CALCOLO COMBINATORIO Prof Sandro Pistori

Qualche problema introduttivo In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema? Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6? Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse?

Il calcolo combinatorio il Calcolo combinatorio fornisce quegli strumenti di calcolo per determinare il numero di raggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti ( n k ) secondo le modalità seguenti: se k = n otterremo dei gruppi ordinati permutazioni. k oggetti possono formare gruppi ordinati: disposizioni; k oggetti possono formare gruppi non ordinati: combinazioni;

DISPOSIZIONI semplici (D3,2) COMBINAZIONI semplici (C3,2) Problema 1 Raggruppare gli elementi a,b,c a gruppi di 2 con elementi che non possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ab ac bc DISPOSIZIONI semplici (D3,2) COMBINAZIONI semplici (C3,2)

Problema 2 Raggruppare gli elementi a, b, c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb DISPOSIZIONI con ripetizione (D’3,2) COMBINAZIONI con ripetizione (C’3,2) 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: aa ab ac bb bc cc

Quindi… I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE: SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte E riassumendo: Permutazioni semplici o con ripetizione Disposizioni semplici o con ripetizione Combinazioni semplici o con ripetizione

Fattoriale Il FATTORIALE di un numero intero positivo n è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali ad n In simboli: n! = n(n -1)(n -2)(n -3)…1 Si può quindi scrivere in modo ricorsivo n! = n(n -1)! Da cui nasce l’esigenza di definire 0!=1 infatti 1!=1(1-1)!=1 0!=1 Esempi: 5!=5 4 3 2 1 = 120 6!=6 5!= 6 120=720 10!=3.628.800 17!=35.568.7428.100.000

Gli anagrammi (PERMUTAZIONI) Quanti sono gli anagrammi anche privi di senso della parola MARE? 4 3 2 1 Corrisponde ai modi diversi di ordinare tutte e quattro le lettere che in questo caso sono diverse: permutazione semplice di n oggetti Quanti sono gli anagrammi della parola MAMMA? Ad esempio MAMAM MAMAM MAMAM MAMAM rappresentano sempre la stessa “parola” Faccio finta che siano tutti diversi e poi li divido per tutti i possibili scambi che mi producono la stessa parola

DISPOSIZIONI Le disposizioni semplici di k oggetti presi da un gruppo di n oggetti sono Dn,k= n(n-1)…(n-(k-1))= n(n-1)…(n-k+1)= n(n-1)…(n.-k+1)(n-k)(n-k-1)…1/(n-k)! Dn,k = n!/(n-k)! Le disposizioni con ripetizione di k oggetti presi da un gruppo di n oggetti sono D’n,k=n k

Esempi 9 8 7 6 A B C D E F G H 1 … = 2 n = D’2,n Quanti sono numeri di 4 cifre tutte distinte e non nulle nel sistema decimale? Disposizione semplice D9,4 = 9!/(9-4)! = 9!/5!=3024 Quante sono le combinazioni possibile per un lucchetto a 5 cifre? Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme con n elementi? 9 8 7 6 A B C D E F G H 1 … = 2 n = D’2,n

COMBINAZIONI Combinazioni semplici Facciamo finta che sia una disposizione e poi dividiamo per il numero di scambi che danno origine allo stesso gruppo di k oggetti ABCDEF: ABCD ACBD ADBC… sono le permutazioni di 4 elementi Cn,k=Dn,k/ k! = Combinazioni con ripetizione COEFFICIENTE BINOMIALE

Esercizi In quanti modi diversi si possono sedere 4 amici in un scompartimento da sei posti di un treno? In quanti modi diversi possono venire occupati 6 posti di uno scompartimento di un treno da quattro persone? Quante sono le diagonali di un poligono di n lati? Quanti sono i punti che vengono individuati da 20 rette complanari a due a due non parallele? Quanti sono i punti di intersezione che vengono individuati da 20 rette se 7 di esse sono parallele e le restanti no?

Il binomio di Newton

Ancora sui coefficienti binomiali

Ancora sui coefficienti binomiali

Ancora sui coefficienti binomiali

Un problema già visto… Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme A di n elementi? Siano k0 tutti gli insiemi con nessun elemento k1 numero degli insiemi con un elemento k2 numero degli insiemi con due elementi … kn numero degli insiemi con n elementi Allora | P(A) | = k0+k1+k2+…+kn=