LA FRAZIONE COME OPERATORE

Finora hai usato i numeri naturali (N) per indicare le quantità ed hai operato con essi risolvendo le operazioni aritmetiche. Ci sono situazioni però in cui i numeri naturali non sono adatti per esprimere una certa quantità. In questi casi ci vogliono strumenti più potenti, cioè numeri con un aspetto nuovo: sono le frazioni. Vediamo di cosa si tratta.

Sei andato in pizzeria con gli amici ma non hai molta fame e delle 4 fette in cui hai suddiviso la tua pizza ne mangi solo 3. Puoi esprimere tutto questo dicendo che hai mangiato i tre quarti della pizza.

3 — 4 Due numeri così scritti formano una frazione e si leggono " tre quarti " oppure " tre fratto quattro ". In una frazione si distinguono: 3 — 4 NUMERATORE: indica quante parti dell’intero si considerano LINEA DI FRAZIONE: corrisponde all’operazione di divisione DENOMINATORE: indica quante parti uguali è stato diviso l’intero

UNITA’ FRAZIONARIA Considera una torta e immagina di dividerla in 4 parti uguali; ciascuna parte è un quarto della torta e per indicarlo si scrive così 1 — 4 Considera un rettangolo e immagina di dividerlo in 5 parti uguali; ciascuna parte è un quinto del rettangolo e per indicarlo si scrive così 1 — 5

unità frazionarie e diamo la definizione Considera un quadrato e immagina di dividerlo in 9 parti uguali; ciascuna parte è un nono del rettangolo e per indicarlo si scrive così 1 — 9 1 — 9 1 — 4 1 — 5 Chiamiamo unità frazionarie e diamo la definizione

L‘ "OPERATORE" FRAZIONE Pensa alla torta di prima e immagina di volerne mangiare 3 fette Pensa al rettangolo di prima e immagina di volerne considerare 2 parti

Pensa al quadrato di prima e immagina di volerne considerare 7 parti

di 12 significa calcolare 12:3x1 Una frazione agisce (opera) anche sui numeri: Calcoliamo di 12 Applicare a 12 vuol dire dividere 12 in tre parti uguali e considerare una sola di queste parti, quindi di 12 significa calcolare 12:3x1 ESEMPIO

1 X 12 = 4 3 Divido i 12 cioccolatini in tre gruppi uguali , ogni gruppo contiene 4 cioccolatini

IN QUESTA UNITA' DIDATTICA IMPARI: FRAZIONI PROPRIE FRAZIONI IMPROPRIE E APPARENTI FRAZIONI COMPLEMENTARI

FRAZIONI PROPRIE Proviamo a considerare i 3/5 di una cioccolata Per fare ciò dobbiamo dividere la cioccolata in 5 PARTI uguali e considerarne 3. Il risultato che si ottiene è una grandezza minore dell'intera cioccolata. Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano una parte più piccola dell'intero, si chiamano "frazioni proprie". Esse hanno il numeratore minore del denominatore.

FRAZIONI IMPROPRIE Proviamo a considerare i 5/2 di una cioccolata.

Il risultato che si ottiene è una grandezza maggiore di un'intera cioccolata: in questo caso sono state considerate due cioccolate e mezza. Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano una parte più grande, si chiamano "frazioni improprie". Esse hanno il numeratore maggiore ma non multiplo del denominatore

FRAZIONI APPARENTI Proviamo a considerare i 6/2 di una cioccolata.

Una frazione si dice apparente se, operando con essa su una grandezza, si ottiene una grandezza omogenea congruente o multipla di quella data. Una frazione apparente presenta il numeratore uguale  o multiplo del denominatore.

N D N<D ? N=nxD? DATA LA FRAZIONE si FRAZIONE PROPRIA no si APPARENTE si no FRAZIONE IMPROPRIA

FRAZIONI COMPLEMETARE Due frazioni sono complementari quando insieme formano l'intero, cioè una completa l'altra. 8 3 8 5 8 1 4 3 4 4 = + + =

CONFRONTO DI FRAZIONI 4 5 3 5 > 5 6 5 8 > Se due frazioni hanno lo stesso denominatore è maggiore quella con numeratore maggiore 4 5 3 5 > Se due frazioni hanno lo stesso numeratore è maggiore quella con denominatore minore 5 6 5 8 >

4 5 Fra una frazione propria ed una frazione impropria è maggiore la frazione impropria 6 5 4 5 6 5 < Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore o lo stesso numeratore o non sono una propria e l’altra impropria si procede trovando frazioni equivalenti a quelle date attraverso il m.c.m. dei denominatori e l’applicazione della proprietà invariantiva (numero razionale e classi di equivalenza)

Definizione (confronto in Qa) Dati due numeri razionali a = [m/n] e  b = [p/q], si dice che  a<b se e solo se  mq<np. Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che l'esito del confronto non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare a, b.

FRAZIONI EQUIVALENTI E LORO APPLICAZIONI Frazioni riducibili e irriducibili Semplificazione di una frazione: metodi Riduzione di una frazione ai minimi termini Trasformazione di una frazione in altra equivalente di denominatore assegnato Riduzione di più frazioni al minimo comune denominatore

FRAZIONI RIDUCIBILI E FRAZIONI IRRIDUCIBILI 6 8 Consideriamo la frazione proviamo ad applicare ad essi la proprietà invariantiva dividendo i loro termini per uno stesso numero: 6 8 6:2 8:2 3 4 = = possiamo applicarla perchè 8 e 10 ammettono come divisore comune 2.

3 8 Consideriamo ora la frazione non possiamo applicare la proprietà invariantiva perchè 3 ed 8 non ammettono divisori comuni, essendo numeri primi tra loro. Diremo che è una frazione RIDUCIBILE. Diremo che è una frazione IRRIDUCIBILE. 6 8 3 8 Una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore hanno divisori comuni. Una frazione si dice irriducibile se numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, cioè non hanno divisori comuni.