I NUMERI IMMAGINARI X2 + 1 = 0 X2 = -1 I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione X2 + 1 = 0 non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

L’unità immaginaria (in matematica) Si definisce: i = unità immaginaria, (è un nuovo numero!!) è il numero che non esisteva tra i numeri REALI e che permette di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi!! . i2 = -1

L’unità immaginaria (in elettrotecnica) j2 = -1 Si definisce: j = unità immaginaria

b = coefficiente parte immaginaria ( x = parte reale I NUMERI COMPLESSI a = parte reale b = coefficiente parte immaginaria ( x = parte reale y = coefficiente parte immaginaria) a, b, x, y sono tutti numeri reali!! I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione: a + j b oppure x + j y

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA NUMERI COMPLESSI diagramma di Argand – Gauss I due numeri Sono chiamati complessi coniugati. Cambia solo il segno della parte immaginaria!!

DIAGRAMMA DI GAUSS SIGNIFICATO DEI SIMBOLI z = numero complesso x = parte reale (ascissa di z) y = parte immaginaria (ordinata di z) r =z = modulo di z (è la lunghezza del vettore che parte dall’origine e arriva a z)  = angolo formato tra il vettore “r” e il verso positivo delle ascisse (è chiamato “fase” o “argomento”)

RELAZIONI TRA I SIMBOLI DI UN NUMERO COMPLESSO x = r cos () y = r sen () r2 = x2 + y2

z = x + jy = 3 + j 4 r2 = x2 + y2 = 9 + 16 =25 r = 5  = arctg (y/x) ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase z = x + jy = 3 + j 4 Modulo: r2 = x2 + y2 = 9 + 16 =25 r = 5 Fase:  = arctg (y/x) = arctg (4/3) = arctg(1,25)  = 51,34 °

Nota: cambia solo la fase ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase (complesso coniugato) = x - jy = 3 - j 4 Modulo: r2 = x2 + y2 = (3)2 +(- 4)2 =25; r = 5 Fase:  = arctg (y/x) = arctg (- 4/3) = arctg(- 1,25)  = - 51,34 ° Nota: cambia solo la fase

ESEMPI DI CALCOLO: 2° quadrante z = - 3 + j 10 Modulo: r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (10)2 r2 = 9 + 100 = 109 r = 10,44 Fase:  = arctg (y/x)  = arctg [10/(- 3)] = arctg(- 3,33)  = - 73,28°  = 180° -    = 180° - 73,28°  = 106,72° Re Im + j 10 - 3 z  r  - 

ESEMPI DI CALCOLO : 4° quadrante z = 3 - j 10 Modulo: r2 = x2 + y2 = (3)2 + (-10)2 r2 = 9 + 100 = 109 r = 10,44 Fase:  = arctg (y/x)  = arctg [(-10)/ 3] = arctg(- 3,33)  = - 73,28° Nota: negli ultimi due esempi cambia solo la fase ( si calcola sempre con il verso positivo dell’asse reale) Re Im - j 10 3 z  r

ESEMPI DI CALCOLO : 3° quadrante Re Im - j 10 - 3 z  r  z = - 3 - j 10 Modulo: r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (-10)2 r2 = 9 + 100 = 109 r = 10,44 Fase:  = arctg (y/x) = arctg [(-10)/(- 3)] = arctg( 3,33)  = 73,28° = - (180° -   ) = - 180° + 73,28° = - 106,72°

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI SOMMA z1 = x1+jy1 z2 = x2+jy2 z1+ z2 = (x1+jy1)+(x2+jy2) z1+ z2 =(x1+x2) + j(y1+y2) Per effettuare la somma di due numeri complessi, come z1 e z2, si sommano tra loro le parti reali (x1+x2) e le parti immaginarie (y1+y2)

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della somma x y z1 z2 z1+z2 x1 x2 x1+x2 y1 y2 y1+y2

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIFFERENZA z1 = x1+jy1 z2 = x2+jy2 z1- z2 = (x1+jy1)-(x2+jy2) z1- z2 =(x1-x2) + j(y1-y2) Per effettuare la differenza di due numeri complessi, come z1 e z2, si sottraggono tra loro le parti reali (x1-x2) e le parti immaginarie (y1-y2)

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della differenza y z1 z2 z1- z2 x x1- x2 y1- y2

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI Esercizi SOMMA z1 = x1+jy1= 2 + j 5 z2 = x2+jy2= 8 + j 2 z1+ z2 =(x1+x2) + j(y1+y2) z1+ z2 =(2+8)+j(5+2) z1+ z2 = 10+j7 DIFFERENZA z1 = x1+jy1= 2 + j 5 z2 = x2+jy2= 8 + j 2 z1- z2 =(x1-x2) + j(y1-y2) z1- z2 =(2-8) + j(5-2) z1- z2 = - 6 + j3

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercizi precedenti SOMMA y z1 z2 z1+z2 2 8 10 j 5 j 2 j 7 x

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercizi precedenti DIFFERENZA Im z1 z2 z1- z2 8 - 6 2 j 5 j 2 j 3 - z2 Re

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO z1 = x1+jy1; z2 = x2+jy2 z1 * z2 = ( x1 + jy1 ) * ( x2 + jy2 ) z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + jy1*jy2) z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + j2 y1*y2) z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + (-1)* y1*y2) Continua /….

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 - y1*y2) z1 * z2 = (x1*x2 - y1*y2) + j (x1*y2 +y1*x2) Esempio: z1 = x1+ j y1 = -3+j4; z2 = x2+ j y2 = 5 – j 7 z1 * z2 = (-3+j4)*(5 – j 7) = =(-3)*5+(-3)*(- j7)+j4*5+j4*(-j7)= -15+j21+j20+28= = -15+28+j(21+20)=13+j41 Parte reale Parte immaginaria

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE Il risultato della divisione tra due numeri complessi è un altro numero complesso, quindi con una parte reale ed una immaginaria. Per ottenere questo risultato occorre effettuare una operazione chiamata “razionalizzazione”.

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE z1 = x1+jy1; z2 = x2+jy2 L’operazione di razionalizzazione consiste nel moltiplicare e dividere per una stessa quantità la frazione da calcolare. Tale quantità è uguale al denominatore della frazione con il segno della parte immaginaria cambiata

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE Parte reale Parte immaginaria

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZI DIVISIONE O FRAZIONE

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZIO IMPORTANTE !!!!!