A cura della 3 G e della prof.ssa Rosa Zollo Anno scolastico 2010/2011 a

LE CONICHE

La teoria delle coniche si sviluppa nella seconda metà del IV secolo a.C. ad opera di Menecmo e successivamente di Apollonio. Nella teoria di Menecmo vengono usati solo coni retti e la tecnica di esecuzione della sezione è sempre la stessa: i coni vengono tagliati con piani perpendicolari alla generatrice e sono ottenuti con la rotazione attorno a un cateto. - Cono acutangolo: OXITOME (ellisse) - Cono rettangolo: ORTOTOME (parabola) - Cono ottusangolo: AMBLYTOME (iperbole)

Se il triangolo per l asse è isoscele e acutangolo, si ottiene loxitome.

Se il triangolo per l asse è isoscele e rettangolo, si ottiene lortotome.

Se il triangolo per l asse è isoscele e ottusangolo, si ottiene l amblytome.

Libro Coniche Definizione di cono Se una retta, prolungata all'infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio.

Si conus plano per axem secetur; secetur autem et altero plano secante basis secundum rectam lineam, quae ad basim trianguli per axem sit perpendicularis: et sit diameter sectionis uni later trianguli per axem aequidistans: recta linea, quae a sectione coni ducitur aequidistans communi sectioni plani secantis, et basis coni, usque ad sectionis diametrum; poterit spatium aequale contento linea, quaeex diametro abscissa inter ipsam et verticemsectionis interiicitur, et alia quadam, quae ad linea inter coni angulum, et verticem sectionis interiectam, eam proportionem habeat, quam quadratum basis trianguli per axem, ad id quod reliquis duobus trianguli lateribus continetur. Dicantur autem huiusmodi sectio parabole. THEOREMA XI PROPOSITIO XI

Si conus plano per axem secetur, et secetur altero plano conveniente cum utroque latere trianguli per axem, quod neque basi coni aequidistet, neque subcontrarie ponatur: planum autem, in quo est basis coni, et secans planum conveniant secundum rectam lineam, quae sit perpendicularis vel ad basim trianguli per axem, vel ad eam, quae in directum ipsi constituitur. Recta linea quae a sectione coni ducitur aequidistans communi sectioni planorum usque ad diametrum sectionis poterit spatium adiacens lineae, ad quam sectionis diameter eam proportionem habeat, quam quadratum lineae diametro aequidistantis a vertice coni usque ad triangoli basim ductae, habet ad rectangulum contentum basis partibus, quae inter ipsam et rectas trianguli lineas interiiciuntur; latitudinem habens lineam, quae ex diametro ab ipsa abscinditur ad verticem sectionis deficiensque; figura simili, et similiter posita ei, quae diametro, et linea iuxta quam possunt,continetur. Dicatur autem huiusmodi sectio ellipsis. THEOREMA XIII PROPOSITIO XIII

Teorema XI di Apollonio Propositio XI sezione conica parabolica

Come ricavare lespressione analitica dal disegno

Applicazioni pratiche della parabola

Rappresentazione grafica del teorema

Un cono sia tagliato da un piano passante per lasse del cono e da un altro piano che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per lasse del cono, non sia condotto né parallelamente né antiparallelamente alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per lasse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC del piano, perpendicolare al prolungamento di questa base. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente allarea (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP 1 che incontrerà il prolungamento della base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione: ELLISSE PP 1 : PL = AF 2 : (BF. FC) Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR.

Sia V lorigine degli assi cartesiani PV = x QV = y PL indica il parametro p, PP diametro a dellellisse Dalla similitudine dei triangoli PPL e PVR si ottiene LS = (p/a)x Dalla tesi abbiamo QV2 = VR. PV = (PL –LS)PV Quindi y2 = px - (p/a) x2

Rappresentazione grafica del teorema

Un cono sia tagliato da un piano passante per lasse del cono e da un altro piano che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per lasse del cono, non sia condotto parallelamente alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per lasse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC in un punto interno a tale lato. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente allarea (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP 1 (si osservi che il punto P 1 si trova sullaltra falda del cono) che incontrerà la base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione: PP 1 : PL = AF 2 : (BF. FC) Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, situato sul prolungamento di P 1 L, si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR. TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA IPERBOLE

Considerando la similitudine dei triangoli PPL e VPR si ha: PP : PV = PL : VR Sia PP= a, VP = ascissa x, VQ = ordinata y, LP = p quindi si ha: a : (a+x) = p : VR VQ = PV x VR 2 y = px + x p a 22

Rappresentazione grafica del teorema