La Retta

2) Equazione della retta 1) Luogo geometrico 2) Equazione della retta 3) Coefficiente angolare 4) Ordinata all’origine 5) Assi cartesiani 6) Passante per l’origine degli assi 8) Rette Perpendicolari 7) Rette Parallele 9) Parallela all’asse delle X 10) Parallela all’asse delle y 11) Intersezioni fra rette Fine

LUOGO GEOMETRICO

La retta è il luogo geometrico degli infiniti punti È l’insieme di tutti i punti del piano che soddisfano una stessa proprietà. La retta è il luogo geometrico degli infiniti punti tutti allineati fra di loro y x Possono essere definiti come luoghi geometrici la retta, l’asse di un segmento, la parabola ecc..

L’asse di un segmento può essere definito come il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. M A B

La parabola è definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.

Ogni equazione di 1° grado, Equazione della retta Ogni equazione di 1° grado, in due variabili x e y, ha come grafico una retta Ogni retta del Piano si può considerare come il grafico di una equazione del tipo: ax + by + c = 0

m = coefficiente angolare EQUAZIONE DI UNA RETTA Forma IMPLICITA Forma ESPLICITA Y = - a/b x – c/b y = m x + q ax + by + c = 0 m = coefficiente angolare q = intercetta

Il coefficiente angolare di una retta rappresenta la sua inclinazione L’INCLINAZIONE PUO’ ESSERE POSITIVA Nulla NEGATIVA m > 0 m = 0 m < 0

Inclinazione positiva L’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x è minore di 90° y a < 90° x

Inclinazione negativa L’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x è maggiore di 90° y a > 90° x

parallela all’asse delle x Inclinazione nulla M=0 y Se M=0 la retta sarà parallela all’asse delle x x

Retta passante per l’origine degli assi EQUAZIONE BISETRICI

Una retta passante per l’origine ha equazione y = mx (q = 0) y o x

La bisettrice è il luogo dei punti equidistanti da due rette incidenti Y = X Y = - X Bisettrice del I e III quadrante Bisettrice del II e IV quadrante y y Ⅱ Ⅰ x x Ⅲ Ⅳ

COEFFICIENTE ANGOLARE FASCIO IMPROPRIO DI RETTE RETTE PARALLELE Due rette sono parallele quando non si incontrano mai e mantengono sempre la stessa distanza COEFFICIENTE ANGOLARE FASCIO IMPROPRIO DI RETTE

Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare sono parallele m1= m2 r 1||r2 r1 ) y = m1x + q r2) y = m2x + q y x x

Una serie infinita di rette parallele forma un FASCIO IMPROPRIO La sua equazione è y – y0 = m(x – x0) y x

Retta parallela all’asse delle x Retta parallela all’asse delle ascisse X Y by + c = 0 Retta parallela all’asse delle x X Una retta è parallela all’asse delle ascisse (X) quando nella sua equazione manca il termine con la X(a=0), quindi il suo coefficiente angolare (m= - a/b) è uguale a zero. Esempio

y = q Equazione completa di una retta in forma esplicita: Y = mx + q Equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse: y = q Esempio y= 3 x y 1 2 3 x y 1 2 3 Retta y = 3

Retta parallela all’asse y

Retta parallela all’asse delle y ax+c=0 b=0 Una retta è parallela all’asse delle y quando nella sua equazione manca il termina con la y perché b = 0 y r x La retta non incontrerà mai l’asse delle y pertanto né il suo coefficiente angolare m = - a/b , né la sua intercetta q = - c/b sono calcolabili Esempio

ax + c = 0 Equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate: Equazione completa di una retta in forma implicita: bY + c = 0 Equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate: ax + c = 0 Esempio x = 3 x y y 3 1 2 2 1 x 3

Rette perpendicolari

Rette perpendicolari: Due rette sono perpendicolari quando incontrandosi formano Angoli di 90° y 90° 90° X

Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari uno l’opposto dell’inverso dell’altro Quando due rette sono perpendicolari il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a - 1 y ESEMPIO r1) Y = 2X – 3 r2) Y = - 1/2 X + 5 m1 = 2 m2 = -1/2 m1 * m2 = - 1 X

Assi Cartesiani

Sono due rette orientate e perpendicolari y Le frecce indicano il verso positivo degli assi x

Asse delle y o asse delle ordinate La sua equazione è x = 0 y Su di essa si misura la distanza del punto dall’asse delle ascisse y X

Su di essa si misura la distanza del punto dall’asse delle ordinate Asse delle x o asse delle ascisse La sua equazione è y = 0 y Su di essa si misura la distanza del punto dall’asse delle ordinate x X

Intersezione fra rette Punto d’intersezione Sistema di equazione Fascio proprio di rette

Rette incidenti nel punto Il Punto di intersezione fra rette è il punto nel quale esse si incontrano y Rette incidenti nel punto P = (x0;y0) P y0 x x0

Per determinare il punto di intersezione fra rette è necessario risolvere il sistema fra le equazioni delle rette stesse Rette parallele: il sistema si dice IMPOSSIBILE y x0 y0 P x y Rette incidenti nel punto P=(x0;y0) Il sistema si dice DETERMINATO x y Rette coincidenti: il sistema si dice INDETERMINATO x

È l ’insieme di tutte le rette Che passano per uno stesso Punto (x0 ; y0) x0 y0 y Equazione del fascio: y - y0=m (x - x0) x

L'intercetta Ordinata all’Origine

L’intercetta è l’ordinata all’origine cioè il punto di intersezione tra retta e asse y q

y = m x + q DELL’EQUAZIONE DI UNA RETTA IN FORMA ESPLICITA TERMINE NOTO DELL’EQUAZIONE DI UNA RETTA IN FORMA ESPLICITA Esempio

y 2x -3y – 6 = 0 Forma implicita 2x - 3y – 6 = 0 x 1 2 3 -1 x -2 Y = 2/3 x – 2 Forma esplicita intercetta