Progetto Complex Systems in Economics Seminario di studio Modelli dinamici, portfolio management, analisi del rischio Trieste, Facoltà di Economia 7 febbraio 2005 Lidea di campo finanziario nei modelli di portafoglio (a cura di Maurizio Fanni e Michele Ibba)

2 Obbiettivi della ricerca: lidea di campo finanziario introduzione delle grandezze vettoriali nelle scelte di portafoglio mutamento del portafoglio in funzione del tempo

3 I PARTE: richiami Riassumiamo alcuni risultati esposti nel corso del seminario Measuring Portfolio Performance in Asset Pricing Models: 1. Ecco lespressione assunta quale equazione di stato per un mercato perfetto ed efficiente: dove il primo coefficiente del primo termine rappresenta la pressione verso gli investitori, il secondo il volume di tolleranza al rischio, 2 è una costante e K il livello termico del mercato (capitalizzazione di borsa ).

4 Più precisamente indica la pressione esercitata dalla Banca centrale sulla generalità degli investitori affinchè investano: riducendo, e perciò il tasso ufficiale di riferimento, la differenza aumenta di peso (maggiore pressione o spinta). Al contrario lincremento di distoglie dallinvestimento (minore pressione) e spinge verso operazioni di prestito.

5 esprime il volume di contenimento del rischio che emerge dalla funzione di utilità della generalità degli investitori, misurato in termini di valore della tolleranza stessa per unità di rischio. K indica il livello dellequilibrio termico del sistema (che può variare a seconda della dinamica degli interventi degli operatori) misurato attraverso la capitalizzazione di borsa: Dato un mercato ad efficienza forte, ad un aumento della pressione allinvestimento (riduzione del tasso ufficiale di riferimento) fa riscontro una riduzione del volume di contenimento del rischio, tale da lasciare invariato il prodotto 2K.

6 2. Lenergia cinetica media che costituisce una grandezza invariante una volta definiti i parametri viene così espressa: Essa rappresenta lunità di misura del grado di efficienza del mercato dei capitali. Trovato il grado di simmetria informativa nel caso di un mercato perfetto si possono studiare le cause di allontanamento dipendenti dall aumento della densità di mercato.

7 II PARTE Il concetto di campo a partire da un portafoglio di due titoli. Adottiamo un procedimento di analisi coerente con la presenza in ciascun operatore di funzioni di utilità. Si giunge al portafoglio ottimale per via iterativa: si costruisce prima una linea di portafogli tra due titoli, quindi si combina il portafoglio prescelto, presente su questa linea,con un terzo titolo facendo nascere una ulteriore linea di portafogli, e così via sino al portafoglio che ottimizza il trade-off rischio- rendimento dellinvestitore.

8 Così dati due titoli k e j, rappresentabili come di consueto in un sistema di coordinate tracciamo la loro linea di portafoglio (vedi slide successiva). Impostiamo ora i necessari costituenti in coerenza con la logica dei campi elettrici. La presenza tangibile dei movimenti dei prezzi si manifesta attraverso le decisioni dei vari operatori e quindi le frazioni di investimento dei fondi. Le cariche dei movimenti dei prezzi, necessarie per generare il campo finanziario, sono idealmente rappresentate dai tassi attesi di rendimento dei titoli.

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10 In generale si dirà che nasce un campo finanziario tutte le volte che, prendendo un titolo, si osserva che esso è soggetto a forze di origine finanziaria che scompaiono se avviene una perdita della carica. Si noti che il campo finanziario generato dalla carica in un punto P dello spazio circostante esiste indipendentemente dal fatto che in P si trovi un ulteriore titolo dotato di carica. Il campo finanziario di qualsiasi titolo deve intendersi come afferente al titolo stesso.

11 Lintroduzione del concetto di campo finanziario può apparire superflua nelle tradizionali scelte di portafoglio e nel CAPM statico (come sarebbe inutile introdurre il concetto di campo elettrico se si avesse a che fare solo con lelettrostatica). Diviene rilevante per lo studio dei fenomeni finanziari che dipendono dal tempo. La maggiore utilità della nuova impostazione si verifica nei casi in cui la modificazione, prodotta da cause esterne, dei fattori di rischio generi lalterazione dei caratteri del portafoglio.

12 Vi sono così ragioni per ritenere che lintroduzione del concetto di campo finanziario renda in futuro possibile la dinamizzazione delle scelte di portafoglio grazie allimpiego delle grandezze vettoriali, e valorizzando al massimo grado i legami di covarianza tra coppie di titoli o portafogli.

13 Introduzione delle grandezze vettoriali. Ci proponiamo ora di mostrare la struttura vettoriale del campo finanziario a partire dalle tipiche informazioni concernenti lanalisi di un portafoglio di due titoli: frazioni di investimento, tassi attesi di rendimento dei titoli componenti, deviazione standard degli stessi e covarianza ovvero coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei due titoli.

14 Nella rappresentazione vettoriale di un portafoglio di due titoli siamo stati guidati dallanalogia tra la formula per il calcolo della varianza del portafoglio e la somma di due vettori. Le relazioni cui si fa riferimento sono le seguenti: (dove è la varianza del portafoglio) e che esprime il modulo del vettore somma, essendo e due generici vettori, la loro risultante e langolo fra essi compreso ( applicazione del teorema dei coseni o di Carnot).

15 Riscrivendo la 1. come segue ovvero inserendo nella relazione il coefficiente di correlazione lineare, emerge più evidente la somiglianza fra la 1. e la 2. Quanto mostrato suggerisce la possibilità di rappresentare la deviazione standard di un portafoglio di due titoli come somma vettoriale delle frazioni di investimento, ciascuna moltiplicata per la propria deviazione standard. Alla luce di questa considerazione, si riscrive la 3.

16 Si noti che cos, con che rappresenta langolo fra i vettori e, è pari al coefficiente di correlazione lineare. Per la rappresentazione grafica della 4. si utilizza la regola del parallelogramma relativa alla somma vettoriale. Questa determina la direzione e il verso del vettore risultante. Dati ora due titoli 1 e 2 sviluppiamo la regola menzionata.

17 Le due cariche e generano i campi e nel punto P. Il vettore campo è la risultante dei vettori campi ora detti. In sintesi il valore delle cariche e il loro posizionamento determinano il vettore campo in modulo, direzione e verso. Noti i valori delle cariche e e dei campi e nel punto P, si trovano le rispettive distanze delle cariche dal punto stesso. ;

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20 La slide precedente mostra linserimento di un terzo titolo e la costruzione di una linea di portafogli che va dal titolo 3 al portafoglio g. Passando alla rappresentazione vettoriale si utilizzerà ancora lequazione della varianza di un portafoglio di due titoli con riferimento al titolo 3 e al portafoglio g, nota la covarianza tra i rendimenti di 3 e di g. Si ripete così il procedimento già illustrato diretto ad identificare un nuovo portafoglio più efficiente che, ad esempio, si colloca nel punto z.

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22 Il metodo seguito, come appare dal precedente grafico, è di tipo iterativo, consentendo linclusione graduale di altri titoli o portafogli che si associano al portafoglio precedentemente prescelto. Literazione inoltre avviene in modo vantaggioso rispetto alle soluzioni tradizionali in quanto permette di individuare i livelli di partecipazione dei titoli del portafoglio precedente alla costruzione del portafoglio nuovo. Si rispettano le proporzioni delle frazioni di investimento ed anche si misura la distanza che intercorre tra una iterazione e laltra. È evidente la possibilità di introdurre scale di misurazione del tempo e della distanza finanziaria. A regime, il modello del campo finanziario traccia lintero itinerario del processo decisionale che conduce ad individuare il portafoglio ottimale.

23 Nel compiere il percorso diventa interessante collegare dimensione e distanza delle cariche rispetto al campo del portafoglio. A mano a mano che ci si porta verso i portafogli successivi, le cariche dei portafogli precedenti vengono sostituite e ogni vettore di campo finanziario di portafoglio si trasforma in un originator del portafoglio successivo rimodellando in scala i campi di partenza. Muovendosi verso il minimum variance portfolio del sistema i campi finanziari di portafogli via via si riducono rappresentando in forma nuova gli elementi della frontiera efficiente. In presenza di unottimizzazione che combini il portafoglio di mercato con il titolo privo di rischio lanalisi condotta evidenzierà il ruolo residuale (in diminuzione o in accrescimento) del campo del portafoglio in presenza di un angolo di 0 gradi.

24 Ancora diventa interessante collegare lintero percorso al valore di capitalizzazione del mercato ed ai cambiamenti che in questo possono intervenire per variazioni di o di. I tempi di variazione, e dunque la velocità con cui muta la capitalizzazione possono risultare differenti dalle previsioni. Si può riscontrare un fenomeno di ritardi. In particolare sono considerabili i casi di sotto e sopra valutazione. Nel momento in cui una carica perdesse valore la forza che essa esercita nella formazione dei campi ne risulterebbe negativamente influenzata. In presenza di processi alimentati da asimmetria informativa continuati nel tempo ed interessanti portafogli costituiti da numerosi titoli, il modello descritto metterebbe in evidenza processi di vibrazione del campo finanziario.

25 Estensione del paradigma precedente al modello C.A.P.M. 1.In presenza di aspettative omogenee, gli operatori perverranno ad una linea di portafogli detta frontiera efficiente, e quindi, in presenza di un tasso privo di rischio, alla linea di investimento detta C.M.L. (capital market line), risultante quale combinazione del portafoglio di mercato con il titolo privo di rischio. (segue diagramma)

26 C.M.L frontiera efficiente

27 2. Con la C.M.L. si ripropone la logica della costruzione del portafoglio tra due attività, di cui però una è priva di rischio. Si dimostra, allora, che per qualunque portafoglio lungo la C.M.L. la deviazione standard è pari a, essendo in ogni caso. In questa situazione il campo finanziario si riduce al vettore, che per praticità rappresentiamo lungo un asse orizzontale.

28 3.In altre parole il vettore campo finanziario percorre lintero itinerario di un investitore avente qualsiasi profilo di rischio, nel mentre la corrispondente carica assume tutti i valori dati dalle seguenti espressioni : per investimenti sul portafoglio di mercato, e: su qualsiasi titolo o combinazione di titoli del portafoglio di mercato.

29 4.Il frame che agevolmente emerge, a questo punto, è quello che struttura la rappresentazione del campo finanziario con rilevante analogia rispetto al campo elettrico. Infatti la rappresentazione fisica del campo suppone il posizionamento libero delle cariche. Se ne osserviamo la composizione troviamo che esse sono per il portafoglio m,, e per il titolo privo di rischio.

30 Si osservi che non si avverte linfluenza della carica. Infatti il suo campo è nullo ed essa, come ora si mostra (nel modello vettoriale), risulta collocata a distanza infinita da qualunque portafoglio combinazione di d e m. Si ricorda che e, essendo, la distanza.

31 Conclusioni. Limpianto costruito è in grado di rivelare la sua efficacia nei casi in cui si voglia dar vita ad uno studio delle distanze finanziarie che intercorrono tra un portafoglio ed il successivo, per unità di tempo. Si deve considerare che nei processi di costruzione di fondi comuni di investimento, rispetto a dati benchmark o indici, o rispetto al portafoglio di mercato, lo studio delle distanze (tra portafogli e\o cariche), quello dei tempi, quello dei ritardi e in generale lapprezzamento delle velocità di cambiamento offrono informazioni non secondarie.

32 Si giudica interessante seguire levoluzione dei valori delle cariche ed il sistema delle distanze tra esse,anche per portafogli successivi ad un portafoglio dato, in quanto tale tematica introduce nel complesso mondo delle sopra e sottovalutazioni dei titoli. Se molte delle suddette notizie provengono dallambiente vicino ai mercati finanziari, e sono quindi esogene, come del resto esogena è la modificazione del T.U.R., altri impulsi dipendono dal grande contenitore del rischio del mercato ( ) e perciò, non solo dai profili di rischio, ma altresì dal sentiment anche irrazionale e soggettivo degli operatori.

33 Quando ciò accade, allinterno del contenitore del rischio del mercato cresce lentropia, aumenta il disordine delle particelle elementari del mercato, e si viene a costituire un nuovo equilibrio termico (capitalizzazione del mercato). Apprezzare con un metodo vettoriale la velocità con cui cambiano i campi finanziari, si alterano e si ricostituiscono gli equilibri tra le molteplici cariche, può offrire nuovi strumenti idonei a spiegare alcune problematicità dei mercati dei capitali (asimmetrie informative, viscosità di taluni segmenti di mercato, carenze di liquidità e instabilità dei mercati, bolle speculative).