Elementi di Logica matematica Prima parte a cura di Fabio Cipollone

Proposizioni Definizione Si chiama proposizione o enunciato una frase di tipo dichiarativo per la quale si può stabilire senza ambiguità se essa è vera o è falsa. La verità o falsità di un enunciato viene detto valore di verità dell’enunciato.

Sono proposizioni, ad esempio, le seguenti frasi: “2 è un numero primo” “7 è multiplo di 3” “Pescara è un capoluogo di provincia” “Fuori piove” “Francesca ha 18 anni” “Carlo è più alto di Matteo”.

Le seguenti frasi, invece, non sono proposizioni: “Che ore sono?” “Stai zitto!” “Che bella sorpresa mi hai fatto!” “Paolo è simpatico” “L’Inter quest’anno vincerà il campionato”

Proposizioni Tre principi fondamentali: Il principio di identità: ogni proposizione ha lo stesso valore di verità di se stessa 2) Il principio di non contraddizione: una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa.

Proposizioni 3) Il principio del terzo escluso: una proposizione o è vera, o è falsa, non esiste una terza possibilità. Poiché, per il principio del terzo escluso, si hanno solo due possibili valori di verità (vero o falso), si parla di logica binaria.

Proposizioni Definizione Una proposizione si dice semplice (o atomica) se contiene un solo predicato.

Ad esempio, le proposizioni inizialmente considerate: “2 è un numero primo” “7 è multiplo di 3” “Pescara è un capoluogo di provincia” “Fuori piove” “Francesca ha 18 anni” “Carlo è più alto di Matteo” sono tutte proposizioni semplici.

e, o, se… allora, se e solo se. Proposizioni Definizione Una proposizione si dice composta (o molecolare) se è formata da due o più proposizioni semplici, collegate tra loro mediante delle locuzioni dette connettivi logici: e, o, se… allora, se e solo se.

sono proposizioni composte. Ad esempio: “Luca va a scuola in bici e c’è il sole” “Se c’è il sole, allora Luca va a scuola in bici” sono proposizioni composte. Una proposizione composta si può considerare come il risultato di operazioni tra proposizioni semplici, in cui gli operatori sono i connettivi logici.

Il problema che si pone è allora il seguente: Proposizioni Il problema che si pone è allora il seguente: come si può stabilire il valore di verità di una proposizione composta, conoscendo il valore di verità delle proposizioni semplici da cui è composta? Di questo si occupa il calcolo delle proposizioni. Per svilupparlo si devono definire con precisione le operazioni tra le proposizioni e le regole con le quali si eseguono.

Operazioni logiche La congiunzione Definizione Si dice congiunzione di due proposizioni p e q, e si indica con 𝑝∧𝑞 (si legge “p e q”), la proposizione che è vera se p e q sono contemporaneamente vere, falsa in ogni altro caso.

Tavola di verità della congiunzione Operazioni logiche Tavola di verità della congiunzione p q 𝑝∧𝑞 V F

Operazioni logiche Esempio 1 Date le due proposizioni p: “6 è multiplo di 2”, q: “6 è multiplo di 3”, entrambe vere, facendo la loro congiunzione si ottiene la proposizione 𝑝∧𝑞 : “6 è multiplo di 2 e di 3”, che risulta vera.

Operazioni logiche Esempio 2 Se consideriamo invece le due proposizioni r: “15 è divisibile per 3” (vera), s: “15 è divisibile per 4” (falsa); facendo la loro congiunzione si ottiene la proposizione 𝑟∧𝑠 : “15 è divisibile per 3 e per 4”, che risulta falsa.

Operazioni logiche La disgiunzione inclusiva Definizione Si dice disgiunzione inclusiva di due proposizioni p e q, e si indica con 𝑝∨𝑞 (si legge “p o q”), la proposizione che è vera se almeno una delle due proposizioni p e q è vera, è falsa se p e q sono entrambe false.

disgiunzione inclusiva Operazioni logiche Tavola di verità della disgiunzione inclusiva p q 𝑝∨𝑞 V F

Operazioni logiche Esempio 1 Consideriamo le due proposizioni r: “15 è divisibile per 3” (vera), s: “15 è divisibile per 4” (falsa); facendo la loro disgiunzione inclusiva si ottiene la proposizione 𝑟∨𝑠 : “15 è divisibile per 3 o per 4”, che risulta vera.

Operazioni logiche Esempio 2 Date invece le due proposizioni p: “-5 è maggiore di 2”, q: “-5 è maggiore di 3”, entrambe false, facendo la loro disgiunzione inclusiva si ottiene la proposizione 𝑝∨𝑞 : “-5 è maggiore di 2 o di 3”, che risulta falsa.

Operazioni logiche La disgiunzione esclusiva Definizione Si dice disgiunzione esclusiva di due proposizioni p e q, e si indica con 𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞 (si legge “o p o q”), la proposizione che è vera se una delle due proposizioni è vera e l’altra è falsa, è falsa se sono entrambe vere o entrambe false.

disgiunzione esclusiva Operazioni logiche Tavola di verità della disgiunzione esclusiva p q 𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞 V F

Operazioni logiche Esempio Consideriamo le due proposizioni a: “fuori piove”; b: “fuori c’è il sole” . Facendo la loro disgiunzione esclusiva si ottiene la proposizione 𝑎 𝑎𝑢𝑡 𝑏 : “o fuori piove o fuori c’è il sole”.

Operazioni logiche La negazione Definizione Si dice negazione di una proposizione p, e si indica con 𝑝 o ¬𝑝 (si legge “non p”), la proposizione che è falsa se p è vera ed è vera se p è falsa.

Tavola di verità della negazione Operazioni logiche Tavola di verità della negazione p 𝑝 V F

Operazioni logiche Esempio La negazione dell’enunciato p: “ 2 è un numero razionale” (falso), è l’enunciato 𝑝 : “ 2 non è un numero razionale”, che ovviamente è vero.

L’implicazione materiale Definizione Operazioni logiche L’implicazione materiale Definizione Si dice implicazione materiale di due proposizioni p e q, e si indica con 𝑝→𝑞 (si legge “se p allora q” oppure “p implica q”), la proposizione che è falsa nel caso che p sia vera e q sia falsa, ed è vera in tutti gli altri casi. Le proposizioni p e q vengono dette rispettivamente antecedente e conseguente.

Tavola di verità dell’implicazione materiale Operazioni logiche Tavola di verità dell’implicazione materiale p q 𝑝→𝑞 V F Quindi: se l’antecedente è vera, l’implicazione è vera se e solo se anche la conseguente è vera; se l’antecedente è falsa, l’implicazione è vera qualunque sia il valore di verità della conseguente.

“Se studi, allora sarai promosso”. Operazioni logiche Esempio Un professore di Matematica dice ad un suo allievo: “Se studi, allora sarai promosso”. 𝑝 ⟶ 𝑞 p q 𝑝→𝑞 V Il professore ha detto il vero: l’allievo ha studiato, ed è stato promosso. F Il professore ha detto il falso: l’allievo ha studiato, ma non è stato promosso. Il professore ha detto il vero in entrambi i casi: l’allievo non ha studiato, cioè non ha rispettato la condizione posta dal suo professore, quindi ogni conseguenza è possibile, promozione o bocciatura!

Operazioni logiche Nota bene L’implicazione materiale non necessariamente indica un rapporto di causa – effetto tra antecedente e conseguente. Ad esempio possiamo considerare le proposizioni p: “Pescara è la capitale d’Italia” (falsa), q: “4 è un numero primo” (falsa), e la proposizione 𝑝→𝑞 : “se Pescara è la capitale d’Italia, allora 4 è un numero primo”, che paradossalmente risulta vera.

Operazioni logiche Definizioni Data un’implicazione 𝑝→𝑞 (detta implicazione diretta): l’implicazione 𝑝 → 𝑞 viene detta implicazione contraria di 𝑝→𝑞 ; l’implicazione 𝑞→𝑝 viene detta implicazione inversa di 𝑝→𝑞 ; l’implicazione 𝑞 → 𝑝 viene detta implicazione contronominale di 𝑝→𝑞 .

La coimplicazione materiale Definizione Operazioni logiche La coimplicazione materiale Definizione Si dice coimplicazione (o doppia implicazione) materiale di due proposizioni p e q, e si indica con 𝑝↔𝑞 (si legge “p se e solo se q” oppure “p coimplica q”), la proposizione che è vera se p e q hanno lo stesso valore di verità e falsa in caso contrario.

della coimplicazione materiale Operazioni logiche Tavola di verità della coimplicazione materiale p q 𝑝↔𝑞 V F

“Sarai promosso, se e solo se studi”. Operazioni logiche Esempio Un professore di Matematica dice ad un suo allievo: “Sarai promosso, se e solo se studi”. 𝑝 ⟷ 𝑞 p q 𝑝↔𝑞 V Il professore ha detto il vero: l’allievo è stato promosso, avendo studiato. F Il professore ha detto il falso: l’allievo è stato promosso, pur non avendo studiato. l’allievo non è stato promosso, pur avendo studiato. l’allievo non è stato promosso, non avendo studiato.

Proposizioni logicamente equivalenti Definizione Due proposizioni composte si dicono logicamente equivalenti se assumono lo stesso valore di verità in corrispondenza degli stessi valori di verità assunti dalle proposizioni componenti, se hanno cioè la stessa tavola di verità.

Proposizioni logicamente equivalenti Osservazione Un’implicazione materiale e la sua contronominale sono logicamente equivalenti. Per dimostrarlo basta confrontare le rispettive tavole di verità: p q 𝑝→𝑞 𝑞 𝑝 𝑞 → 𝑝 V F

Proposizioni logicamente equivalenti Esempio Le proposizioni 𝑝→𝑞 : “Se fuori c’è il sole, allora esco”, 𝑞 → 𝑝 : “Se non esco, allora fuori non c’è il sole”, sono logicamente equivalenti.

I connettivi logici con Excel In Excel, tra le funzioni logiche, sono implementati i tre connettivi logici fondamentali: La congiunzione ∧ sintassi: =E(A1;B1) La disgiunzione inclusiva ∨ sintassi: =O(A1;B1) La negazione ¬ sintassi: =NON(A1) dove A1 e B1 sono i nomi di due celle, ciascuna delle quali deve contenere uno dei due possibili valori di verità: VERO / FALSO.

I connettivi logici con Excel Mediante i tre connettivi logici fondamentali ∧, ∨, ¬, si possono ottenere, per equivalenza logica, i rimanenti: 𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞 è equivalente a 𝑝∧ 𝑞 ∨ 𝑝 ∧𝑞 𝑝→𝑞 è equivalente a 𝑝 ∨𝑞 𝑝↔𝑞 è equivalente a 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑝 . Dimostra per esercizio le equivalenze logiche precedenti costruendo le relative tavole di verità.

I connettivi logici con Excel L’implicazione materiale 𝑝→𝑞 si può ottenere anche utilizzando la funzione SE, nel modo seguente: =SE(A1;B1;VERO) La doppia implicazione 𝑝↔𝑞 si può ottenere anche come segue: =SE(A1=B1;VERO;FALSO) La disgiunzione esclusiva 𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞 si può ottenere anche nel modo seguente: =SE(A1=B1;FALSO;VERO)

Operazione insiemistica Operazioni logiche ed insiemistiche Si può stabilire la seguente corrispondenza tra operazioni logiche ed insiemistiche: Operazione logica Operazione insiemistica Congiunzione ∧ Intersezione ∩ Disgiunzione incl. ∨ Unione ∪ Negazione ¬, ͞ Complementare 𝒞, ͞ Per le operazioni tra proposizioni valgono le stesse proprietà delle corrispondenti operazioni tra insiemi:

Proprietà delle operazioni logiche Proprietà di idempotenza della congiunzione e della disgiunzione: 𝑝∧𝑝=𝑝 𝑝∨𝑝=𝑝 Proprietà commutativa della congiunzione e della disgiunzione: 𝑝∧𝑞=𝑞∧𝑝 𝑝∨𝑞=𝑞∨𝑝 Proprietà di complementarità (o legge della doppia negazione): 𝑝 =𝑝 Proprietà associativa della congiunzione e della disgiunzione: 𝑝∧𝑞 ∧𝑟=𝑝∧ 𝑞∧𝑟 𝑝∨𝑞 ∨𝑟=𝑝∨ 𝑞∨𝑟

Proprietà delle operazioni logiche Proprietà di distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione: 𝑝∧ 𝑞∨𝑟 = 𝑝∧𝑞 ∨ 𝑝∧𝑟 Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione: 𝑝∨ 𝑞∧𝑟 = 𝑝∨𝑞 ∧ 𝑝∨𝑟 Leggi di De Morgan: 𝑝∧𝑞 = 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝∨𝑞 = 𝑝 ∧ 𝑞 Leggi di assorbimento: 𝑝∨ 𝑝∧𝑞 =𝑝 𝑝∧ 𝑝∨𝑞 =𝑝

Tautologie e contraddizioni Definizioni Una proposizione composta viene detta tautologia se essa è vera qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti. Una proposizione composta viene detta contraddizione se essa è falsa qualunque siano i valori di verità delle proposizioni componenti.

Alcune tautologie notevoli 1) Principio d’identità 𝑝→𝑝 2) Principio di non contraddizione 𝑝∧ 𝑝 3) Principio del terzo escluso 𝑝∨ 𝑝