L’ANALFABETISMO MATEMATICO E’ L’IMMAGINE SPECULARE DELL’ANALFABETISMO LETTERARIO. C’E’ CHI NON SA LEGGERE E SCRIVERE E C’E’ CHI NON SA FAR DI CONTO - (E NON SA RAGIONARE CON IL PROPRIO CERVELLO: NON E’ SOLO QUESTIONE DI CONTI!). E’ DIFFUSO IN FORMA EPIDEMICA (E SUBDOLA) ANCHE TRA LA POPOLAZIONE ACCULTURATA.

MATEMATICA ED EVOLUZIONE Gli alunni non sanno più imparare? (c’è un’evoluzione intellettuale inversa?) I prof non sanno più insegnare? (c’è un’evoluzione culturale inversa?) Vengono commessi “errori didattici” nella scelta delle strategie (?) Gli errori didattici sono indotti da componenti ideologiche (?)

SUCCESSO E INSUCCESSO Insuccesso in matematica Successo in altre discipline ECLETTICI PIERINO E’ UN BRAVO LETTERATO MA E’ UN CATTIVO MATEMATICO. CONOSCE DANTE MA NON CONOSCE PITAGORA. DANTESCHI Successo in matematica Insuccesso in altre discipline PIERINO E’ UN BUON MATEMATICO MA E’ UN CATTIVO LETTERATO. CONOSCE PITAGORA MA NON CONOSCE DANTE. PITAGORICI

LE QUESTIONI DI BASE 1) La natura del sapere matematico: ipotetico-deduttivo o empirico? 2) La costituzione dell’intelligenza umana: unitaria o differenziata? 3) L’origine delle abilità matematiche: innate o apprese? 4) Il ruolo dei fattori intervenienti: l’emotività può prevalere sulla razionalità?

I PROBLEMI DEI CURRICULA 1) MATEMATICA PERCHE’? Scelta e organizzazione degli obiettivi 2) MATEMATICA QUALE? Scelta e organizzazione dei contenuti 3) MATEMATICA COME? Definizione delle strategie didattiche 4) CHI NON IMPARA LA MATEMATICA? Analisi delle cause di insuccesso 5) SI PUO’ IMPARARE MEGLIO LA MATEMATICA? Le strategie di ricupero

LE “DUE VIE” DEL CURRICULUM CENTRALE IMPOSTO PER AUTORITA’ FORMULATO DAGLI “ESPERTI” DECENTRATO DECISO IN AUTONOMIA FORMULATO DAI DOCENTI QUAL E’ LA DESTRA? QUAL E’ LA SINISTRA?

OBIETTIVI E IDEOLOGIE Matematica euclidea (“algoritmica”) Innatismo Strategia espositiva Educazione all’esecutività Conservatorismo Dogmatismo Assolutezza della verità “Pensiero forte” Fondazionalismo Matematica empirica (“euristica”) Istruttivismo Strategia per scoperta Educazione alla creatività Progressismo Libertà di pensiero Relatività della verità “Pensiero debole” Anti-fondazionalismo VISTO DA DESTRA VISTO DA SINISTRA

TIPOLOGIE CURRICOLARI per obiettivi per tassonomie per campi disciplinari per esposizione e interrogazioni lavoro individuale valutazione del prodotto dogmatismo autoritarismo elitismo per procedure per strutture interdisciplinarità per scoperta e discussione lavoro di gruppo valutazione del processo anti-dogmatismo anti-autoritarismo anti-elitismo VISTO DA DESTRA VISTO DA SINISTRA

CONCEZIONI DEL CONOSCERE razionalismo governabilità prevedibilità ordine verità universale obiettivi stabiliti regole stabilite monismo cognitivo irrazionalismo ingovernabilità imprevedibilità disordine verità personale obiettivi non definiti regole non stabilite pluralismo cognitivo VISTO DA DESTRA VISTO DA SINISTRA

LO SPIRITO DEI TEMPI IL RAPPORTO TRA L’INNATO E L’APPRESO VARIA SECONDO IL TEMPO IDEOLOGICO. CI SONO TEMPI PANGENETISTI (“CONSERVATORI”) E TEMPI PANCULTURALISTI (“PROGRESSISTI”). OGGI VIVIAMO IN UN TEMPO PROGRESSISTA … … IN CUI DOMINA IL “PENSIERO DEBOLE”. PERCIO’ CONVIENE ESSERE “DEBOLI” … … IN SOCIOLOGIA DELL’EDUCAZIONE … IN FILOSOFIA DELL’EDUCAZIONE … IN PSICOLOGIA DELL’APPRENDIMENTO … IN FILOSOFIA DELLA MATEMATICA. E’ LA QUADRATURA DEL CIRCOLO PEDAGOGICO.

COERENZE INTRACURRICOLARI NON E’ CORRETTO DISTINGUERE TRA “DESTRA” E “SINISTRA” IN TERMINI POLITICI NEI CURRICULA. NON ESISTONO CURRICULA “PROGRESSISTI” (DI “SINISTRA”) E CURRICULA “CONSERVATORI” (DI “DESTRA”). SONO “PROGRESSISTI” TUTTI I TIPI DI CURRICULUM, PERCHE’ MIRANO AL PROGRESSO DELLA CONOSCENZA. E COMUNQUE ESISTE SEMPRE LA LIBERTA’ DI SCELTA. L’IMPORTANTE E’ LA CONGRUENZA INTERNA, PER EVITARE L’INSORGERE DI SCHIZOFRENIE CONCETTUALI A LIVELLO DELLE DINAMICHE PROFONDE DELLA PERSONALITA’, CHE POSSONO DETERMINARE ATTEGGIAMENTI MATOFOBICI.

TESI SUI CURRICULA (I) LA MATEMATICA E’ “UN LINGUAGGIO CHE SERVE A COMUNICARE LE REGOLARITA’ CHE SI SCOPRONO NEL MONDO DELLA NATURA”. PER CAPIRSI, TUTTI DEVONO PARLARE LA STESSA LINGUA. TUTTI DEVONO IMPARARE LA MATEMATICA ALLO STESSO MODO. LA MATEMATICA NON E’ UNA FORMA DI IRREGGIMENTAZIONE DEL PENSIERO.

TESI SUI CURRICULA (II) LE “VARIABILI LOCALI” DI AMBIENTE NON DEVONO ENTRARE NELLA FORMULAZIONE DEI CURRICULA. OBIETTIVI E CONTENUTI DEI CURRICULA MATEMATICI DEVONO ESSERE UGUALI DAPPERTUTTO. LA MATEMATICA COSTITUISCE UN FATTORE DI RIUNIFICAZIONE CULTURALE, DI FRONTE ALLE SPINTE CENTRIFUGHE DEL LOCALISMO.

L’INTELLIGENZA MATEMATICA L’INTELLIGENZA MATEMATICA E’ SUPERIORE ALLE ALTRE? M NO F SE SI RITIENE CHE L’INTELLIGENZA MATEMATICA NON SIA SUPERIORE AD ALTRE FORME DI INTELLIGENZA, ALLORA SI INSEGNA UNA MATERIA INTELLETTUALMENTE BANALE, CHE TUTTI POSSONO CAPIRE ANCHE CHI NON POSSIEDE DOTI INTELLETTUALI SPECIALI. PERCHE’ ALLORA COSI’ TANTI RIESCONO MALE IN MATEMATICA E RIESCONO BENE IN ALTRE DISCIPLINE? - CIOE’: RIESCONO MALE PROPRIO DOVE CI VUOLE MENO INTELLIGENZA. MA DOVE CI VUOLE MENO INTELLIGENZA, SI DOVREBBE RIUSCIRE MEGLIO. E ALLORA?

LE DOTI DEL MATEMATICO PER CAPIRE LA MATEMATICA OCCORRONO DOTI SPECIALI? L’INTELLIGENZA MATEMATICA E’ SUPERIORE ALLE ALTRE? NO NO SE L’INTELLIGENZA MATEMATICA NON E’ SUPERIORE AD ALTRE FORME DI INTELLIGENZA, ALLORA SI INSEGNA UNA MATERIA INTELLETTUALMENTE BANALE, CHE TUTTI POSSONO CAPIRE ANCHE CHI NON POSSIEDE DOTI INTELLETTUALI SPECIALI (IL “BERNOCCOLO”). CHI NON CAPISCE UNA COSA COSI’ BANALE E’ PROPRIO NEGATO A QUALSIASI FORMA DI SAPERE E NON C’E’ NIENTE DA FARE PER RICUPERARLO. PERCHE’ ALLORA COSI’ TANTI RIESCONO MALE IN MATEMATICA E RIESCONO BENE IN ALTRE DISCIPLINE? CIOE’: RIESCONO MALE PROPRIO DOVE CI VUOLE MENO INTELLIGENZA? MA DOVE CI VUOLE MENO INTELLIGENZA,SI DOVREBBE RIUSCIRE MEGLIO. E ALLORA?

IL GIOCO DEGLI ATTEGGIAMENTI DEI DOCENTI DEGLI ALLIEVI DELLE DOCENTI DELLE ALLIEVE VERSO GLI ALLIEVI VERSO I DOCENTI VERSO LE ALLIEVE VERSO LE DOCENTI CHE RIESCONO BENE CHE RIESCONO MALE

IL GIOCO DELLE ASPETTATIVE CI SI ASPETTA DI PIU’ DAGLI ALLIEVI CHE RIESCONO BENE? F M SI CI SI ASPETTA DI MENO DAGLI ALLIEVI CHE RIESCONO MALE? M M NO SI F F

MATEMATICA PER CHI? tutti possono capire la matematica non richiede doti speciali chi non ha il bernoccolo e perciò non capisce può essere ricuperato esistono strategie migliori di quella espositiva solo chi ha il bernoccolo può capire la matematica capire la matematica richiede doti speciali chi non ha il bernoccolo e perciò non capisce non può essere ricuperato non esistono strategie migliori di quella espositiva DOVE E’ LA DESTRA? DOVE E’ LA SINISTRA?

MASCHILE-FEMMINILE F M F M NO SI NO DI CHE SESSO SONO I DOCENTI? IL MATEMATICO HA DOTI SPECIALI? F M M F NO LE DONNE SONO MENO PORTATE ALLA MATEMATICA DEGLI UOMINI? Le risposte dei maschi Le risposte delle femmine NO SI NO

ALUNNI E ALUNNE RIESCONO MEGLIO LE ALUNNE O GLI ALUNNI? UOMINI ALUNNE LE DIFFERENZE DI SESSO DEI DOCENTI INFLUISCONO SULLE ASPETTATIVE NEI CONFRONTI DEGLI ALLIEVI, IN RELAZIONE AL LORO SESSO. . DONNE LE DONNE PIU’ DEGLI UOMINI OTTENGONO MIGLIORI RISULTATI DALLE ALUNNE. SI ATTENDONO MIGLIORI RISULTATI DALLE ALUNNE (“PROFEZIA CHE SI AUTOREALIZZA?”). LE DONNE CON PIU’ ANNI DI SERVIZIO

PROGRAMMI DI SVILUPPO dare meno a chi ha di più NO SI SONO STATI ADOTTATI PROGRAMMI DI SVILUPPO PER ALUNNI DOTATI? dare meno a chi ha di più CHI PIU’ HA, MENO RICEVE. COSI’ IMPARA! CHI PIU’ HA FA PAURA. CHI PIU’ HA, MENO ABBIA. NO SI “GLI ALUNNI DOTATI VENGONO PENALIZZATI PROPRIO PERCHE’ SONO DOTATI”. FINO A CHE PUNTO E’ LECITO QUESTO?

PROGRAMMI DI RICUPERO SI SI SI OBIETTIVI E CONTENUTI SONO STATI ADOTTATI PROGRAMMI DI RICUPERO PER ALUNNI IN DIFFICOLTA’? PROGRAMMI DI RICUPERO SONO STATI ADOTTATI PROGRAMMI DI RICUPERO PER ALUNNI IN DIFFICOLTA’? SONO STATI MODIFICATI GLI OBIETTIVI? SI SI sì SONO STATI MODIFICATI I CONTENUTI? OBIETTIVI E CONTENUTI SONO STATI “RIDOTTI AL MINIMO”. MA ESISTE UNA “MATEMATICA MINIMA”? QUALI SONO I CONTENUTI RINUNCIABILI E QUALI SONO GLI OBIETTIVI TRASCURABILI? IN MATEMATICA LA PROGRESSIONE DEGLI ARGOMENTI E’ RIGOROSA E NON AMMETTE LACUNE. SI sì

STRATEGIE E TIPI DI PENSIERO Tipo di strategia adottata Tipo di pensiero richiesto SCOPERTA ? E’ IL TIPO DI PENSIERO DIVERGENTE CHE, PORTANDO FUORI DAI PERCORSI STABILITI E ANCHE VIOLANDO LE REGOLE, PORTA AD ACQUISIZIONI CONCETTUALI NUOVE. LA CONNESSIONE TRA QUESTE DUE DOMANDE RIVELA UNA CONTRADDIZIONE DI FONDO, CHE PUO’ PRODURRE ASPETTATIVE INFONDATE SUI RAPPORTI TRA CAPACITA’ DEGLI ALLIEVI E RENDIMENTO IN MATEMATICA. SI USA UNA STRATEGIA CHE RICHIEDE DOTI DIVERSE DA QUELLE REALMENTE NECESSARIE.

ALGORITMI ED EURISTICHE regolari strutturati eseguiti in modo uniforme in condizioni identiche sistemi di operazioni noti in anticipo risultati certi non regolari non strutturate eseguite in modi diversi secondo le condizioni sistemi di operazioni da scoprire risultati probabili DOVE E’ LA SINISTRA? DOVE E’ LA DESTRA?

SCOPRIRE … CHE COSA? CHI PUO’ DIRE DI AVER FATTO FARE A QUALCUNO L’ESPERIENZA DIRETTA DI COME SI COMPORTANO I TRIANGOLI RETTANGOLI? CHI PUO’ DIRE CHE QUALCUNO HA IMPARATO PER ESPERIENZA DIRETTA COME SI COMPORTANO I TRIANGOLI RETTANGOLI? CHI PUO’ DIRE DI AVERE IMPARATO PER ESPERIENZA DIRETTA DOVE E’ ACCESSIBILE L’ESPERIENZA DIRETTA

LA GIOIA DELLA SCOPERTA “Prof, ho scoperto la geometria non-euclidea”. “E’ un’assurdità! Un’allucinazione! Una degenerazione! Una paranoia! Una farsa! Una chimera! E’ un libertinaggio geometrico, una peste morale!”. “Prof, ho scoperto i numeri negativi”. “Sono falsi! Sono finti!”. “Prof, ho scoperto i numeri immaginari”. “Sono impossibili! Inesistenti! Assurdi! Anfibi tra l’essere e il nulla”! E’ COSI’ CHE VANNO LE COSE IN MATEMATICA.

LA SCOPERTA DI PITAGORA Pitagora scoprì il suo teorema quando era già intellettualmente maturo e possedeva 1) una grande quantità di conoscenze di sfondo organizzate, 2) un sistema di regole inferenziali sicure 3) buone capacità di autocritica. Le possiede un ragazzo di II Media, per riscoprire un teorema già noto?

SOCRATE E IL SUO SCHIAVO NELL’ESEMPIO CLASSICO, QUALI PROVE ABBIAMO CHE IL GIOVANE SCHIAVO ABBIA VERAMENTE IMPARATO QUALCOSA DA SOCRATE? ABBIAMO SOLO LE SUE RISPOSTE: “SI’’”, “CERTO”, “E’ COSI’”, “DICI BENE”, “E’ VERO”. SE NON AVESSE RISPOSTO COSI’, AVREBBE RISCHIATO LA TESTA. IN REALTA’, IL “MAESTRO” USO’ NON UNA TECNICA DI ARGOMENTAZIONE BASATA SUI CANONI DELLA LOGICA, MA UNA SUBDOLA TECNICA DI PERSUASIONE BASATA SU “RAPPORTI DI FORZA”, CIOE’ UNA TECNICA NON “DEMOCRATICA”.

IL MECCANISMO DELLA SCOPERTA PREPARAZIONE Indagine in tutte le direzioni INCUBAZIONE Elaborazione dei dati Associazione di idee ILLUMINAZIONE Comparsa dell’”idea felice” VERIFICA DELLA SOLUZIONE LIVELLO COSCIENTE LIVELLO INCONSCIO

IL CIRCOLO VIZIOSO comprensione non raggiunta obiettivi non conseguiti progresso insufficiente prestazioni insufficienti diminuzione dell’impegno aumento dell’ansia demotivazione esterna diminuzione dell’autostima demotivazione interna

LE RAGIONI DELL’ODIO L’ESSENZA DEL PROBLEMA PEDAGOGICO: Pierino odia la matematica perché non la impara? (e riconosce qualche carenza nelle sue capacità intellettuali) Pierino non impara la matematica perché la odia? (in quanto contrasta con la struttura della sua personalità e con il sistema delle sue credenze e aspettative)

IO E LA MAESTRA “Oggi risolveremo questo problema: Pierino ha tre mele … “Signora maestra, chi gliele ha date?” Gliele ha date la mamma! “Signora maestra, perché gliele ha date?” Perché è il suo compleanno! “Signora maestra, quanti anni compie Pierino?” Insomma, ora basta con le domande che non c’entrano !!! “Signora maestra, quali sono le domande che non c’entrano?” “PAGLIARI, FUORI !!!”

IO E IL PROF DI LETTERE “I numeri immaginari sono cose di fantasia!” “Anche i punti senza dimensione e le rette senza spessore sono cose di fantasia?” “Certo! Chi li ha mai visti?” “Allora, gli Elementi di Euclide sono un romanzo?” “Ma che vai dicendo?” “Don Chisciotte e il Cavaliere inesistente sono cose di fantasia allo stesso modo?” “Dico questo: don Chisciotte esiste nel romanzo di Cervantes, mentre il Cavaliere inesistente non esiste in quello di Calvino. E allora?” . “PAGLIARI, FUORI !!!”

IO E IL PROF DI FILOSOFIA “Ci vuole più intelligenza per diventare un filosofo o per diventare un matematico?”. “Per diventare un filosofo, naturalmente! Un filosofo si occupa dei più grandi problemi del sapere”. “Anche dei problemi della matematica? “Beh, qualche volta, quando capita”. “Quanti grandi problemi filosofici hanno risolto finora i filosofi?” Quanti grandi problemi matematici hanno risolto finora i filosofi?” “Beh, veramente …”. “Un filosofo della matematica può non conoscere la matematica? Lei quante dimostrazioni conosce del Teorema di Pitagora?” “PAGLIARI, FUORI !!!”

IO E IL PROF DI MATEMATICA “Tutti i triangoli rettangoli rispettano il Teorema di Pitagora?” “Certamente!” “Come si comportavano i triangoli rettangoli prima della scoperta del Teorema di Pitagora?” “Ma che vai dicendo?” “Si sono adattati di buon grado a questo teorema così impositivo, oppure hanno opposto qualche resistenza?” E se qualche triangolo rettangolo impazzito non volesse rispettare il Teorema di Pitagora, che cosa gli accadrebbe? Diventerebbe un fuorilegge?” “PAGLIARI, FUORI !!!”

ODIO E SUCCESSO AMORE ODIO SUCCESSO POSITIVO ANOMALO INSUCCESSO CONTROPOSITIVO NEGATIVO AMORE ODIO NEGATIVO POSITIVO - SI CONSIDERA (GIUSTAMENTE !) “POSITIVA” LA COINCIDENZA TRA AMORE E SUCCESSO. - SI CONSIDERA (GIUSTAMENTE ?) “NEGATIVA” LA COINCIDENZA TRA ODIO E INSUCCESSO. - PERCHE’ SI E’ SOLITI CONSIDERARE “ANOMALA” LA COINCIDENZA TRA ODIO E SUCCESSO? - E’ “NORMALE” QUESTO MODO DI GIUDICARE?

“UGUALE” E “DIVERSO” IN ITALIANO CI SONO MOLTI MODI DI FARE UN TEMA SU DANTE E TUTTI POSSONO ESSERE “GIUSTI”, PERCHE’ I GUSTI DEVONO ESSERE RISPETTATI. IN MATEMATICA C’E’ UN SOLO MODO DI RISOLVERE UN PROBLEMA: NON E’ QUESTIONE DI GUSTI. IN ITALIANO LE DIVERSITA’ SONO ESALTATE. IN MATEMATICA LE DIVERSITA’ SONO REPRESSE. SI ODIA LA MATEMATICA PERCHE’ E’ TROPPO “UGUAGLIANTE”?

IL CIRCOLO VIRTUOSO

FRUIBILITA’ DELLA MATEMATICA Chiunque (che non sia illetterato) può leggere “L’infinito” o “I Promessi Sposi”. Chiunque (che non sia cieco) può guardare “La Primavera” o il “Mosé”. Chiunque (che non sia sordo) può ascoltare la “Pastorale”. Per capire il Teorema di Pitagora non basta non essere illetterati, non basta non essere ciechi e non basta non essere sordi. Ci vuole qualcosa di speciale (il “bernoccolo”?).

LIBERTA’ DI PENSIERO Perché si può liberamente pensare che: - Leopardi era un cattivo poeta, - Botticelli era un cattivo pittore, - Michelangelo era un cattivo scultore, - Beethoven era un cattivo musicista ? Ma non si può liberamente pensare che: - Pitagora era un cattivo matematico ? Perché si può liberamente dire che: -“L’Infinito non mi piace, la Primavera non mi piace, - il Mosé non mi piace, la Pastorale non mi piace”? Ma non si può liberamente dire che: -“il Teorema di Pitagora non mi piace”?

EMOZIONE E RAZIONALITA’ PROBLEMA DATI IN INGRESSO FATTORI COGNITIVI FATTORI EMOTIVI VIA REGIA REGOLE DI INFERENZA DISTURBO CORREZIONE SVILUPPO DEI DATI INFERENZE SCORRETTE DIRETTIVITA’ SOLUZIONE OSCILLAZIONE RITORNO ALLA VIA REGIA ERRORE

L’IRRAZIONALITA’ CONGENITA I SOGGETTI SENZA ADDESTRAMENTO SPECIFICO IN CAMPO LOGICO HANNO CAPACITA’ RAZIOCINATIVE MOLTO RIDOTTE. PROBABILMENTE MANCANO LE STRATEGIE DI COLLEGAMENTO DELLE VARIE POSSIBILITA’ CHE SI PRESENTANO. FORSE CI SONO “REGOLE NATURALI DI DEDUZIONE”, - COME L’ELIMINAZIONE DELLA CONGIUNZIONE (p  q)p - IL “MODUS PONENS” ((p q)  p) q) - LA “LEGGE DI DE MORGAN” (p  q)(p q) - IL SILLOGISMO DISGIUNTIVO ((pq)p)q) MA IL CONTROLLO DELLA CONSISTENZA VEROFUNZIONALE DELLE PROPOSIZIONI RICHIEDE UN TEMPO ENORME, PER ARGOMENTAZIONI APPENA UN PO’ COMPLESSE. PER QUESTO LA MATEMATICA E’ COSI’ DIFFICILE DA IMPARARE.