DALLE EQUAZIONI ALLE disEQUAZIONI by Dipartimento di Matematica ITAer “De Pinedo” Roma

COSA SIGNIFICA RISOLVERE UNA DISEQUAZIONE? Risolvere una equazione, di primo o di secondo grado, significa trovare gli zeri della funzione polinomiale f(x)=ax+b o f(x)=ax2+bx+c. DOMANDA: COSA SIGNIFICA RISOLVERE UNA DISEQUAZIONE?

I SISTEMI DI DISEQUAZIONI Per rispondere a questa domanda affrontiamo: LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO I SISTEMI DI DISEQUAZIONI LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE DISEQUAZIONI FRATTE

Sistemi di disequazioni Tecnica di risoluzione di un sistema di due disequazioni lineari nella stessa incognita

Ricorda che un sistema di disequazioni è l'insieme di due o più disequazioni che devono essere verificate contemporaneamente. Pertanto la soluzione sarà rappresentata dalle soluzioni comuni alle singole disequazioni.

LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Ogni disequazione di secondo grado intera si può ricondurre alla forma normale LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO ax2+bx+c>o ax2+bx+c<0 con a≠0 ax2+bx+c≥o ax2+bx+c≤0 con a≠0 Per risolvere le disequazioni di 2° grado si possono usare due metodi : Il metodo grafico Il metodo algebrico

METODO GRAFICO Y = ax2+bx+c Indichiamo con y il trinomio di secondo grado: Y = ax2+bx+c funzione di secondo grado la cui rappresentazione grafica è una parabola. Risolvere una disequazione con il metodo grafico equivale a stabilire per quali valori della variabile x la parabola si trova: sopra l’asse x (y>0) oppure sotto di esso (y<0).

Si possono presentare tre casi: ∆>0  la parabola interseca l'asse delle ascisse in due punti distinti Il trinomio di secondo grado assume : Il segno di a all'esterno dell'intervallo delle soluzioni, Segno opposto ad a all'interno dell'intervallo delle soluzioni.

∆=0  la parabola interseca l'asse delle ascisse in due punti coincidenti Il trinomio di secondo grado : assume sempre Ilsegno di a tranne in x1=X2 dove si annulla.

∆<0 la parabola non interseca l'asse delle ascisse ∆<0  Il trinomio di secondo grado assume sempre Il segno di a .

Quindi Per risolvere una disequazione di secondo grado devi: 1)Risolvere l’equazione associata con la formula. 2)Disegnare la parabola con la concavità verso l’alto se a >0 ,verso il basso se a<0 3)Stabilire per quali valori della variabile x la parabola si trova sopra l’asse x (y>0) o sotto di esso (y<0). Svolgi ora i seguenti esercizi: Esercizio 1 x2-4x-5<0 Esercizio 2 2x2-6x-8≥0 Esercizio 3 -x2+2x-1≥0 Esercizio 4 x2>1 soluzione soluzione soluzione soluzione

Esercizio 1 x2-4x-5<0 1) Risolviamo l'equazione associata: 2) Disegniamo la parabola: a>0, D>0, la parabola volge la concavità verso l’alto e attraversa l’asse x in due punti. il verso della disequazione è<, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y<0; ossia: -1<x<5

Esercizio 2 2x2-6x-8≥0 1) Risolviamo l'equazione associata: 2) Disegniamo la parabola: a>0, D>0, la parabola volge la concavità verso l’alto e attraversa l’asse x in due punti. il verso della disequazione è ≥, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y≥0; ossia: x ≤ -1 o x ≥ 4

Esercizio 3 -x2+2x-1≥0 1) L’equazione ha due soluzioni coincidenti x1=x2=1. 2) Disegniamo la parabola: a<0, D=0, la parabola volge la concavità verso il basso ed è tangente all’asse x nel punto di ascissa 1. 3) il verso della disequazione è ≥, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y≥0; la disequazione non è mai verificata tranne in 1 dove si annulla: Quindi x=1 è soluzione della disequazione

Esercizio 4 x2>1 Risolviamo l'equazione associata: Attenzione!! scrivere x>±1 non ha senso!! Risolviamo l'equazione associata: x2-1=0 è pura ed ha due soluzioni opposte : x1=-1; x2= +1 . 2) Disegniamo la parabola: a>0, D>0, la parabola volge la concavità verso l’alto e attraversa l’asse x in due punti. 3) il verso della disequazione è >, di conseguenza prenderemo in considerazione quei valori della x che rendono la y>0; ossia: x< -1 o x>1

del trinomio di secondo grado METODO ALGEBRICO Ricordando quanto studiato sulla scomposizione del trinomio di 2° grado possiamo enunciare il seguente teorema: Teorema del segno del trinomio di secondo grado Un trinomio di secondo grado ax2 + bx + c , per qualunque valore di x diverso dalle radici è concorde con il segno del primo coefficiente (a), tranne nel caso in cui le radici siano reali e distinte; in tal caso il trinomio è discorde dal primo coefficiente per i valori di x interni all'intervallo delle radici.

Quanto affermato viene riassunto nel seguente schema:

Esercizi sulle disequazioni metodo algebrico La disequazione è soddisfatta nell’intervallo interno alle radici 1 La disequazione è soddisfatta negli intervalli esterni alle radici 2 3 La disequazione è sempre soddisfatta tranne in x1=x2

4 5 6 La disequazione non è mai soddisfatta . La disequazione è sempre soddisfatta .

Disequazioni frazionarie Diventerò bravissimo ! C

Una disequazione si dice frazionaria o fratta se l’incognita compare anche al denominatore. C

Una disequazione frazionaria può essere messa nella forma oppure oppure C

Per risolvere una disequazione fratta occorre: 1) Studiare il segno del numeratore; 2) Studiare il segno del denominatore ricordando che esso non può essere nullo; 3) Riportare su uno schema i risultati; 4) Stabilire il segno del rapporto in base alla regola dei segni; 5) Stabilire in quali intervalli la disequazione è soddisfatta. C

Facciamo ora qualche esempio: 1) Risolviamo la seguente disequazione di primo grado: C

Studiamo il segno del numeratore ponendo N(x)>0 otteniamo: -2-x>0 2+x<0 x<-2 Analogamente studiamo il segno del denominatore D(x)>0 e otteniamo: x-3>0 x>3 C

Riportiamo ora su un grafico il segno: a) Disegniamo l’asse reale; b) Sulla prima riga riportiamo il segno del numeratore convenendo di rappresentare con il colore rosso e il tratto continuo il segno positivo e con il tratteggio il segno negativo; c) Sulla riga successiva riportiamo il segno del denominatore avendo cura di mettere una croce nei punti in cui si annulla per ricordarci che in essi la frazione perde di significato; d) Sulla riga successiva riportiamo il segno della frazione (che si deduce in base alla regola dei segni); e) Alla fine guardiamo il segno che compare accanto alla nostra disequazione e stabiliamo quali sono gli intervalli delle soluzioni. C

-2 3 N(x) N(x) D(x) x - + - C

Solo ora guarda questo segno per stabilire le soluzioni! La nostra disequazione è: Solo ora guarda questo segno per stabilire le soluzioni! Il segno è > per cui le soluzioni sono: -2<x<3 C

Risolviamo la disequazione: C

Studiamo il segno del numeratore : N(x) ≥0 x2 - 4 ≥0 Studiamo il segno del denominatore: D(x)>0 x2- 5x+4>0 x< 1 v x> 4 Riportiamo i segni sul grafico come nell’ esempio precedente: Attento:il segno della frazione lo guarderai solo alla fine per scegliere le soluzioni! v C C

Poiché la frazione può essere anche nulla negli zeri del numeratore mettiamo un pallino per ricordarci che sono valori accettabili! -2 1 2 4 N(x) N(x) D(x) x x + - + - + C

ora devi guardare il segno! Dovendo essere la frazione negativa o nulla: ora devi guardare il segno! Le soluzioni sono date dagli intervalli in cui il rapporto è negativo o nullo, cioè: v C

3) Risolviamo ora la disequazione: C

Portiamo tutto al primo membro e riduciamo allo stesso denominatore:

Otteniamo: Studiamo il segno del numeratore: N(x) ≥ 0 5x-1≥ 0 x ≥ C

Studiamo il segno del denominatore : D(x)>0 x<-1 v x>1 riportiamo sul grafico : la parabola y=x2-1 volge la concavità verso l’alto e incontra l’asse x in -1 e 1! C

Poiché la frazione può essere anche nulla nello specchietto mettiamo un pallino nello zero del numeratore. -1 1/5 1 N(x) D(x) x x - - + + C

Dovendo essere la frazione positiva o nulla le soluzioni sono: C

Ora puoi metterti al lavoro ed esercitarti. Esercizi Siti utili per esercitati ed approfondire: http://www.liceotosi.va.it/matehelp/disequazioni/razionali_fratte/index_razionali_fratte.asp BUONA NAVIGAZIONE!

ESERCIZI CONSIGLIATI

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Partiamo dal problema : Un agente di commercio viene pagato circa 140 € alla settimana più 13€ per ogni capo venduto. Poiché deve pagare il mutuo della casa dove abita, deve provvedere alle bollette alle spese del mangiare ecc……. gli servono circa 400 € alla settimana. Quanti capi deve cercare di vendere????? Decodifichiamo il problema (purtroppo molto reale) in termini matematici: Chiamiamo X in numero dei capi di abbigliamento da vendere poiché non lo conosciamo ( incognito ) 140+13 X ≥ 400 mettiamo il segno di ≥ poiché l’agente di commercio spera di poter guadagnare qualcosa in più dello stretto necessario per vivere. A questo punto come ricaviamo la X ???????

Divido entrambi i membri per 13 Porto le x prima del maggiore o uguale ed i numeri dopo il maggiore o uguale; chi “salta” cambia di segno 13 X ≥ 400 – 140 13 X ≥ 260 Divido entrambi i membri per 13 Cioè X ≥ 20 Abbiamo trovato quanti capi (almeno 20) deve vendere l’agente di commercio per poter pagare le spese fisse che ha!!!!!!

Ora affrontiamo l’ argomento DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO in modo più teorico :  Si chiama disuguaglianza ogni scrittura della forma: A>B     o      A<B Una disequazione  è una disuguaglianza che sussiste solo per determinati valori dell’incognita che in essa figura. Si dice di primo grado quando la x vi compare a potenza 1. Ad esempio: x - 4 ≥ 3x +2 è una disequazione di primo grado Per risolvere la disequazione valgono le stesse regole delle equazioni di primo grado con una grande differenza Se moltiplico o divido per un numero negativo devo cambiare verso alla disequazione

Risolviamo:  x - 4 ≥ 3x +2 1. Porto le x prima del ed i numeri dopo il ≥ ; chi “salta” cambia di segno.  x - 4 ≥ 3x +2 x - 3x ≥ 2 + 4 2. calcolo : -2x ≥ 6 3. Divido entrambi i membri per -2 e contemporaneamente cambio di verso la disequazione. Cambiare il verso vuol dire che ≥ diventa ≤ e viceversa -2x      6 ---- ≤ -- -2      -2 Semplifico e ottengo x ≤ - 3 Quindi la soluzione è l'insieme delle x minori od uguali a -3 Si può indicare anche in altri modi, l’ultimo dei quali è il più usato (il tondino indica che il valore terminale è compreso).

Esercizi sulle disequazioni di primo grado 1) x + 3 - 3x < 5x - 2 - 8x      2) 3x + 2 - 2x ≤ 4x - 8         3) 10x + 12 - 4x > 6x - 3 4)  (x + 2)2 - 2x < x2 - 4x  -2  5)

SOLUZIONI 1) x + 3 - 3x < 5x  -2 - 8x Trasporto le x prima del < e i termini noti dopo < , chi salta cambia di segno x - 3x - 5x + 8x < - 3 - 2 sommo x < - 5 Soluzione:  2) 3x + 2 - 2x ≤ 4x - 8 Trasporto le x prima del minore o uguale, i termini noti dopo il minore o uguale e chi “salta” cambia di segno 3x - 2x - 4x ≤ - 8 - 2 sommo -3x ≤ - 10 divido per -3 e cambio di verso e semplifico e ottengo:

3)10x + 12 - 4x > 6x - 3 Trasporto le x prima del maggiore, i termini noti dopo il maggiore e chi “salta” il maggiore cambia di segno 10x - 4x - 6x > - 3 - 12 poi sommo 0 > - 15 Sempre vero (perché 0 e' sempre superiore a -15), quindi tutto R 4) (x + 2)2 - 2x < x2 - 4x  -2 Eseguo i calcoli: x2 + 4x + 4 - 2x < x2 - 4x - 2 Trasporto le x prima del minore, i termini noti dopo il minore e chi “salta” cambia di segno: x2 + 4x - 2x - x2 + 4x < - 4 - 2 Sommo (essendo esercizi su equazioni di primo grado evidentemente i termini di secondo grado dovranno annullarsi): 6x < - 6 Divido per 6 da entrambe le parti: Risultato: x < -1

5) il minimo comune multiplo e' 6 Elimino i denominatori ed eseguo le operazioni al numeratore 3x + 6 - 12x ≥ 8x + 6 Trasporto le x prima del maggiore o uguale , i termini noti dopo il maggiore o uguale e chi “salta” il maggiore o uguale cambia di segno 3x - 12x - 8x ≥ +6 - 6 poi sommo -17x ≥ 0 cambio di segno e di verso 17x ≤ 0 Divido per 17 da entrambe le parti e otteniamo x ≤ 0 soluzione: