1 MATHESIS Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche Sezione di Lanciano-Ortona 24 febbraio 2010 Ferdinando Casolaro - Università del Sannio I risultati di Eulero per le applicazioni della didattica di oggi

2 Strutture differenziali Un insieme D in cui siano definite due operazioni binarie (+ e ) costituisce una struttura D (+, ), che è detta struttura differenziale, se in D è definita unoperazione unaria tale che: 1) 2) 3) ;

3 Strutture differenziali, Linsieme costituito da tutti gli elementi tali che viene chiamato Campo delle costanti di D. struttura differenziale. Linsieme D delle funzioni razionali è una struttura differenziale.

4 Strutture differenziali Linsieme: con R(x) funzione razionale, è una struttura differenziale, in quanto risulta: Linsieme con S(x) funzione razionale è un campo differenziale in quanto risulta:

5 Teorema di Liouville F. Casolaro Decisione per integrali indefiniti – Atti del Convegno nazionale Mathesis – Cattolica 1991 (pag ) F. Casolaro – Il problema dellintegrazione indefinita – Ratio Mathematica n. 4 – 1992 (pag ) Sia una funzione razionale degli elementi ; se esiste una funzione tale che:, allora esistono degli elementi:,,… e delle costanti complesse tali che:,…, con funzione razionale di,funzioni irriducibili sul campo complesso.

6 Applicazioni del Teorema di Liouville alle funzioni razionali La derivata di una funzione razionale è ancora una funzione razionale: Non vale il viceversa.

7 2° TEOREMA DI LIOUVILLE Sia una funzione razionale e sia p il grado di q(x). Se si conoscono le p radici (reali o complesse) di q(x), lintegrale: è esprimibile mediante funzioni elementari e si ha: confunzione razionale;polinomio irriducibile su C ;

8 Esempi di funzioni non integrabili per via elementare con n>2

9 Lintegrale non è esprimibile mediante funzioni elementari. Dim. Se lintegrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari, dovrebbe esistere una funzione g(x), tale che: Per il 2° Teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere del tipo: (1) in cui compare un solo addendo logaritmico in quanto il denominatore presenta lunico fattore irriducibile x.

10 Algoritmo parallelo di Risch: Derivando ambo i membri della (1), si ha: cioè: La funzione, di cui ipotizziamo lesistenza, per cui si può deve essere una combinazione lineare finita di x ed esprimere nel seguente modo:

11 da cui, derivando: Si sostituisce tale sviluppo nellequazione differenziale (2): (2) Tale identità non può mai essere verificata perché il termine della sola compare al primo membro con coefficiente 1, ma non nel secondo. Contraddizione che dimostra la non esistenza della funzione verificante la (1).

12 Lintegrale non è esprimibile mediante funzioni elementari. Dim. Se lintegrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari dovrebbe esistere una funzione g(x) tale che: Per il teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere tale che: (1)

13 Algoritmo parallelo di Risch: Derivando la (1): si ha: (2) 4. Si sostituisce nella (2):

14 Le funzioni goniometriche attraverso Eulero

15 Le funzioni goniometriche attraverso Eulero

16 Lintegrale non è esprimibile mediante funzioni elementari Dim. Dalle relazione di Eulero: si ha: Ponendo: 2ix=t,, risulta: dove non è esprimibile mediante funzioni elementari.

17 Lintegrale non è esprimibile mediante funzioni elementari Dim. Dalle relazione di Eulero: si ha:

18 Proiezione della finestra sul pavimento la mattina Proiezione della finestra sul pavimento alcune ore dopo Sovrapposizione delle proiezioni: la trasformazione sul piano del pavimento, che muta ABCD in ABPQ, è lomologia Omologia

19 Analogie tra funzioni definite su figure omologiche Consideriamo la circonferenza, e liperbole equilatera di equazione [F. Casolaro – F. Eugeni – Ratio Mathematica II (1996) pag ]; [F. Casolaro – L- Cirillo – Atti congresso naz. Mathesis – Verona 1996: pag ] P

20 Indicato con φ la misura dellarco AP, il punto P ha coordinate: x = cos φ y = sen φ Larea del settore circolare OAP è data da: σ = ½ φr = ½ φ, cioè: φ = 2 σ 1a) Le coordinate di un punto P della circonferenza sono definite come funzioni del doppio dellarea del settore circolare OAP individuato dal punto O origine degli assi, dal punto P considerato sulla circonferenza, e dal punto A origine degli archi.

21 Larea del settore iperbolico OAQ è data da: σ = ½ α, cio è : α = 2 σ 1b) Le coordinate di un punto Q delliperbole equilatera sono definite come funzioni del doppio dellarea del settore iperbolico OAQ individuato dal punto O origine degli assi, dal punto Q considerato sulliperbole e dal punto A intersezione delliperbole con lasse delle ascisse. Indicato con φ la misura del settore iperbolico OAQ, il punto Q ha coordinate: x = cosh φ y = senh φ

22 Trasformazioni che conservano la norma Il modulo | z | di un vettore, ovvero la norma, è: Chiamiamo prodotto circolare (o interno) di due numeri complessi z 1 e z 2 di componenti rispettivamente (a 1, b 1 ) e (a 2, b 2 ) il numero: z 1 ×z 2 = a 1 b 1 + a 2, b 2 In tale modo langolo di due vettori ovvero di due numeri complessi z 1 e z 2 ha un coseno dato da:

23 Trasformazioni che conservano la norma I numeri complessi di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto esponenziale complesso o circolare definito ponendo Le due Trasformazioni: rappresentano, rispettivamente, i movimenti diretti e i movimenti inversi del piano. Infatti: cioè: cioè:

24 Pertanto, le due trasformazioni conservano la norma, in quanto, da: risulta: Immediatamente si vede che, in tali trasformazioni, si conserva langolo tra i due vettori. Infatti, indicati rispettivamente con gli angoli formati dai due vettori e dai loro complessi coniugati, da: risulta:

25 Lesponenziale iperbolico Posto, tutte le relazioni ottenute sulle funzioni circolari, le ritroviamo sulle funzioni iperboliche. Infatti, la norma del numero iperbolico w = a+ib (con ) è data da: che, con, rappresenta la norma del vettore unitario, in quanto verifica la relazione fondamentale delle funzioni iperboliche: I numeri iperbolici (o bireali) di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto esponenziale bireale o iperbolico definito ponendo

26 Trasformazioni (iperboliche) che conservano la norma Come per il caso circolare, le due trasformazioni conservano la norma e conservano i settori iperbolici. Infatti, con passaggi analoghi a quelli fatti sulle funzioni circolari, si ha: da cui, si evince che:

27 Prodotto interno e coseno iperbolico In analogia al caso circolare, definiamo prodotto interno (iperbolico) di due numeri iperbolici W e W,la grandezza: Da: risulta: cioè: da cui si evince che W e W individuano due semirette caratterizzanti il settore iperbolico ϑ di coseno iperbolico: Allora, la trasformazione conserva la norma iperbolica e il prodotto iperbolico.