Introduzione alle geometrie non euclidee Litografia di Escher Tavolo iperbolico

La geometria prima di Euclide Talete di Mileto (625 a.C. – 547 a.C.) introduce l’astrazione nello studio della matematica e dimostra i teoremi con un misto di logica e intuizione Pitagora di Samo (570 a.C. – 495 a.C.) la scuola pitagorica fa suo il programma di Talete di fare della geometria una scienza deduttiva. Con la scoperta degli incommensurabili mostra che intuizione e logica possono dare risultati discordi. Dal punto di vista metodologico l’eredità della scuola pitagorica può essere sintetizzata con il termine rigore.

Qualche data Platone 427 – 347 a. C Aristotele 384 – 322 a. C Nelle sue opere sono presenti i teoremi La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali Triangoli inscritti in una semicirconferenza sono rettangoli

Elementi Datati circa 300 a.C. Il centro degli studi filosofici si è spostato da Atene ad Alessandria d’Egitto E’ il primo trattato di matematica E’ composto da tredici libri

Struttura del primo libro degli Elementi 23 definizioni 5 postulati 5 nozioni comuni 48 teoremi I primi 28 teoremi sono dimostrati senza l’uso del V postulato

Definizioni dei termini primitivi Il punto è ciò che non ha parti Una linea è una lunghezza senza larghezza Gli estremi di una linea sono punti Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza ................................ Caratteristica generale di una definizione: descrive, rende esplicito ciò che si intende con un termine agganciandolo alla realtà

I postulati Si postula che I da qualsiasi punto si possa condurre una retta a ogni altro punto II ogni retta terminata si possa prolungare per diritto III con ogni centro e ogni distanza si possa tracciare un cerchio IV tutti gli angoli retti siano uguali tra loro V se una retta, incontrandone altre due, forma angoli interni da una stessa parte minore di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrino dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti I postulati dicono quali sono le costruzioni possibili

Nozioni comuni Cose uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro Se a cose uguali si aggiungono cose uguali si ottengono cose uguali Se a cose uguali si tolgono cose uguali si ottengono cose uguali Cose che possono essere portate a sovrapporsi sono uguali tra loro Il tutto è maggiore della parte

Il tutto è maggiore della parte Quali situazioni esclude A quali situazioni si riferisce

V postulato e rette parallele Se una trasversale forma con due rette angoli alterni interni uguali allora le rette sono parallele (non dipende dal V postulato) α=β  r // s L’esistenza di rette parallele è un teorema Se due rette sono parallele, una trasversale forma con esse due angoli alterni interni uguali (dipende dal V postulato) r // s  α=β

Altri enunciati del V postulato Due rette sono parallele se e solo se sono equidistanti Si dimostra che equivale al V postulato assumendo che “il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta” Data una retta r e un punto P esterno ad essa è unica parallela per P alla retta r (Proclo V d.C.) Qui si riconosce che l’unicità della parallela è il contenuto del V postulato

Saccheri (1667 – 1733) e la dimostrazione del V postulato Ipotesi dell’angolo: La somma degli angoli di un triangolo è: Retto Uguale a due retti Equivale V postulato Ottuso Maggiore di due retti Raggiunge una contraddizione Acuto Minore di due retti Trova una contraddizione per errore

Qual è la situazione all’inizio del XIX secolo? Nel tempo si erano susseguiti diversi tentativi di dimostrare il V postulato, che avevano portato a riconoscere quali teoremi erano da esso indipendenti e a formulare nuovi enunciati del V postulato. Si inizia a ritenere che il V postulato è indimostrabile. Come dimostrare l’indimostrabilità del V postulato?

I fondatori delle geometrie non euclidee C. F. Gauss (1777 – 1855) N. Lobacevskij (1793 – 1856) J. Bolyai (1802 – 1860) B. Riemann (1826 – 1866)

Gauss                  La geometria non euclidea non contiene nulla di contraddittorio, sebbene molti suoi risultati debbano sulle prime essere ritenuti paradossali; tuttavia scambiare ciò per una contraddizione sarebbe unicamente un’illusione, provocata dalla vecchia abitudine a considerare la geometria euclidea come strettamente vera. (lettera a Schumacher, 1831)

Esempi di teoremi di geometria non euclidea a cui si riferisce Gauss Tutte le figure simili sono anche congruenti Gli angoli di un triangolo equilatero non hanno misura costante, ma al crescere della misura dei lati diventano piccoli a piacere

Lobacevskij Opera una rifondazione globale della geometria oltre a sviluppare una teoria delle parallele Parte da osservazioni di carattere sperimentale sul comportamento dei corpi

J. Bolyai Studia le proprietà dello spazio indipendenti dal V postulato Risolve il problema della quadratura del cerchio nell’ipotesi della falsità del V postulato

Classificazione Geometria iperbolica: per un punto esterno a una retta data passa più di una parallela. Fondatori: Lobacevskij –Bolyai Geometria ellittica: non esistono rette parallele. Fondatore: Riemann

La geometria ellittica Riemann La geometria ellittica

                                                                                                                                                                                 Henri Poincaré (1854 – 1912)

Nuova visione della geometria Le geometrie non euclidee non hanno il carattere di evidenza della geometria euclidea. Gli enti primitivi non sono definiti con rimando all’esperienza ma attraverso gli assiomi Gli enti primitivi possono essere paragonati alle carte e gli assiomi alle regole del gioco. La geometria è il “gioco” che si ottiene una volta date le regole Come assicurare che nel gioco non si avranno incoerenze?

Poincaré immagina un mondo racchiuso in una sfera, in cui: La temperatura è massima al centro e diminuisce andando verso la superficie La temperatura assoluta è proporzionale a R2-x2, dove x è la distanza dal centro della sfera Tutti i corpi hanno lo stesso coefficiente di dilatazione In questo mondo il percorso dei raggi di luce è circolare

Modello di Poincaré Punto Linea Linea retta Piano Punto interno a un cerchio euclideo C parte interna a C di una linea euclidea Parte interna a C di un suo diametro o di un cerchio ortogonale a C interno del cerchio C

Coerenza della geometria iperbolica Nel modello i primi quattro postulati e la negazione del V postulato hanno un’interpretazione euclidea Ogni contraddizione deducibile da questi assiomi potrebbe essere tradotta in una contraddizione dei teoremi euclidei corrispondenti Se la geometria euclidea è coerente allora lo è anche quella iperbolica.

V postulato è indimostrabile! Se il V postulato fosse dimostrabile dai primi quattro, allora sarebbe anche un teorema della geometria iperbolica In tal caso la geometria iperbolica sarebbe non coerente perché conterrebbe il V postulato e la sua negazione.

David Hilbert Fondamenti della geometria (1899) Per dimostrare che il suo sistema di assiomi è non contraddittorio ne dà un’interpretazione nell’insieme dei numeri reali Se la teoria dei numeri reali è non contraddittoria allora lo è anche la geometria euclidea rifondata da Hilbert

Modello della geometria euclidea Punto Circonferenza Retta piano Coppia (x; y) (x-h)2 +(y-k)2=r2 ax+by+c = 0 Insieme delle coppie (x; y)

Gödel (1906 – 1978) E’ impossibile stabilire la coerenza logica di un sistema complesso, a meno di usare dei principi di ragionamento la cui coerenza interna è problematica quanto quella del sistema stesso.

Bibliografia Trudeau, La rivoluzione non euclidea Agazzi – Palladino, Le geometrie non euclidee H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi M. Kline, Storia del pensiero matematico G. Margiotta, Cabri come strumento di esplorazione delle geometrie non euclidee (quaderno Cabri n. 10)