Endogenous restricted participation Rendite Una rendita è una successione di somme (tutte dello stesso segno) che si rendono disponibili a determinate scadenze o epoche. Ciascuna somma versata o riscossa è detta rata. Scadenza 3 terzo periodo t1 t2 t3 tn-1 tn R0 R1 R2 R3 Rn-1 Rn rata pagata o riscossa alla scadenza 3

Endogenous restricted participation Le rendite possono essere classificate in base A rata costante: gli importi delle rate sono tutti uguali. Es: cedole BTP, mutuo a rata costante e tasso fisso A rata variabile: gli importi delle rate non sono tutti uguali. Es: Finanziamento per acquisto auto con maxi rata iniziale e/o finale. Affitto di una casa con rivalutazione annuale del canone Importi Temporanea: il numero delle rate è finito. Es: finanziamento per acquisto beni di consumo, cedole BTP. Numero delle rate Perpetua: le rate sono numerabili. Es. Rendita italiana

Endogenous restricted participation Le rendite possono essere classificate in base Endogenous restricted participation Periodiche: se le rate sono equintervallate ovvero i periodi della rendita hanno tutti la stessa durata. Es: canone di affitto, stipendio t0 tn-1 tn t1 t2 t3 Periodicità R0 R1 R2 R3 Rn-1 Rn Non periodiche: se le rate non sono pagate o riscosse ad intervalli di tempo uguali. Es: versamenti su conto corrente t1 t0 t2 t3 tn-1 tn R0 R1 R2 R3 Rn-1 Rn

Endogenous restricted participation Le rendite possono essere classificate in base Endogenous restricted participation Posticipata: le rate vengono pagate o riscosse alla fine del periodo di riferimento Es. rata di un mutuo, stipendio tn-1 tn t3 t0 t1 t2 Scadenza R1 R2 R3 Rn-1 Rn Anticipata: le rate vengono pagate o riscosse all’inizio del periodo di riferimento. Es. affitto, versamenti per la costituzione di un capitale tn-1 t3 tn t0 t1 t2 R1 R2 R3 Rn

Endogenous restricted participation Le rendite possono essere classificate in base Immediata: il periodo di riferimento della prima rata intercorre tra t0 e t1. Se la rendita è posticipata la prima rata è riscossa o pagata a t1. Se la rendita è anticipata la prima rata è riscossa o pagata a t0. Es: stipendio, canone di affitto. Decorrenza tn tn-1 t0 t1 t3 t2 Immediata e posticipata R1 R2 R3 Rn-1 Rn tn t0 t1 t2 t3 tn-1 Immediata e anticipata R1 R2 R3 Rn

Endogenous restricted participation Le rendite possono essere classificate in base Differita: il periodo di riferimento della prima rata è posticipato di p periodi. Se la rendita è posticipata la prima rata è riscossa o pagata a tp+1. Se la rendita è anticipata la prima rata è riscossa o pagata a tp. Es: formule del tipo compri oggi, cominci a pagare a rate tra 3 mesi. Decorrenza tp+n-1 t0 t1 tp tp+1 tp+n Differita e posticipata Rn-1 R1 Rn tp t0 t1 tp+1 tp+n tp+n-1 Differita e anticipata R1 Rn R2

Endogenous restricted participation Montante di una rendita ll montante di una rendita è dato dalla somma dei montanti delle singole rate, calcolati in un dato regime di capitalizzazione e riferiti all'istante in cui termina la costituzione della rendita. Esempio: regime di capitalizzazione composta, i=5% annuo 1 ago 1 set 1 mar 1 gen 100 300 60 60 300(1+0,05)1/12 100(1+0,05)6/12 M=100(1,05)6/12+300(1,05)1/12+60=463,69>460

Endogenous restricted participation Valore attuale di una rendita Il valore attuale di una rendita è dato dalla somma dei valori attuali delle singole rate, calcolati in un dato regime di capitalizzazione e riferiti all'istante in cui termina la costituzione della rendita. Esempio: regime di capitalizzazione composta, i=5% annuo 1 ago 1 set 1 mar 1 gen 100 300 60 100(1+0,05)-2/12 300(1+0,05)-7/12 60(1+0,05)-8/12 V=100(1,05)-2/12+300 (1,05)-7/12+60(1,05)-8/12 =448,85<460

Endogenous restricted participation Valore attuale e montante di una rendita Il montante è sempre maggiore alla somma delle singole rate (uguale se i=0). M > R1+ R2+…+ Rn se i>0 M = R1+ R2+…+ Rn se i=0 Il valore attuale è sempre minore della somma delle singole rate (uguale se i=0) V < R1+ R2+…+ Rn se i>0 V = R1+ R2+…+ Rn se i=0

Endogenous restricted participation Valore di una rendita al periodo k in generale, il valore di una rendita al periodo k, è uguale alla somma dei valori, al periodo k, delle singole rate, ovvero, le rate con scadenze antecedenti al periodo k sono capitalizzate, mentre quelle con epoca successiva, vengono attualizzate. t1 t2 tk tn-1 tn t0 R0 R1 R2 Rk+1 Rn-1 Rn Rk

Endogenous restricted participation Valore di una rendita al periodo k Esempio precedente: 1 set 1 mar 1 ago 1 gen 100 300 60 Valore della rendita al 1 agosto V3=100(1+0,05)5/12+300+60(1+0,05)-1/12=461,81 Osserviamo che in base al principio di equivalenza finanziaria V=V3(1,05)-7/12 M=V3(1,05)1/12 V=M(1,05)-8/12 M=V (1,05)8/12

Endogenous restricted participation D’ora in poi e salvo diverso avviso consideriamo una rendita temporanea di n rate costante con rate di importo R periodica il regime di capitalizzazione usato è quello composto con convenzione esponenziale, al tasso i>0

Endogenous restricted participation Relazioni fondamentali M=V(1+i)n V=M(1+i)-n Vk=V(1+i)k Vk=M(1+i)-(n-k)

Rendita immediata posticipata. Montante Endogenous restricted participation Rendita immediata posticipata. Montante 1 2 3 n-1 n R R R R R R(1+i) R(1+i)n-3 R(1+i)n-2 R(1+i)n-1

Moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per (1+i) si ottiene: Endogenous restricted participation Rendita immediata posticipata. Montante Moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per (1+i) si ottiene: Facendo la differenza membro a membro tra le le due equazioni si ottiene Da cui si ricava

Rendita immediata posticipata. Valore attuale Endogenous restricted participation Rendita immediata posticipata. Valore attuale 1 2 3 4 5 n-1 n R R R R R R R R(1+i)-1 R(1+i)-2 R(1+i)-3 R(1+i)-4 R(1+i)-5 R(1+i)-n+1 R(1+i)-n

Rendita immediata posticipata. Valore attuale Endogenous restricted participation Rendita immediata posticipata. Valore attuale Con analogo procedimento a quello visto per il montante si ha: Possiamo ricavare la formula del valore attuale tenendo conto della formula del montante

Rendita immediata anticipata. Montante Endogenous restricted participation Rendita immediata anticipata. Montante 1 2 3 n-1 n R R R R R R(1+i) R(1+i)n-3 R(1+i)n-2 R(1+i)n-1 R(1+i)n

Rendita immediata anticipata. Montante Endogenous restricted participation

Rendita immediata anticipata. Valore attuale Endogenous restricted participation Rendita immediata anticipata. Valore attuale 1 2 3 4 5 n-1 n R R R R R R R R R(1+i)-1 R(1+i)-2 R(1+i)-3 R(1+i)-4 R(1+i)-5 R(1+i)-n+1

Rendita immediata anticipata. Valore attuale Endogenous restricted participation

Confronto tra rendita posticipata ed immediata Endogenous restricted participation Confronto tra rendita posticipata ed immediata A parità di valore della rata R, numero delle rate n e tasso i, il valore attuale (montante) di una rendita immediata anticipata è uguale al valore attuale (montante) di rendita immediata posticipata moltiplicato per (1+i), ovvero

Rendita posticipata differita di p periodi Endogenous restricted participation Rendita posticipata differita di p periodi 1 2 p p+1 p+2 p+n-1 p+n R R R R Valore della rendita alla scadenza p (1+i)-p Valore attuale della rendita Il montante di una rendita posticipata differita è uguale al montante della rendita posticipata immediata con lo stesso numero di rate, stesso importo R e stesso tasso i.

Rendita anticipata differita di p periodi Endogenous restricted participation Rendita anticipata differita di p periodi 1 2 p p+1 p+2 p+n-1 p+n R R R R Valore della rendita alla scadenza p (1+i)-p Valore attuale della rendita Il montante di una rendita anticipata differita è uguale al montante della rendita anticipata immediata con lo stesso numero di rate, stesso importo R e stesso tasso i.

Rendita differita di p periodi Endogenous restricted participation Rendita differita di p periodi 1 2 p p+1 p+2 p+n-1 p+n R R R R Una rendita posticipata differita di p periodi è uguale ad una rendita anticipata differita di p+1 periodi con lo stesso numero di rate, stesso importo R e stesso tasso i.