendo l’equazione y=f(x) in funzione di x, ovvero trovando x in funzione di y.

FUNZIONE: grafico dell’inversa Il grafico di una funzione f è composto da punti di coordinate (x,y), mentre quello della funzione è composto da punti di coordinate (y,x). Allora il grafico di f e quello di sono l’uno il simmetrico dell’altro rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

FUNZIONE: funzioni uguali Due funzioni f e g sono uguali se : 1) Hanno lo stesso dominio (domf= domg) 2) Hanno la stessa procedura (f(x)= g(x)) Rispondi : le funzioni e sono uguali? Perché?

FUNZIONE: composizione Sia f: A B che x y e sia g: B C che y z . Allora è possibile definire la funzione g◦f: A C che x z

FUNZIONE: composte La composta si può così indicare g(f(x)) oppure g◦f(x)

Grafici: esponenziale

Grafici: logaritmo naturale

Grafici: seno

Grafici: arcoseno

Grafici: coseno

Grafici: arcocoseno

Grafici: tangente

Grafici: arcotangente

Grafici: quadratica

Grafici: cubica

Grafici: radice quadrata