Algebra di Boole … logica matematica Progetto Eracle 2 Prof. Marialetizia Pedrinazzi Prof. Daniela Strangis

Logica matematica Branca della matematica che si occupa del valore di verità delle proposizioni. Una proposizione è un’affermazione a cui si può attribuire un valore di verità. Esempio: 2+3=4 è una proposizione falsa. esercizi

Cosa succede se proviamo a combinare delle proposizioni fra loro Cosa succede se proviamo a combinare delle proposizioni fra loro? Cosa succede al loro valore di verità? Tanti matematici si sono occupati di tale problema, es. Aristotele con i suoi sillogismi ha organizzato e analizzato le forme del corretto ragionamento, il ragionamento logico.

Le regole del calcolo fra proposizioni costituiscono “l’algebra di Boole”, matematico inglese dell’800. Le operazioni fondamentali sono: Somma logica + Prodotto logico * Negazione logica Disgiunzione esclusiva

L’algebra di Boole, segue le regole della logica binaria, cioè il risultato di una qualsiasi operazione può assumere solo due valori: Valore vero Valore falso 1

Proprietà Essa si basa su alcuni assiomi da cui si ricavano le seguenti proprietà: Commutativa: a+b=b+a Associativa: (a+b)+c=a+(b+c) Idempotenza a+a=a Assorbimento a+(a*b)=a Distributiva a*(b+c)=a*b+b*c Elemento neutro a+0=a Complemento a*(!a)=0 Leggi di De Morgan

Leggi di De Morgan (a+b) = a*b (a*b) = a+b

Costituisce il fondamento teorico e pratico dei moderni elaboratori. Infatti, all’interno di questi il valore 1 corrisponde ad un valore di tensione alto Il valore 0 corrisponde ad un valore di tensione basso.

Tale algebra trova un parallelo fra: insiemistica, algebra delle proposizioni, informatica. Le operazioni fondamentali sono: Negazione logica Prodotto logico * Somma logica + Disgiunzione esclusiva

Negazione: tabella di verità Non A v f A Not A 1

Negazione: not, non Insieme A Insieme A

Negazione: esempi A: 3 è un numero primo Es. 1 Non A: non è vero che 3 è un numero primo oppure Non A: 3 non è un numero primo A: tutti gli italiani parlano l’italiano Non A: non tutti gli italiani parlano l’italiano oppure Non A: esiste almeno un italiano che non parla l’italiano Es. 1 esercizi Es. 2

Prodotto logico: *, and, et, ٨ Corrisponde all’intersezione fra due insiemi. Insieme intersezione I insieme II insieme

Prodotto logico: tabella di verità La proposizione risultante è vera se e solo se entrambi sono vere. Prop. A Prop. B A and B 1

Prodotto logico: esempi Esempio 1 A: 2 è un numero pari vera B: 6 è un numero dispari falsa A ٨ B: 2 è un numero pari and 6 è un numero dispari falsa esercizi Adesso a voi altri …

Somma logica: +, U, or, o, vel Corrisponde a: unione di due insiemi: Insieme unione I insieme I insieme + II insieme II insieme

Somma logica: tabella di verità La proposizione risultante è vera se almeno una delle due è vera. Prop. A Prop. B A or B 1

Somma logica: esempi A: 2 è un numero pari vera B: 6 è un numero dispari falsa A V B: 2 è un numero pari o 6 è un num. dispari vera A: 3 è un numero pari falsa B: Roma è la capitale della Francia falsa A V B: 3 è un numero pari o Roma è la capitale della Francia falsa Es. 1 Es. 2 esercizi

Disgiunzione esclusiva: xor, aut, o… o… I insieme II insieme

Disgiunzione esclusiva La proposizione risultante è vera se e solo se una soltanto delle due proposizioni è vera Prop. A Prop. B A xor B 1

Disgiunzione esclusiva: esempi “qui bisogna o vincere o morire!” La proposizione: “2 o è pari o è dispari” è vera. Infatti, “2 è pari” è vera mentre “2 è dispari” è falsa! La proposizione: “5 o è multiplo di 2 o è multiplo di 3” è falsa. Infatti, “5 è multiplo di 2” è falsa e “5 è multiplo di 3” è falsa. Poiché entrambi sono false la risultante è falsa! esercizi

Riepilogo delle operazioni OPERATORI LOGICI FONDAMENTALI SIMBOLISMO Latino Di Hilbert informatico Negazione logica P = non P P = P P = not P Prodotto logico P = P1 et P2 P= P1 ٨ P2 P = P1 and P2 Somma logica P = P1 vel P2 P = P1 V P2 P = P1 or P2 Disgiunzione esclusiva P = P1 aut P2 P=P1 V P2 P = P1 xor P2

Fine … adesso al lavoro! esercizi riassuntivi

Proposizioni: esercizi Esercizio 1) Stabilire quali delle seguenti frasi sono proposizioni: Un quadrato ha 4 lati; Oggi il tempo è bello; Sono circa le due di pomeriggio; 6 è un numero pari; Che bella città! Nessuno è immortale. Esercizio 2) attribuire un valore di verità alle seguenti proposizioni escludendo quelle che non lo sono: Un rettangolo ha le diagonali isometriche; 7 è divisore di 360; Il m.c.m. di 12 e 24 è 12; L’ Italia è bella; Il M.C.D. di 2 e 24 è 24; Oggi è una bella giornata; Mio figlio è bello;

Proposizioni: esercizi Esercizio 3: costruire le possibili combinazioni di verità di due proposizioni completando la tabella a fianco A B F 0 … 0 F … V 1 …. …. V … V …. Esercizio 4: costruire le possibili combinazioni di verità di tre proposizioni costruendo una tabella analogamente all’esercizio precedente

Negazione: esercizi Esercizio 1) scrivere la negazione delle seguenti proposizioni 10 è multiplo di 5 Non uso la bicicletta Non ho avuto nessun regalo Faccio i compiti per non essere bocciato Le api non si posano su fiori che non profumano Esercizio 2) date le seguenti proposizioni, scrivere le coppie formate da una proposizione e dalla sua negazione Vedo nero Non vado al mare Non devi passare col semaforo rosso Devi fermarti col semaforo giallo Vedo bianco Non è vero che non vado al mare Devi passare col semaforo verde Non vedo nero Vado in montagna Devi passare col semaforo rosso Vado in vacanza Non devo passare a nessun semaforo

Negazione: esercizi Esercizio 3: assegnate le seguenti proposizioni: A: 3 è soluzione di x+3=0 B: il M.C.D. di 6 e 8 è 24 C: il M.C.D. di 6 e 8 è 2 D: la Luna è un satellite di Saturno E: la balena è un mammifero Determinare il valore di verità di ciascuna di esse; Scrivete le nuove proposizioni non A, non B, ecc., determinando anche i relativi valori di verità. Esercizio 4: costruire la tabella di verità della doppia negazione di una proposizione

Esercizi sul prodotto logico Esercizio 1) Scomporre le proposizioni composte date in proposizioni semplici: Esempio: Spillo è il mio cane ed ha otto anni; Proposizione A: Spillo è il mio cane Proposizione B: Spillo ha otto anni Mara canta e non balla; Marco suona e canta; D’estate lavoro e mi compro il motorino 4 è pari ed è multiplo di 2 Esercizio 2) Date le proposizioni seguenti A: 5 è numero primo; B: 6 è multiplo di 4; C: 4 è numero dispari attribuire il loro valore di verità quindi stabilire il valore di verità delle proposizioni composte: A ٨ B; non A ٨ non B; A ٨ non C Esercizio 3) Date le proposizioni seguenti: A: 20 è minore di 10; B: 20 è maggiore di 10; C: 30 è multiplo di 5; D: 20 è multiplo di 4; E: 20 è un quadrato perfetto Scrivere in parole le seguenti proposizioni composte e assegna ad ognuna il valore di verità: A ٨ B; non E ٨ non B; A ٨ non C; A ٨ non E; D ٨ non B; non D ٨ non E Esercizio 4) Date le proposizioni seguenti: A: l’uomo è un mortale; B: l’uomo è un mammifero; C: l’uomo ha due occhi; Scrivere in parole le seguenti proposizioni composte e assegna ad ognuna il valore di verità: A ٨ B; non A ٨ non B; A ٨ non C; B ٨ non C; non C ٨ non B; C ٨ non A; non(A ٨ B)

Esercizi sulla somma logica Esercizio 1: date le seguenti proposizioni 27 è il cubo di 3 -2 è soluzione dell’equazione 2x=0 In un triangolo la somma di due lati deve essere maggiore del terzo Il triplo di 2 sommato con 5 è uguale a 10 Assegnare i valori di verità alle proposizioni Scrivere le proposizioni composte: A=a vel b, B=a vel c, C=a vel d, D=b vel c, E=b vel d, F=c vel d e determinare il valore di verità di ognuna di esse. Esercizio 2: date le seguenti proposizioni: A=oggi fa caldo, B=oggi vado al mare, traduci in simboli le seguenti proposizioni composte. Oggi fa caldo e vado al mare A and B Oggi non fa caldo e vado al mare …………… Oggi non fa caldo e non vado al mare …………… Oggi fa caldo o vado al mare …………… Oggi non fa caldo o vado al mare …………… Oggi non fa caldo o non vado al mare ……………

Esercizi sulla somma logica Esercizio 3: costruire la tabella di verità delle proposizioni indicate seguendo l’esempio rappresentato in tabella: A vel (nonB). A B Non B A vel non B 1 Non A vel B, non A vel (nonB), A vel non (non B); (A V nonA) V non B, A V(non A V B); A V( B ٨ nonB); (A ٨ B) V nonB

Esercizi sulla disgiunzione esclusiva Esercizio 1: date le proposizioni sotto assegnare loro un valore di verità P1=7 è pari; P2=7 è dispari; P3=5 è radice di 25; P4=5 è radice di 24 quindi costruire le seguenti proposizioni composte: P1 XOR P2; P1 XOR P3; P1 XOR P4; P2 XOR P3; P2 XOR P4; P3 XOR P4. Esercizio 2: date le proposizioni: P1=lavoro; P2=non guadagno; P3=mi diverto; scrivi a parole le proposizioni composte P1 aut P2; P1 aut P3; P2 autP3; non P2 aut non P3 Esercizio 3: date le proposizioni: A=3 è pari; B=3 è dispari; C=3 non è numero primo; Assegna un valore di verità alle seguenti proposizioni composte

Esercizi conclusivi Esercizio 1) completare la seguente tabella come nell’esempio sviluppato nella prima riga p q p and q p or q 2 è un numero dispari F 5 è un numero dispari V 2 e 5 sono numeri dispari 2 o 5 sono numeri dispari Milano si trova in Lombardia v Milano si trova in Italia 8+2=10 ……… 10 è dispari …… 5 è un numero primo …….. 6 è un multiplo di 3 …….