GIOCHI MATEMATICI Prof. Nando Geronimi Gela, 18 ottobre 2007

Cosa è un gioco matematico? E’ un problema gradevole, con contenuto matematico, che desta particolare interesse per il suo carattere giocoso; deve è facilmente memorizzabile, suscitare la curiosità, sollecitare la ricerca, utile per migliorare ed approfondire le proprie e le altrui conoscenze matematiche.. Per la sua soluzione sono necessarie: attenzione lettura e nella comprensione del testo, buone abilità nella manipolazione di numeri e figure, capacità di associazione e molta fantasia. Abilità e velocità nel calcolo aritmetico servono, ma solo per “vincere” le gare di giochi matematici, non per divertirsi con la matematica.

Giochi vecchi o nuovi ? Un gioco è “vecchio” se già lo conosco ed è “nuovo” se ancora non lo conosco? È vecchio se è stato scritto molti anni fa ed è nuovo se è stato scritto e pubblicato di recente? Per me un gioco è nuovo se inizia o se continua a stimolare la mia fantasia, se mi sollecita nella ricerca di varianti, se mi soddisfa quando posso proporlo ad altri … .. è nuovo quando offre la possibilità di risolverlo con una tecnica diversa da quella che già conosco. .. è nuovo quando offre la possibilità di risolverlo con una tecnica diversa da quella che già conosco. .. è nuovo quando posso associarlo ad un personaggio storico, ed un’epoca storica.

TRE GIOCHI TRATTI DAL “LIBER ABACI” DI FIBONACCI I conigli di Fibonacci Due Pellegrini La leggenda degli scacchi

“I conigli di Fibonacci” Un tale pose una coppia di conigli in luogo circondato da ogni parte da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese ed ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le altre coppie, nate nel corso dell’anno, iniziarono a riprodursi a partire dal secondo mese dopo la nascita ed anche loro generarono una nuova coppia ogni mese. Quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno?

Risolviamolo (questa soluzione compare sul Liber Abaci d Leonardo da Pisa) “Nel margine si può vedere come ho operato: sommo il primo numero con il secondo, cioè l’1 con il 2, poi il secondo con il terzo, il terzo con il quarto, il quarto con il quinto; così, di seguito uno dopo l’altro fino a sommare il decimo con l’undicesimo, cioè 144 con 233, ottenendo 377 che è la somma delle coppie di conigli. Si può così procedere per un numero infinito di mesi.” Inizio 1 Primo 2 Secondo 3 Terzo 5 Quarto 8 Quinto 13 Sesto 21 Settimo 34 Ottavo 55 Nono 89 Decimo 144 Undicesimo 233 Ultimo 377

Un dubbio Questa soluzione risponde al quesito proposto ? NO! Inizio 1 Primo 2 Secondo 3 Terzo 5 Quarto 8 Quinto 13 Sesto 21 Settimo 34 Ottavo 55 Nono 89 Decimo 144 Undicesimo 233 Ultimo 377 Il primo mese nasce 1 coppia di conigli Le coppie di conigli sono 2 solo se conto anche la prima coppia. Il problema, così come risolto da Fibonacci, prevede di contare anche la prima coppia, la progenitrice di tutte le altre.

“Due pellegrini” Due uomini si mettono in cammino per un lungo viaggio a piedi. Il primo viaggiatore percorre ogni giorno 20 miglia, il secondo viaggiatore ne percorre 1 il primo giorno, 2 il secondo giorno, 3 il terzo e così via, aggiungendo sempre un miglio a quanto percorso il giorno precedente. Dopo quanti giorni il secondo viaggiatore raggiungerà il primo?

Scrive Fibonacci: Due uomini si mettono in cammino per un lungo viaggio a piedi. Il primo viaggiatore percorre ogni giorno 20 miglia, il secondo viaggiatore ne percorre 1 il primo giorno, 2 il secondo giorno, 3 il terzo e così via, aggiungendo sempre un miglio a quanto percorso il giorno precedente. Dopo quanti giorni il secondo viaggiatore raggiungerà il primo? “Togli 1 al doppio di 20 e trovi dopo quanti giorni il primo viaggiatore raggiungerà il secondo” 20 x 2 – 1 = 39

Dopo 39 giorni il primo viaggiatore avrà percorso 20x39= 780 miglia. Due uomini si mettono in cammino per un lungo viaggio a piedi. Il primo viaggiatore percorre ogni giorno 20 miglia, il secondo viaggiatore ne percorre 1 il primo giorno, 2 il secondo giorno, 3 il terzo e così via, aggiungendo sempre un miglio a quanto percorso il giorno precedente. Dopo quanti giorni il secondo viaggiatore raggiungerà il primo? Nell’introduzione del XII capitolo, Fibonacci insegna (tra le altre cose) a calcolare la somma di quanti si vogliono numeri a partire da 1 “Moltiplica la somma tra l’ultimo numero e 1 per quanti sono i numeri e dividi il risultato per 2” Dopo 39 giorni il primo viaggiatore avrà percorso 20x39= 780 miglia. Dopo 39 giorni il secondo viaggiatore avrà percorso (1+39)x39:2= 780 miglia raggiungendo il primo viaggiatore.

“Moltiplica la somma tra l’ultimo numero e 1 per quanti sono i numeri e dividi il risultato per 2” Molti attribuiscono questo metodo al giovane Gauss Forse perché quando ha risolto un problema simile era ancora un bambino.

“La leggenda degli scacchi” Vogliamo calcolare la somma di una successione delle potenze di 2 scritte nelle caselle di una scacchiera quadrata.

Questa è la scacchiera compilata dal computer

Seguiamo l’insegnamento di Fibonacci In una scacchiera scriviamo, in ogni casella, il doppio del numero scritto nella casella precedente; 1 2 4 8 16 32 64 128 (ecco la prima riga della scacchiera 8x8) in un’altra scacchiera scriviamo, in ogni casella, la successione delle somme dei numeri scritti a partire dalla prima casella della prima scacchiera. 1 3 7 15 31 63 127 255

scrive Fibonacci 1 2 4 8 16 32 64 128 “nelle caselle della seconda scacchiera, scrivi il doppio del corrispondente numero della prima scacchiera meno 1. Il numero scritto è la somma dei numeri della prima scacchiera”. 1 3 7 15 31 63 127 255

scrive Fibonacci 128 “256 moltiplicato per sé stesso fa 65536, che supera di 1 la somma delle potenze di 2 scritte nelle prime 16 caselle. 65536 moltiplicato per sé stesso fa 4294967296 che supera di 1 la somma delle potenze di 2 delle prime 32 caselle. 4294967296 moltiplicato per sé stesso fa 18446744073709551616 che supera di 1 la somma di tutte le potenze di 2 scritte nella scacchiera 8x8” 255 65536 4 294 967 296 18 446 744 073 709 551 616 UN NUMERO IMPOSSIBILE DA MEMORIZZARE

scrive Fibonacci Immaginiamo di porre 1 denaro nella prima casella della scacchiera, 2 nella seconda casella, 4 nella terza, 8 nella quarta, così via. Nell’ottava casella avremo 128 denari e la somma di tutti i denari posti nelle otto caselle è 255 (uno in meno di 2 elevato alla ottava potenza). (Nei calcoli successivi dimentichiamoci pure di questo 1 da togliere). La somma delle monete contenute nelle prime due righe (16° casella) ammonta a 65.536 denari Mettiamole in una cassa e passiamo al terza riga…..

Quanti denari? 65536 denari = 1 cassa 65536 casse = 1 casa 65536 case = 1 città 65536 città = 1 ?