analisi sismica di edifici in muratura e misti Benvenuti nella presentazione del software 3Muri. 3Muri è l’originale, perché è il primo che ha applicato concretamente il metodo FME, Frame by Macro Elements, per il calcolo delle strutture in muratura in zona sismica. Il primo che ha reso possibile l’analisi di strutture miste costitute da elementi in muratura ed elementi in c.a., acciaio, legno. Il primo che, per la massima affidabilità, è stato verificato sperimentalmente con prove in laboratorio. analisi sismica di edifici in muratura e misti

INDICE Le ipotesi di base Il macroelemento Le pareti resistenti Il modello 3D I diaframmi L’analisi pushover La curva di capacità Le fasi di calcolo I risultati di 3Muri Le verifiche di affidabilità del software Confronto metodo FME con metodo POR e FEM

Frame by Macro Elements Il metodo FME, Frame by Macro Elements, è frutto della ricerca universitaria svolta dal prof. Sergio Lagomarsino e dal suo team di sviluppo nell’ambito delle strutture in muratura e miste. Applicando concretamente i principi del Telaio Equivalente, fornisce uno strumento molto potente e di semplice uso. Autori motore di calcolo: Prof. S. Lagomarsino, Ordinario Tecnica delle Costruzioni - Università di Genova Ing. A. Penna, Ricercatore presso Eucentre - Pavia Ing. A. Galasco, collaboratore Eucentre – Pavia

Ipotesi di base Caratteristiche meccaniche della muratura Buona resistenza a compressione 2. Resistenza trascurabile a trazione (la resistenza a trazione di un giunto malta-blocco, è circa 1/30 della resistenza a compressione ). 3. Il materiale è fortemente disomogeneo ed il comportamento è schematizzabile secondo precisi meccanismi di rottura Le ipotesi di base del metodo FME prendono spunto dal comportamento reale della muratura, che manifesta una buona resistenza a compressione, mentre è trascurabile la resistenza a trazione. Inoltre la sua tessitura, spesso disomogenea, fa sì che non abbia senso effettuare verifiche puntuali come per altri materiali come il c.a. o il ferro. Per questo la ricerca ha individuato meccanismi di rottura tipici che descrivono il comportamento globale della muratura.

Modalità di resistenza Ipotesi di base Modalità di resistenza La resistenza dei muri a forze agenti nel piano del muro è molto maggiore rispetto a quella nel caso di forze agenti ortogonalmente al piano, e quindi è maggiore la loro efficacia come elementi di controventamento. Concezione strutturale a “sistema scatolare” con cuciture dei solai Resistenza massima per azioni nel piano Per quanto riguarda le azioni orizzontali, tipiche del caso sismico, la resistenza offerta dalla muratura è massima quando le azioni giacciono nel piano medio delle pareti dell’edificio. Le azioni perpendicolari al piano generano rilevanti flessioni, e non possono essere assorbite dalla muratura; per questo è lecito trascurarne il contributo. La strutture in murature assumono la resistenza massima quando sono organizzate secondo un sistema scatolare, cioè sono sempre presenti pareti che possono assorbire nel loro piano le azioni orizzontali. Condizione fondamentale perché questo possa succedere è la presenza di solai necessariamente cuciti alle pareti attraverso collegamenti spesso in cemento armato. Ai fini delle forze orizzontali i solai si comportano come diaframmi e, in caso di cedimenti parziali di tratti di parete, compito dei solai è consentire le migrazioni degli sforzi da una parete all’altra. Questo importante fenomeno avviene a seconda della effettiva rigidezza dei solai, che non sempre si possono considerare infinitamente rigidi. Resistenza trascurata per azioni fuori dal piano

Meccanismi di collasso Ipotesi di base Meccanismi di collasso Pressoflessione Taglio Scorrimento L’osservazione del comportamento della muratura sottoposta alle azioni sismiche, ha evidenziato meccanismi di collasso ben definiti, che si possono riassumere secondo gli schemi illustrati in figura. La pressoflessione, o rocking, si manifesta mediante rotazione del pannello con schiacciamento degli spigoli. La rottura per taglio si manifesta invece attraverso la presenza di fessurazioni disposte a 45 gradi ed a scorrimenti tra i corsi murari. La manifestazione del primo meccanismo o del secondo dipende dal rapporto tra momento e sforzo normale e dal rapporto tra resistenza a compressione e a taglio della muratura stessa.

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Il macroelemento: definizione deformabilità assiale Il metodo FME prevede lo schema a telaio equivalente costituito da “Macroelementi”. Il “Macroelemento” è un particolare tipo di elemento finito in grado di simulare i meccanismi di rottura di pressoflessione, taglio e scorrimento illustrati in precedenza. Attraverso una particolare formulazione matriciale, i pannelli di muratura sono condensati e schematizzati in elementi lineari, semplificando di molto l’analisi della struttura. Lo schema teorico del “Macroelemento” prevede una sorta di “sandwich” dove all’interno è rappresentata la deformabilità tangenziale, e agli estremi la deformabilità assiale. Il “Macroelemento” come elaborato nel metodo FME, ha comportamento elasto-plastico non-lineare, ed è prevista una fase elastica, una fase di plasticizzazione e una fase di rottura all’aumentare delle sollecitazioni. deformabilità tangenziale

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Le pareti resistenti Il comportamento Ruolo dell’accoppiamento fornito dai cordoli e dalle “fasce murarie” a) b) c) Il comportamento della pareti resistenti varia in funzione della rigidezza delle fasce murarie e dei cordoli dei solai. Nella figura a) i cordoli sono molto flessibili, ed il comportamento globale è simile ad un serie di mensole incastrate alla base con la presenza di forti momenti flettenti. Nel figura b) i cordoli sono invece molto rigidi ed il comportamento globale è simile ad un telaio, con momenti flettenti ridotti e la rottura prevalentemente per taglio. La figura c) riporta la situazione intermedia, che è la più tipica. Per analizzare correttamente le strutture in muratura è necessario tenere in conto questi aspetti per il calcolo delle sollecitazioni, assumendo le effettive rigidezze ed evitando ipotesi non realistiche, come il solaio infinitamente rigido che, negli edifici storici, non sempre è presente. il grado di accoppiamento influenza notevolmente l’entità dei momenti flettenti nei maschi murari

Le pareti resistenti Il telaio equivalente Parete come insieme di macroelementi: MESH elemento rigido elemento fascia Il metodo FME prevede la schematizzazione di ogni parete con un telaio piano equivalente, riportato nella figura a sinistra, in cui sono presenti parti rigide, segnate in nero e parti flessibili, indicate in rosso. A destra sono riportati gli elementi in cui è suddiviso il telaio: elementi di tipo “maschio”, posizionati ai fianchi delle aperture, elementi di tipo “fascia”, posizionati sopra e sotto le aperture, ed “elementi rigidi”, che non confinano con aperture. L’esame degli effetti del terremoto ha evidenziato che tutti i danni si concentrano su maschi e fasce mentre gli elementi non confinanti con aperture si comportano come elementi infinitamente rigidi e non subiscono danneggiamenti. Ecco quindi la ragione delle diverse rigidezze e dei diversi tipi di elementi. All’interno degli elementi rigidi si posizionano i nodi a cui convergono le aste che schematizzano maschi e fasce secondo il modello del “Macroelemento”. Maschi e fasce sono quindi rappresentati dal “Macroelemento” che ne descrive il comportamento elasto-plastico. elemento maschio aperture

Mesh delle pareti La figura riporta lo schema a telaio di una parete discretamente complessa per la presenza di aperture non regolari. 3Muri è in grado di modellare automaticamente la parete, individuando gli elementi maschi, fasce ed elementi rigidi, i nodi di collegamento all’interno degli elementi rigidi. I segmenti tratteggiati che collegano i nodi rappresentano le incidenze del telaio.

DECRETO MINISTERO DEI LAVORI PUBBLICI, 2 LUGLIO 1981 2.6. Edifici in muratura 2.6.1. Schema strutturale … Nel caso di pareti poco snelle e quindi funzionanti prevalentemente a taglio, … edifici di limitata altezza (2 o 3 piani) e con fasce di piano fra file di aperture contigue e sovrapposte molto rigide e di sufficiente resistenza, … la verifica può essere condotta con il procedimento esaurientemente illustrato in appendice. ( METODO POR ) Quando invece le ipotesi precedenti non sono soddisfatte … per edifici relativamente alti (4 piani ed oltre), o per l'insufficiente rigidezza o resistenza delle fasce di piano, il collasso si realizza in genere con una preventiva rottura a taglio delle fasce di piano, …. La verifica dovrà allora condursi con metodi di calcolo che tengano opportunamente conto delle prevedibili modalità di collasso. A favore della sicurezza e rinunciando alla ridistribuzione delle forze in fase non lineare, le pareti possono essere verificate schematizzandole come telai elastici piani. … ( MODELLO A TELAIO ) Il metodo a telaio non è una novità: già il DM del 2 luglio 1981 prescrive che, oltre al metodo POR applicabile per i casi più semplici, è necessario schematizzare a telaio le strutture in mancanza di rigidezza delle fasce di piano. La carenza di teorie e di strumenti di calcolo adeguati hanno reso usale il metodo POR, che invece è applicabile solo in casi in cui il solaio è assolutamente rigido. In questo modo risulta impossibile valutare correttamente l’effettivo grado di vulnerabilità per le strutture d’epoca, in cui i solai presentano rigidezze ben lontane da quelle richieste dal metodo POR. Ad esempio con la presenza di volte, di solai non ben ancorati, di solai in legno, eccetera. 3Muri, simulando in modo molto più preciso la struttura, risolve tutti questi problemi.

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Modello 3D Insieme di pareti piane - Solai ortotropi deformabili Nodi 3D a 5 gdl per il collegamento delle pareti Elementi lineari (travi, pilastri, catene) Il modello 3d si ottiene quindi individuando le pareti resistenti, assemblandole tra di loro attraverso i nodi di collegamento, ed inserendo i solai con la loro effettiva rigidezza. Si ottiene quindi un telaio spaziale, come insieme dei telai piani di ogni singola parete. 3Muri tiene in conto anche elementi aggiuntivi, come travi e pilastri in c.a., acciaio, legno, che interagiscono con la muratura e che devono essere esaminati con le loro caratteristiche.

Modello 3D Definizione delle pareti – disegno diretto o da DXF Per costruire il modello con 3Muri si parte quindi dalla pianta, individuando la pareti attraverso il loro piano medio. Questo può essere realizzato anche attraverso file in formato DXF che possono essere lucidati. 3Muri consente l’input attraverso strumenti molto semplici, individuando automaticamente i nodi di collegamento tra le pareti. Nel caso la parete sia a sua volta suddivisa in zone con materiali diversi o di spessore diverso, è possibile suddividerla in seguito inserendo nodi aggiuntivi e modificando localmente le caratteristiche della muratura.

Modello 3D La figura riporta un modello completo, costituito da pareti, solai ed elementi con materiali diversi.

Modello 3D Creazione mesh (maschi, fasce, elementi rigidi) Dopo la costruzione geometrica delle pareti e l’introduzione della caratteristiche della muratura, 3Muri crea automaticamente la “mesh”, individuando maschi, fasce, nodi rigidi. Questa suddivisione è necessaria per definire le aste del telaio equivalente.

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Modello 3D Strutture miste – travi e pilastri in c.a. - acciaio Introdotte le pareti, si possono definire i solai che uniscono le pareti e realizzano il comportamento scatolare indicato in precedenza. 3Muri analizza il flusso dei carichi verticali che, attraverso i solai, viene distribuito su pareti e pilastri. I solai possono essere monodimensionali, come i tradizionali solai in laterizio e travetti, o bidirezionali come piastre e volte.

Modello 3D Assemblaggio tridimensionale con inserimento diaframmi rigido flessibile Ai fini quindi della resistenza sismica, i solai sono schematizzati con diaframmi, cioè con elementi membrana. Come noti gli elementi membrana offrono resistenza solo nel loro piano ed è determinata automaticamente da 3Muri per ogni tipologia. La differenza tra solai rigidi e flessibili è particolarmente importante, in quanto per i solai di tipo rigido, in caso di cedimento di una parete, si realizza il trasferimento delle azioni tra le pareti stesse con la chiamata a collaborare per le pareti adiacenti. Nel caso di solaio flessibile, questo non succede e la possibilità di cedimento prematuro della struttura è molto più probabile in quanto non esiste collaborazione tra i vari elementi.

Modello 3D Solaio infinitamente rigido Solaio flessibile Il solaio chiama a collaborare tutte le pareti Solaio flessibile Le pareti sono indipendenti Le figure e le animazioni illustrano bene il comportamento indicato nella slide precedente. Nella figura di sinistra lo sforzo concentrato nella parete di sinistra viene trasferita anche alle altre pareti per effetto della rigidezza del solaio. Nel caso di destra questo non succede, a causa della eccessiva flessibilità del solaio stesso.

Definizione delle oggetti strutturali: solai e volte flessibili parametrici Il calcolo manuale della rigidezza dei solai non è agevole, e per questo 3Muri calcola tutti i parametri in automatico per le tipologie di solaio più usate. Sono presenti solai in legno, in laterizio, misti. Sono presenti anche le volte in muratura secondo le diverse forme illustrate.

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Analisi statica non lineare: PUSHOVER Carico applicato staticamente Legge costitutiva non lineare dei materiali 3Muri realizza l’analisi “push-over”, calcolando la struttura attraverso l’applicazione di forze statiche, o meglio applicate staticamente e incrementandone l’intensità in modo lineare sino al collasso della struttura. Inoltre viene preso in conto il comportamento non-lineare della muratura, attraverso la sua legge costitutiva. In questo modo i macroelementi realizzano tre condizioni: di stato elastico, di stato plastico e di collasso. 1. Applicare carichi sismici staticamente e far incrementare l’intensità 2. Degrado degli elementi strutturali che costituiscono l’edificio: Stato: elastico – plastico – collasso (eliminazione)

Nodo di controllo La figura riporta le varie fasi in cui si realizza l’analisi push-over. E’ necessario definire un punto di controllo in cui si rilevano gli spostamenti. Questo punto di solito è preso in copertura in posizione baricentrica e si applicano quindi le forze secondo gli schemi previsti dalla normativa. All’aumentare delle forze si presentano le prime fessurazioni, che si propagano in diversi elementi. Al superamento della fase plastica si verificano collassi locali dei pannelli (maschi o fasce). Il pannello collassato non si può più considerare utile ai fini della resistenza per le forze orizzontali, mentre è ancora funzionante per i carichi verticali, in quanto gli spostamenti sono minimi. Per questo viene sostituito con elementi biella, incernierati agli estremi e non più efficaci per contrastare le forze orizzontali. Aumentando ancora le forze si arriva infine al collasso dell’intera struttura.

Analisi statica non lineare: PUSHOVER Definizione del drift ultimo Eliminazione elementi al raggiungimento del drift ultimo: OPCM 3274 - NTC Definizione del drift ultimo La normativa indica i parametri che dividono la fase elastica dalla fase plastica e dalla rottura, come indicato in figura.

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Analisi statica non lineare: PUSHOVER La risposta di un sistema a N gdl di libertà è correlata alla risposta di un sistema equivalente ad 1 gdl. La curva di capacità è convertita nel sistema bilineare equivalente 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 10 20 30 40 50 60 Average displacement of 3 th floor [mm] Base Shear/Weight Model A Model B Model E Model D Model C Il risultato finale dell’analisi push-over è la cosiddetta curva di capacità che riporta gli spostamenti sull’asse X del nodo di controllo, mentre sull’asse Y riporta il valore delle forze orizzontali corrispondenti. La struttura reale è dotata di n. gradi di libertà, e per sfruttare la teoria dello spettro di progetto, è necessario correlare la risposta ad un sistema equivalente ad un solo grado di libertà, come riportato nella figura di destra.

Analisi statica non lineare: PUSHOVER Calcolo dello spostamento da normativa (SPOSTAMENTO RICHIESTO) In figura sono indicate le formule utilizzate per il calcolo del periodo e dello spostamento richiesto da normativa per il sistema equivalente ad un grado di libertà.

Definizione di SLU SLD e SLU : capacità di spostamento della struttura valutata sulla curva globale. SLU: spostamento corrispondente ad una riduzione delle forza pari al 20% del massimo, (80% Fmax) per effetto della progressiva eliminazione dei contributi dei maschi murari che raggiungono lo spostamento ultimo. Per il calcolo dello Stato Limiti Ultimo e dello Stato Limite di Danno, la normativa riporta indicazioni precise. Lo Stato Limite Ultimo si raggiunge infatti quando si ottiene un decadimento del 20% rispetto al valore massimo raggiunto. Si tratti di definizioni convenzionali che consentono di stabilire quando l’analisi push-over deve cessare. Fmax SLU= 80% Fmax

Definizione di SLD SLD: spostamento minore tra 1) e 2) 1) Spostamento relativo fra 2 piani consecutivi d eccede i valori riportati in 4.11.2 2) Spostamento offerto relativo al raggiungimento della massima forza rispetto al richiesto d Anche per lo stato Limite di danno sono previste indicazioni precise dalla norma. In questo caso il valore limite è dato dal minimo spostamento come determinato nelle figure di destra e di sinistra. Spostamento richiesto Spostamento offerto La verifica è di tipo globale sulla curva di capacità e non sui singoli elementi!

Verifica struttura Asse X: spostamento orizzontale dell’edificio a livello del nodo di controllo Asse Y: forza orizzontale totale applicata. Spostamento richiesto Spostamento offerto La verifica globale della struttura si ottiene in modo estremamente semplice confrontando gli spostamenti: spostamento offerto e spostamento richiesto. Lo spostamento offerto è ottenuto attraverso l’analisi push-over ed è determinato attraverso la soluzione del telaio equivalente. In altre parole è lo spostamento massimo che la struttura è in grado di offrire prima del collasso. Lo spostamento richiesto è lo spostamento minimo richiesto dalla normativa, per la zona in esame ed è calcolato attraverso lo spettro di progetto. Se lo spostamento offerto è maggiore dello spostamento richiesto, possiamo dire che la struttura è verificata. Da notare che lo spostamento offerto è un dato intrinseco della struttura, ed è indipendente dalla normativa applicata. La simulazione numerica è infatti simile ad un prova sperimentale di laboratorio, sottoponendo la struttura a carichi crescenti. Per questo è possibile variare le condizioni sismiche, senza effettuare di nuovo l’analisi push-over. LA STRUTTURA E’ VERIFICATA!

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Sequenza di calcolo INPUT ANALISI VERIFICA Definizione Geometria DXF/DWG Caratteristiche struttura Oggetti strutturali A > B NO ANALISI Definizione telaio equivalente Definizione autom. mesh A - Curva di capacità offerta Analisi non lineare Le fasi di calcolo previste da 3Muri sono illustrate nella figura sopra, suddivise nei tre momenti di introduzione, analisi e verifica. Se la struttura non è verificata è possibile ritornare nella fase di input e variare le caratteristiche del materiale o inserire nuovi elementi resistenti. VERIFICA B - Domanda di spostamento Parametri sismici Fine analisi SI

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Presentazione dei risultati Pareti Il programma presenta infine i risultati in quattro finestre in cui è esaminato il comportamento della struttura all’aumentare del carico. 3Muri presenta la progressione del danneggiamento delle pareti, producendo un filmato che riporta la sequenza delle fasi elastica, di danneggiamento, di collasso, evidenziando le zone critiche. Nel caso di adeguamento sismico, effettuata una prima analisi dello stato di fatto, è possibile intervenire in modo mirato, agendo sulle zone di effettiva carenza. Ritornando nella fase di costruzione del modello, si possono prevedere opere migliorative, ad esempio: consolidamento della muratura, inserimento di nuovi elementi resistenti, aumento della rigidezza dei solai, ecc. Rifacendo l’analisi push-over si può immediatamente controllare l’efficacia della soluzione prevista. Pianta Curva capacità

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La verifica sperimentale del metodo (Università di Pavia – Magenes & Calvi, 1997) 3Muri è stato oggetto di attente analisi. In particolare sono stati confrontati i risultati di prove sperimentali, come quelle effettuate presso l’università di Pavia su strutture reali, con i risultati numerici ottenuti con 3Muri analizzando la stessa struttura. I risultati sperimentali e quelli calcolati con 3Muri sono quasi perfettamente sovrapponibili, come si evidenzia nelle figure centrali in cui sono riportate le curve nere (sperimentali) e rosse (calcolate con 3Muri).

Municipio di Castelnuovo Belbo La verifica sperimentale del metodo Municipio di Castelnuovo Belbo Terremoto Monferrato 2000 Simulazione del danno Danno osservato Simulazione numerica E’ stata inoltre studiata una struttura reale e cioè il Municipio di Castelnuovo Belbo, danneggiata dal terremoto del 2000. E’ stata effettuata l’analisi con 3Muri, confrontando i risultati ottenuti con i danni in planimetria effettivamente rilevati dalla struttura. Anche in questo si evidenzia la grande accuratezza del programma nel prevedere la quantità e la dislocazione del danneggiamento.

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Confronto FME con POR Solaio + Fascia deformabili sono assimilati ad un impalcato Rigido. Elementi murari a rotazione impedita Il metodo FME, rispetto al metodo POR, offre grandi vantaggi per la maggiore flessibilità dovuta alle ipotesi più realistiche che il programma assume. Con 3Muri la struttura è presa in conto con tutte le sue reali caratteristiche, ottenendo modelli molto precisi e affidabili.

Caratteristiche metodo POR Modello semplificato, di facile implementazione numerica Ipotesi di solai infinitamente rigidi (non reale in edifici esistenti) Non sono previsti meccanismi di danneggiamento delle fasce Rigidezza strutturale sovrastimata Duttilità strutturale fortemente sottostimata In particolare, a fronte di una maggiore semplicità di calcolo, il metodo POR presente le seguenti carenze.

Confronto metodo FME con metodo elementi finiti Il metodo agli elementi finiti classici, con la suddivisione del continuo in elementi discreti, è un’altra soluzione adottata da alcuni programmi. In questo caso si ottengono molto informazioni locali, che però sono poche significative per lo studio del comportamento globale, proprio per la grande disomogeneità della muratura. Inoltre è molto più complesso definire il comportamento elastico-plastico del materiale.

Svantaggi del metodo ad elementi finiti Dipendenza dell’analisi dalla mesh (mesh dependent) Tempo di calcolo fortemente dipendente dalle dimensioni del modello Definizione puntuale delle leggi costitutive del materiale di difficile reperimento La normativa non contiene tutti i parametri necessari a definire il comportamento non lineare ed il degrado In figura si riporta l’elenco dei punto di debolezza del metodo agli elementi finiti.

Svantaggi del metodo ad elementi finiti Per l’applicazione dei criteri di resistenza a taglio e pressoflessione alla muratura è necessario integrare gli effetti nodali sui singoli elementi murari La normativa non presenta riferimenti espliciti a modellazione con elementi di superficie ma propone una modellazione a telaio equivalente con maschi, travi in muratura ed eventuali altri elementi strutturali in c.a. ed acciaio

Per ogni ulteriore informazione consultare il sito www. stadata Per ogni ulteriore informazione consultare il sito www.stadata.com oppure telefonare al n. verde: 800 236 245