Sviluppi del rischio di mercato Giampaolo Gabbi

Value at Risk (VaR) Data la distribuzione delle variazioni future di valore del portafoglio (DV) associate ad un dato orizzonte temporale, il VaR risponde alla domanda: qual è la perdita minima che posso attendermi, con una probabilità p? Ad esempio, il VaR può dirmi che, su un orizzonte di un giorno, con probabilità p=5% (una volta su venti) posso attendermi una perdita almeno di 2.000 euro 5% -2.000 DV Nota: il VaR è di solito definito “al livello di confidenza 1-p%” (qui: al 95%), per sottolineare che “copre” il 1-p% dei casi 2

Value at Risk (VaR) noi In termini matematici il VaR dipende dal p-esimo percentile (DVp) della distribuzione delle DV J.P. Morgan lo definisce semplicemente come tale percentile Più spesso, si definisce VaR la distanza tra tale percentile e la media della distribuzione Nel metodo parametrico, poiché le variazioni dei fattori di rischio hanno media nulla e DV è una loro combinazione lineare, mDV è per definizione 0, e le due definizioni coincidono. JPM DVp m DV 3

Digressione: la scelta di p e del livello di confidenza Qual è il valore “giusto” di p: 1%, 5%, 0,0001%? Dipende Possiamo pensare al VaR come alla quantità di capitale che la banca deve detenere per “resistere” al 1-p% delle possibili perdite senza fallire VaR come “economic capital” Banche più avverse al rischio, o desiderose di avere un migliore rating, vogliono detenere più capitale scelgono livelli di confidenza maggiori Se voglio un rating “R”, p dovrebbe essere in linea con la frequenza di default registrata su società con rating “R” Es. la frequenza di default per le società “BAA3” è storicamente circa lo 0,70% La banca che vuole rating “BAA3” adotterà un livello confidenza circa del 99,3% 4

Esempio: rating, frequenze di default, livelli di confidenza 5

Value at Risk (VaR) Montecarlo Il metodo seguito per stimare la distribuzione di DV non impatta sul concetto di VaR Naturalmente, il valore del VaR sarà diverso, perché le stime di DVp e m saranno diverse Cfr. ad esempio la distribuzione storica: per isolare il 5% peggiore serve un valore di DV più basso Inoltre, nel caso del metodo parametrico con fattori normali, è possibile calcolare il VaR con una scorciatoia… Parametrica Storica 6

Calcolo del VaR con metodo parametrico “Il percentile xp di qualunque distribuzione normale a media nulla si ottiene moltiplicando la sua deviazione standard sx per il corrispondente percentile zp della distribuzione normale standard” Se adottiamo l’approccio parametrico, dunque il VaR può essere calcolato rapidamente, nota la deviazione standard delle variazioni di valore i valori di zp si trovano sui libri di statistica e sono calcolabili con moltissimi software il VaR può essere scomposto facilmente, perché tutte le scomposizioni della deviazione standard si applicano al VaR, a meno di una costante zp 7

VaR con metodo parametrico: esempi Se ci interessa il VaR al 99% (p=1%) cerchiamo su un libro di statistica z1% (o, in Excel, INV.NORM.ST(0,01)), che vale -2,33 Portafoglio con 1000 azioni Intesa e 500 azioni Fiat al 28.12.03 “Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 446 euro” Portafoglio con un’azione Vodafone (in sterline) al 28.12.03 “Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 10 cents” Due bond a 2 anni, nominale 100, con cedola 6% e 0% “Nel 99% dei casi, la perdita (tra una settimana) non supererà i 114 cents” 8

Scomposizione del VaR: VaR marginale e incrementale Il VaR dell’intera banca, o di un intero grande portafoglio, è un numero sintetico, ma opaco Nasce l’esigenza di capire il contributo di singoli titoli o sottoportafogli al VaR totale A tal fine, si introducono le misure di VaR marginale della posizione i: incremento che il VaR conosce quando la posizione i viene aggiunta al resto del portafoglio della banca VaR incrementale della posizione i: incremento che il VaR conosce quando una quantità infinitesima della posizione i (un cent) viene aggiunta al portafoglio della banca. Il calcolo di VaR marginale e incrementale è sensibilmente più rapido se si adotta l’approccio parametrico. 9

L’Expected Shortfall E’ definito come la media delle perdite inattese (cioè in più oltre il valore atteso m) superiori al VaR In simboli: Se m=0, si semplifica in: Dal punto di vista economico, posso vederlo come Il VaR, più il costo che le autorità di vigilanza dovrebbero sostenere per salvare la banca (ripianando le sue perdite) se il suo capitale (fissato pari al VaR) non fosse sufficiente Il VaR, più il costo (risk neutral) che la banca dovrebbe sostenere se volesse assicurarsi contro perdite superiori al VaR 10

L’Expected Shortfall / 2 E’ una misura di rischio alternativa al VaR Risponde ad alcuni limiti del VaR Il VaR trascura la dimensione delle perdite oltre il livello di confidenza fissato Ad esempio mi dice che solo nel 1% di casi rischio di perdere più di 446 euro Già, ma quanto devo aspettarmi di perdere in questo 1% di casi? Il VaR è una misura di rischio non coerente In particolare, non rispetta il principio di subadditività “Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli” 11

Dimensione delle perdite oltre il livello di confidenza: esempio Il VaR rende identico il rischo di questi due portafogli, che invece hanno rischi estremi assai diversi: Nota: per semplicità, mDV=0 12

“Coerenza” delle misure di rischio (Artzner, Delbaen, Eber e Heath) Invarianza alle traslazioni l’aggiunta al portafoglio di una quantità di contante riduce il rischio del medesimo ammontare Omogeneità positiva di grado uno Se raddoppiamo la dimensione di ogni posizione, raddoppia anche il rischio del portafoglio. Monotonicità Se le perdite sul portafoglio A sono maggiori di quelle sul portafoglio B in ogni possibile scenario futuro, allora il rischio del portafoglio A dev’essere maggiore di quello del portafoglio B Subadditività Il rischio di una somma di più sottoportafogli è minore o uguale della somma dei rischi dei singoli sottoportafogli 13

Mancata coerenza (subadditività) del VaR: esempio Due titoli simili, ma indipendenti: Chi detenesse i due titoli disgiuntamente, riterrebbe di avere un rischio di 9,3 euro (VaR al 99%) o di 29,3 euro (ES al 99%). Poiché i due titoli sono indipendenti (fattori di rischio diversi e incorrelati), detenerli congiuntamente deve condurre a un rischio non maggiore rispetto a 2xVaR (18,6) o a 2xES (58,6). E’ vero? 14

Mancata coerenza (subadditività) del VaR: esempio Portafoglio con due titoli indipendenti: Il VaR non è subadditivo!!! 15

Mancata coerenza (subadditività) del VaR Nella pratica, le situazioni in cui il VaR non è subadditivo si verificano abbastanza raramente In particolare, ogni volta che ha senso utilizzare l’approccio parametrico, e cioè data la: normalità dei fattori di rischio linearità del legame tra fattori e valore del portafoglio …allora il VaR è semplicemente un multiplo della deviazione standard, e poiché quest’ultima è subadditiva, anche il VaR è sempre subadditivo. Inoltre il VaR ha numerosi vantaggi (v. oltre) Per questo il VaR rimane la misura di rischio più utilizzata i modelli à la RiskMetrics sono comunemente chiamati “modelli VaR per i rischi di mercato”. 16

Applicazioni e vantaggi del VaR Introduzione di un linguaggio comune tra i diversi “desk” che seguono mercati diversi Introduzione di un sistema di limiti di rischio omogeneo e sensibile alle condizioni di mercato Misurazione delle risk-adjusted performance (RAPM): ex ante: per finalità di budget e pianificazione ex post: per finalità di controllo di gestione 17

Un linguaggio comune VaR: 4.150 VaR: 640 Esempi di calcolo: Posizione lunga Posizione corta VaR: 4.150 VaR: 640 Esempi di calcolo: Per il Btp uso il metodo delta-gamma e la deviazione standard dello yield to maturity: Per la call uso le simulazioni Montecarlo e la full valuation: 18

Limiti di rischio Immaginiamo di calcolare il VaR sui Btp con: Allora; approssimazione delta normal un solo fattore di rischio (yield to maturity). Allora; …da cui 19

Limiti di rischio / 2 Se il limite di VaR (al 99%) è 100.000 euro, il portafoglio ha duration modificata 6,25 anni e la volatilità del fattore di mercato (Dy) è 4 basis points, il massimo ammontare di Btp detenibile in portafoglio è: Se il mercato diventa più volatile, o il tesoriere allunga la duration, il limite di esposizione si riduce “automaticamente” 20

Misura delle risk-adjusted performance Il VaR rappresenta il rischio che vogliamo/dobbiamo coprire con capitale E’ detto anche CaR, capitale a rischio Possiamo usarlo per ottenere misure di redditività del capitale investito, ovvero corretta per il rischio Può trattarsi di previsioni utili attesi, CaR (VaR) stimato in base alla composizione di portafoglio iniziale rendicontazioni utili effettivi, CaR (VaR) calcolato in base alla composizione di portafoglio tenuta nel corso dell’esercizio passato 21

Esempio di misura delle performance “risk-adjusted” 22