Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo Disequazioni lineari Prof. Vincenzo Calamia Liceo Classico Alcamo

è una disuguaglianza Un’espressione nella quale figurino i simboli  minore di es. 2² < 2³ (2² minore di 2³)  maggiore di es. 24 > 23 (24 maggiore di 23)  minore o uguale a es. a  b (a minore o uguale a b)  maggiore o uguale a es. 2b  c (2b maggiore o uguale a c) è una disuguaglianza

Disuguaglianza a  b  a<b  a=b a  b  a>b  a=b Il simbolo  tra due espressioni corrisponde alla seguente coimplicazione logica: a  b  a<b  a=b Analogamente il simbolo  tra due espressioni corrisponde alla seguente coimplicazione logica: a  b  a>b  a=b

Principi delle disuguaglianze Sommando o sottraendo ai due membri di una disuguaglianza lo stesso numero, il senso della disuguaglianza non cambia: a>b  a+c>b+c a,b,cR a>b  a-c>b-c 12 > 5  12+3 > 5+3 5 < 7  5+2 < 7+2 12 > 5  12-3 > 5-3 5 < 7  5-2 < 7-2 -5 > -7  -5-2 > -7-2 -5 < -3  -5-2 < -3-2

a>b  c>0  ac>bc a>b  c>0  a/c>b/c Principi delle disuguaglianze Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per lo stesso numero positivo, il senso della disuguaglianza non cambia: a,b,cR c>0 a>b  c>0  ac>bc a>b  c>0  a/c>b/c 12 > 5  123 > 53 5 < 7  52 < 72 12 > 4  12/2 > 4/2 6 < 9  6/3 < 9/3 -5 > -7  -52 >-72 -8 < -4  -8/2 < -4/2

a>b  c<0  ac<bc a>b  c<0  a/c<b/c Principi delle disuguaglianze Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per lo stesso numero negativo, cambia il senso della disuguaglianza: a,b,cR C<0 a>b  c<0  ac<bc a>b  c<0  a/c<b/c 12 > 5  12(-3) < 5(-3) 5 < 7  5(-2) > 7(-2) 12 > 4  12/(-2) < 4/(-2) 6 < 9  6/(-3) > 9/(-3) -5 > -7  -5(-2) <-7(-2) -8 < -4  -8/(-2) > -4/(-2)

a>b c>d  a+c>b+d a<b c<d  a+c<b+d Principi delle disuguaglianze Sommando membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso. a>b c>d  a+c>b+d a,b,c,dR a<b c<d  a+c<b+d Sottrarre membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso, produce invece risultati imprevedibili !!! 12>57>3  12+7 > 5+3 5<7 3<6  5+3 < 7+6 12>44>-2  12+4>4+(-2) -6<-5-2<-1-6+(-2)<-5+(-1) 7>4 5>2 7-5=4-2 6<85<9  6-5>8-9

Principi delle disuguaglianze Sottraendo due numeri disuguali da uno stesso numero, le differenze sono disuguali in senso contrario alla disuguaglianza dei sottraendi: a,b,cR a>b  c-a < c-b a<b  c-a>c-b 8 > 5  9-8< 9-5 5 < 7  3-5 > 3-7 6 > -4  8-6 < 8-(-4) 6 < 9  2-6 > 2-9 -5 > -7  -2-(-5)<-2-(-7) -8 < -4 -5-(-8)>-5-(-4)

a>b  c>d  ac>bd a<b  c<d  ac<bc Principi delle disuguaglianze Il prodotto membro a membro di due disuguaglianze dello stesso senso tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso. a,b,c,dR+ a>b  c>d  ac>bd a<b  c<d  ac<bc 6>57>3  6x7 > 5x3 5<7 3<6  5x3 < 7x6

Principi delle disuguaglianze Se due numeri positivi sono disuguali la disuguaglianza dei loro reciproci (o inversi) ha senso contrario. a>b  1 < 1 a b a,bR+ a<b  1 > 1 a b 4 > 2  1 < 1 4 2 4 < 8  1 > 1 4 8

Principi delle disuguaglianze La potenza con lo stesso esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, dà una disuguaglianza dello stesso senso. a > b  an > bn a,bR+ nNo a < b  an < bn 4 > 2  42 > 22 3 < 4  33 < 43

Principi delle disuguaglianze La potenza con esponente intero positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri negativi, cambia il senso della disuguaglianza se l’esponente è pari, lo conferma se l’esponente è dispari. a,bR- nNo a>ba2n<b2n a<ba2n>b2n a>ba2n+1>b2n+1 a<ba2n+1<b2n+1 -4 > -5  (-4)2 < (-5)2 -3>-4  (-3)3 > (-4)3

Principi delle disuguaglianze a>ba2n ?>=<? b2n La potenza con esponente positivo dispari dei due membri di una disuguaglianza tra numeri di segno opposto, conserva il senso della disuguaglianza; con l’esponente pari, non è certo in generale il senso. a>ba2n ?>=<? b2n a,bR a>0b<0 nNo a>ba2n+1>b2n+1 4 > -5  (4)2 < (-5)2 3>-4  (3)3 > (-4)3 3>-3  (3)3 > (-3)3 4 > -4  (4)2 = (-4)2 4 > -3  (4)2 > (-3)2 3>-2  (3)3 > (-2)3

Principi delle disuguaglianze La radice n-esima con indice positivo dei due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, conserva il senso della disuguaglianza. a>b na>nb a,bR a>0b>0 nNo 81 > 16  481 > 416 25 < 36  25 < 36

disequazioni Si definisce disequazione una disuguaglianza in cui figurino una o più lettere come incognite. 2x – 8 > 0 primo membro secondo membro Se l’incognita compare solo al numeratore la disequazione si dice intera, altrimenti fratta Se figurano altre lettere oltre l’incognita la disequazione si dice letterale, altrimenti numerica

frazionaria parametrica disequazioni frazionaria intera Intera parametrica frazionaria parametrica

10 è una soluzione di questa disequazione disequazioni Un numero è una soluzione di una disequazione se, sostituito all’incognita, la trasforma in una disuguaglianza vera soluzione 2x – 8 > 0 10 è una soluzione di questa disequazione 2x10–8=12 > 0 infatti

2x – 8 > 0 2x-8 > 0 x-3 Dominio disequazioni Il dominio di una disequazione in una variabile è l’insieme dei valori (generalmente infiniti) che, sostituiti alla variabile, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera o falsa Dominio La disequazione a destra ha per dominio tutti i numeri reali (è definita per qualunque valore di x) quindi DR 2x – 8 > 0 2x-8 x-3 > 0 La disequazione a sinistra non è definita per x=3 (si annulla il denominatore) quindi D=R-3

Dominio 2x–8 > 0 2x-8 > 0 x-3 disequazioni Y=2x–8 2x-8 y= x-3 La retta è definita da -  a + ; esiste quindi un valore di y per qualunque valore reale di x D=R L’iperbole è definita da -  a + , tranne per x=3 perchè il denominatore si annulla, quindi D=R-3

Insieme delle soluzioni il grafico consente di comprendere meglio disequazioni L’insieme delle soluzioni è l’insieme di tutti i valori (generalmente infiniti) che, sostituiti all’incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera Insieme delle soluzioni Tutti i numeri reali > di 4 costituiscono l’insieme delle soluzioni di questa disequazione 2x – 8 > 0 S=xRx>4 ovvero Per questa disequazione invece 2x-8 x-3 >0 S=xRx>4x<3 il grafico consente di comprendere meglio

Insieme delle soluzioni disequazioni Insieme delle soluzioni Y=2x–8 2x-8 x-3 y= x=3 2x–8 > 0 2x-8 x-3 > 0 L’insieme delle soluzioni è costituito da tutti i valori di x per cui le disequazioni diventano disuguaglianze vere. Graficamente ciò corrisponde ai valori di x per cui y>0 (linea sul semipiano delle ordinate positive) quindi: Per la retta S=xRx>4 Per l’iperbole S=xRx>4x<3

Ammette questo insieme di soluzioni disequazioni Un’equazione determinata ammette un numero massimo di soluzioni pari al suo grado. Una disequazione determinata ammette, in generale, infinite soluzioni che fanno parte di uno o più intervalli, limitati o illimitati. la disequazione Ammette questo insieme di soluzioni S=xR  x2  x3 x²-5x+60

disequazioni x²-5x+60 Anche in questo caso, il significato della soluzione emerge con chiarezza dalla rappresentazione grafica. La soluzione della disequazione coincide con la soluzione del seguente sistema:  y = x²-5x+6 y  0 Si tratta quindi di trovare i punti della parabola, rappresentata dalla prima equazione, comuni al semipiano delle ordinate maggiori o uguali a zero

 x²-5x+60 y=x²-5x+6 S=xR  x2  x3 y = x²-5x+6 y  0 disequazioni y=x²-5x+6 x²-5x+60  y = x²-5x+6 y  0 S=xR  x2  x3

L’insieme delle soluzioni si può rappresentare anche con le parentesi disequazioni S=xR  x2  x3 x²-5x+60 L’insieme delle soluzioni si può rappresentare anche con le parentesi  y = x²-5x+6 y  0 (- ;2]  [3;+ ) 8 Le parentesi quadre [ ] indicano che l’estremo è compreso, le tonde ( ) indicano che l’estremo è escluso

Principi di equivalenza delle disequazioni Sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione lo stesso numero o la stessa espressione algebrica definita nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero positivo o per la stessa espressione algebrica sempre positiva nello stesso dominio della disequazione, si ottiene una disequazione equivalente alla data. Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per lo stesso numero negativo o per la stessa espressione algebrica sempre negativa nello stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente alla data solo se si cambia il verso del simbolo di disuguaglianza.

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