Dalla delocalizzazione al teletrasporto passando Per la non località F I S I C A Q U A N T I S T I C A Nicola Ghiringhelli

Indice Concetti fondamentali (elenco) Interferometro di Mach-Zehnder  Superposizione Interferometro di Franson  Intrecciamento Correlazioni e non località Teletrasporto Conclusione

CONCETTI DI BASE Sistema Osservabile Stato Equazione agli autovalori Evoluzione temporale Probabilità oggettiva Misura e PMI

Sistema È il “protagonista” dell’esperienza Due categorie: Sistemi semplici: 1 particella alla volta Sistemi composti: > 1 particella 

Osservabile  Apparecchio di misura Osservabili Osservabile  Apparecchio di misura Esempio: Sistema: punto materiale Osservabili: posizione (X) e quantità di moto (P) A ogni rilevatore associamo 0 oppure 1 Si rappresentano con le matrici (autoaggiunte):

Stato  Informazione sul sistema Tipi di stati: Stato misto: conoscenza parziale,  matrice densità , ossia Stato puro: conoscenza massimale,  vettore Stato di conoscenza assoluta per una osservabile

Equazione agli autovalori Equazione all’autovalore di un’osservabile : Autovalore dell’osservabile (valore che si può osservare) Matrice autoaggiunta che rappresenta l’osservabile Autovettore dell’osservabile (stato di conoscenza assoluta per questo osservabile) Quando si misura un’osservabile si possono osservare solo gli autovalori associati alla sua matrice. autovettore di A  è uno stato di conoscenza assoluta per l’osservabile A. Esempio:

Stato Stati puri: vettori  Eq. all’autovalore 0 di X: Eq. all’autovalore 1 di Y:  Eq. all’autovalore 1 di X: Eq. all’autovalore 0 di Y: Quindi Risolvendo si trova lo stato Gli stati sono ortogonali e formano una base ortonormata di C2.

Evoluzione temporale Evoluzione temporale: processo deterministico Deve essere mantenuta l’ortogonalità fra gli stati  l’evoluzione è descritta da delle matrici unitarie , deve valere Matrice aggiunta di Matrice inversa di Stato iniziale  Evoluzione  Stato finale 

Evoluzione temporale Separatore di fascio: Specchio (t = 0 e r = 1): Allungamento : Quindi lo stato finale è:

STATO DI SUPERPOSIZIONE Uno stato di superposizione è della forma: Ciò significa che il sistema è nello stato di super- posizione di e , ossia è potenzialmente in entrambi gli stati (“esplora” entrambi i cammini).

Probabilità oggettiva dove con autovettore associato all’autovalore

Misura: processo non deterministico Misura e pmi Misura: processo non deterministico Postulato della misura ideale (PMI): La misura dà come risultato il valore  il sistema è nello stato (di conoscenza assoluta) associato all’autovalore Probabilità oggettive Se D1 dà 1 (D2 dà 0): Se D1 dà 0 (D2 dà 1):

Separatore del fascio (BS) a) La particella viene trasmessa: BS Sorgente b) ... oppure la particella viene riflessa: BS Sorgente

L’interferometro di Mach-Zehnder VERIFICA SPERIMENTALE BS1 BS2 Specchio D2 D1 Si constata che: 1) La previsione 50% in D1 e 50% in D2 si rivela falsa. 2) Una modifica su un cammino influenza entrambi i cammini. 50 % 50 % VERIFICA SPERIMENTALE 25% + 25% 50 % 50 % 100 % 0 % 50 % 50 % 0 % 25 % 100 % + 25%

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 Sistema È il “protagonista” dell’esperienza Due categorie: Sistemi semplici: 1 particella alla volta Sistemi composti: > 1 particella

L’interferometro di Mach-Zehnder Osservabile  Apparecchio di misura BS1 BS2 SP D2 D1 Osservabili Osservabile  Apparecchio di misura Esempio: Sistema: punto materiale Osservabili: posizione (X) e quantità di moto (P) A ogni rilevatore associamo 0 oppure 1 Si rappresentano con le matrici (autoaggiunte):

L’interferometro di Mach-Zehnder Stato  Informazione sul sistema BS1 BS2 SP D2 D1 Stato Stato  Informazione sul sistema Tipi di stati: Stato misto: conoscenza parziale,  matrice densità , ossia Stato puro: conoscenza massimale,  vettore Stato di conoscenza assoluta per una osservabile

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 Equazione agli autovalori Equazione all’autovalore di un’osservabile : Autovalore dell’osservabile (valore che si può osservare) Matrice autoaggiunta che rappresenta l’osservabile Autovettore dell’osservabile (stato di conoscenza assoluta per questo osservabile) Quando si misura un’osservabile si possono osservare solo gli autovalori associati alla sua matrice. autovettore di A  è uno stato di conoscenza assoluta per l’osservabile A. Esempio:

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 Stato Stati puri: vettori  Eq. all’autovalore 0 di X: Eq. all’autovalore 1 di Y:  Eq. all’autovalore 1 di X: Eq. all’autovalore 0 di Y: Quindi Risolvendo si trova lo stato Gli stati sono ortogonali e formano una base ortonormata di C2.

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 Evoluzione temporale Evoluzione temporale: processo deterministico  l’evoluzione è descritta da delle matrici unitarie , deve valere  deve essere mantenuta l’ortogonalità fra gli stati Matrice aggiunta di Matrice inversa di Stato iniziale  Evoluzione  Stato finale

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 Evoluzione temporale Separatore del fascio: Specchio (t = 0 e r = 1): Allungamento : Quindi lo stato finale è:

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 STATO DI SUPERPOSIZIONE Uno stato di superposizione è della forma: Ciò significa che il sistema è nello stato di super- posizione di e , ossia è potenzialmente in entrambi gli stati (“esplora” entrambi i cammini).

L’interferometro di Mach-Zehnder Probabilità oggettiva BS1 BS2 SP D2 D1 Probabilità oggettiva dove con autovettore associato all’autovalore

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 Misura e pmi Misura: processo non deterministico Postulato della misura ideale (PMI): La misura dà come risultato il valore  il sistema è nello stato (di conoscenza assoluta) associato all’autovalore Probabilità oggettive Se D1 dà 1 (D2 dà 0): Se D1 dà 0 (D2 dà 1):

L’interferometro di Mach-Zehnder BS1 BS2 SP D2 D1 Le interferenze appaiono quando una particella può percorrere più cammini per giungere al detettore e questi percorsi sono indiscernibili dopo la detezione. Le interferenze non sono spiegabili con la teoria classica ondulatoria. Una modifica su un solo cammino influisce anche sull’altro (stato di superposizione).

L’interferometro di Franson SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente Si constata che: Vi sono delle correlazioni (anti-correlazioni) Una modifica su un solo cammino di una sola particella influisce anche sull’altra. + 1 + 1 Sorgente - 1 - 1 Risultati - 1 + 1 1 - 1 + 1 1 - 1 + 1 + 1 - 1

L’interferometro di Franson SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente Sorgente 2 1 Sistema Una coppia di particelle (sistema composto) Particella 1: Particella 2:

L’interferometro di Franson SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente 1 2 Osservabili Come nell’interferometro di Mach-Zehnder: A ogni rilevatore associamo 0 oppure 1 Si rappresentano con le matrici (autoaggiunte):

L’interferometro di Franson SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente 1 2 Stato Stati: Stato del sistema: Esempio: Stato iniziale:

L’interferometro di Franson Evoluzione temporale (1) SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente Evoluzione temporale (1) Parte : Allungamenti e : Specchi : Beam splitter (BS) : Applicando in ordine queste evoluzioni si ottiene: Quindi:

L’interferometro di Franson Evoluzione temporale (2) SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente Evoluzione temporale (2) Parte : Specchi : Beam splitter (BS) : Applicando in ordine queste evoluzioni si ottiene: Quindi: Lo stato finale è :

L’interferometro di Franson SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente 1 2 STATO INTRECCIATO Uno stato intrecciato è della forma: Gli stati in che non si possono scrivere nella forma si chiamano stati intrecciati.

L’interferometro di Franson Probabilità oggettiva SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente 1 2 Probabilità oggettiva

L’interferometro di Franson SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente 1 2 Misura Correlazioni: Risultato di una particella  Risultato dell’altra Se : Correlazione:

L’interferometro di Franson SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente

Sistema Una coppia di particelle (sistema composto) Particella 1: Particella 2: 

Osservabili Come nell’interferometro di Mach-Zehnder: A ogni rilevatore associamo 0 oppure 1 Si rappresentano con le matrici (autoaggiunte):

Stato Stati: Stato del sistema: Esempio: Stato iniziale:

Evoluzione temporale (1) Parte : Allungamenti e : Specchi : Beam splitter (BS) : Applicando in ordine queste evoluzioni si ottiene: Quindi:

Evoluzione temporale (2) Parte : Specchi : Beam splitter (BS) : Applicando in ordine queste evoluzioni si ottiene: Quindi: Lo stato finale è :

STATO INTRECCIATO Uno stato intrecciato è della forma: Gli stati in che non si possono scrivere nella forma si chiamano stati intrecciati.

Probabilità oggettiva

Misura Correlazioni: Risultato di una particella  Risultato dell’altra Se : Correlazione:

CORRELAZIONI Come fanno due particelle separate fisicamente ad avere un comportamento così simile, ossia ad essere correlate ? SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente Sorgente

Le correlazioni potrebbero essere spiegate con 4 tesi: Teorie classiche Avviene uno scambio di informazioni fra le due particelle. Le correlazioni sono già stabilite alla sorgente. Le correlazioni sono stabilite al momento della misura. Le due particelle vanno considerate come un’unica entità Teorie non locali

1. Avviene uno scambio di informazioni fra le due particelle ? CORRELAZIONI (1) 1. Avviene uno scambio di informazioni fra le due particelle ? SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente info Questa tesi è respinta dagli esperimenti in accordo con la teoria della relatività.

Sorgente Sorgente CORRELAZIONI (2) 2. Le correlazioni sono già stabilite alla sorgente ? SP X2 BS Y2 Y1 X1 Sorgente + 1 + 1 Sorgente 1 2 - 1 - 1 Le due liste sono indipendenti (principio delle cause locali) Esempio : Criterio per verificare la validità delle teorie locali Variabile nascosta :

Finora nessuna supposizione quantistica Teorema di Bell Esiste una grandezza S, calcolabile a partire dalle variabili nascoste, tale che: Correlazioni stabilite alla sorgente  la teoria non può essere locale, ossia le correlazioni non sono stabilite alla sorgente. Disuguaglianza di Bell La disuguaglianza di Bell da verificare è : con Finora nessuna supposizione quantistica

Teorema di Bell Previsione della fisica quantistica: La disuguaglianza di Bell è violata dalla teoria quantistica, quindi F.Q. è una teoria non locale. La disuguaglianza di Bell da verificare è : con

Teorema di Bell Verifica sperimentale: Predizione teorica Risultato sperimentale: I risultati sono in perfetto accordo con la MQ. La disuguaglianza di Bell è violata dall’esperimento. La disuguaglianza di Bell da verificare è : Le correlazioni non sono stabilite alla sorgente. Nessuna teoria classica (locale) può essere usata per spiegare le correlazioni osservate. con

3. Le correlazioni sono stabilite al momento della misura ? Questa tesi è di tipo non locale, quindi le due particelle sono dipendenti (scambio di informazione). Essa è però respinta dalla teoria della relatività (come per la tesi n° 1).

4. Le due particelle vanno considerate come un’unica entità ? CORRELAZIONI (4) 4. Le due particelle vanno considerate come un’unica entità ? Questa è l’unica tesi che è in accordo con i risultati sperimentali e con la teoria della relatività: Le due particelle devono perciò essere considerate come un’unica entità (grazie agli stati intrecciati)

Esse sono la manifestazione sperimentale degli stati intrecciati: CORRELAZIONI Le correlazioni sono una delle caratteristiche fondamentali della meccanica quantistica, che la distaccano dalla meccanica classica. Esse sono la manifestazione sperimentale degli stati intrecciati:

Due particelle correlate CORRELAZIONI Due particelle correlate Andrai su o giù? Io devo andare all’opposto. Nessuna idea finché qualcuno mi misura! Nessun problema! Bohr dice che siamo parte dello stesso sistema… Aspetta! Non andare troppo lontano – non possiamo comunicare più velocemente della luce!

Teletrasporto X Y

Sorgente EPR Teletrasporto STATI Stati iniziali: Stazione di ricezione (Bob) Stazione di invio (Alice) Interazione fra A e C: Particelle correlate C Particella da teletrasportare Sorgente EPR B A

Sorgente EPR MISURA DI BELL (Alice) Teletrasporto Misura su A e C: Stato di CA (PMI) Stato di B Stazione di ricezione (Bob) Stazione di invio (Alice) - Autovalori: Misura di Bell: • 1 • 2 • 3 • 4 Particelle correlate A B C Particella da teletrasportare Sorgente EPR A B

    Sorgente EPR Teletrasporto CORREZIONE DI BOB Stato di B Stazione di ricezione (Bob) Stazione di invio (Alice)  Stato da teletrasportare:  Misura di Bell: • 1 • 2 • 3 • 4 Correzione:   Particelle correlate Particella da teletrasportare Sorgente EPR

Sorgente EPR Teletrasporto Stazione di ricezione (Bob) Stazione di invio (Alice) • 2 MESSAGGIO CLASSICO Misura di Bell: • 1 • 2 • 3 • 4 Misura di Bell: • 1 • 2 • 3 • 4 Operazione U: • 1 • 2 • 3 • 4 Misura di Alice Correzione Bits C Particelle correlate Particella teletrasportata Es:  “01”  Bob applica correzione : Particella da teletrasportare Sorgente EPR

Sorgente EPR Teletrasporto Stazione di ricezione (Bob) Stazione di invio (Alice) • 2 Misura di Bell: • 1 • 2 • 3 • 4 Operazione U: • 1 • 2 • 3 • 4 C Particelle correlate C Particella teletrasportata Particella da teletrasportare Sorgente EPR B A

StatI Stati iniziali: Interazione fra A e C:

MISURA DI BELL (Alice) Misura su A e C: Stato di CA (PMI) Stato di B - Autovalori:

    CORREZIONE DI BOB Stato di B Correzione Stato da teletrasportare:  Correzione:  

MESSAGGIO CLASSICO Misura di Alice Correzione Bits Es:  “01”  Bob applica correzione :

Teletrasporto “Definizione: maniera ipotetica di trasporto istantaneo; la materia è smaterializzata in un luogo e ricreata in un altro.”

FOTONI CORRELATI

Misura di Bell Stato iniziale Messaggio classico Correzione Teletrasporto Misura di Bell Stato iniziale Messaggio classico Correzione Sorgente EPR

Conclusione Indeterminismo (Misura) Determinismo (Evoluzione) FISICA QUANTISTICA Delocalizzazione Superposizione Non località Correlazioni Intrecciamento

Conclusioni Definizione: maniera ipotetica di trasporto istantaneo; la materia è smaterializzata in un luogo e ricreata in un altro Principio di indiscernibilità: le interferenze si verificano se una particella può percorre più vie per giungere a uno stesso detettore e questi percorsi sono indiscernibili dopo la detezione. Stato di superposizione  delocalizzazione della particella (si trova [potenzialmente] simultaneamente nei due cammini. Complementarietà: percorso e uscita di una particella non si possono conoscere assieme.

 Punti sullo schermo = detettori L’interferometro di Young S O R G E N T Intensità luce Gli effetti quantistici d’interferenza non possono essere spiegati con la teoria classica: la meccanica ondulatoria non rispetta il principio d’indiscernibilità.  Punti sullo schermo = detettori

Stern-Gerlach (spin ½) Tutti gli osservabili sono incompatibili.

L’interferometro di Franson Le interferenze si manifestano quando due (o più) particelle percorrono entrambe lo stesso percorso. Il principio d’indiscernibilità è quindi soddisfatto. Si parla di correlazioni quando entrambe giungono allo stesso detettore, e di anti-correlazioni se danno detezioni opposte. Una modifica su un solo cammino di una sola particella influisce anche sul cammino dell’altra particella (stato intrecciato). BS SP D2 D1 D2’ D1’ Sorgente

Esperienza di Rauch Quando si prendono in considerazioni due osservabili contemporaneamente (propagazione e spin) di un sistema, si usa il prodotto tensoriale per unire i sistemi. Per avere l’interferenza ad 1 particella il sistema deve soddisfare il Principio d’indiscernibilità. Qui la differenziazione è data da un campo magnetico omogeneo posto su un solo cammino. D1 D2 B Spin diverso S.

Sistema È il “protagonista” dell’esperienza Due categorie: Sistemi semplici: 1 particella Sistemi composti: > 1 particella 

Osservabile  Apparecchio di misura Esempio: Sistema: punto materiale Osservabili: posizione (X) e quantità di moto (P) Si rappresenta con una matrice A del tipo Che deve essere autoaggiunta, ossia 

Stato  Informazione sul sistema 5 tipi di stati: Stato misto: conoscenza parziale,  matrice densità , ossia Stato puro: conoscenza massimale,  vettore Stato di conoscenza assoluta per una osservabile Stato di superposizione Stato intrecciato 

Equazione agli autovalori Equazione all’autovalore di un’osservabile Autovalore dell’osservabile (valore che si può osservare nella misura di questo osservabile) Matrice autoaggiunta che rappresenta l’osservabile Autovettore dell’osservabile (stato di conoscenza assoluta per questo osservabile) Quando si misura un’osservabile si possono osservare solo gli autovalori associati alla sua matrice. autovettore di A  è uno stato di conoscenza assoluta per l’osservabile A. 

Probabilità oggettiva Probabilità di osservare il valore in una misura dell’osservabile A se il sistema è nello stato puro rappresentato dal vettore : dove con autovettore associato all’autovalore … se il sistema è nello stato di conoscenza assoluta per l’osservabile A, rappresentato dal vettore : 

Misura e pmi Misura: processo non deterministico Postulato della misura ideale (PMI): La misura dà come risultato il valore  il sistema è nello stato (di conoscenza assoluta) associato all’autovalore Esempio: incorporare con Mach-Zehnder 

Evoluzione temporale Evoluzione temporale: processo deterministico Deve essere mantenuta l’ortogonalità fra gli stati  l’evoluzione è descritta da delle matrici unitarie , deve valere Matrice aggiunta di Matrice inversa di Stato iniziale  Evoluzione  Stato finale 